perpuskita/8/2024
perpuskita/8/2024
Matematika
Matematika
SMP/MTs Kelas IX
KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI
2022
perpuskita/8/2024
Hak Cipta pada Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Republik Indonesia
Dilindungi Undang-Undang
Buku ini disiapkanoleh Pemerintahdalam rangka pemenuhan kebutuhan buku
pendidikanyang bermutu, murah, dan merata sesuai dengan amanat dalam UU No. 3 Tahun
2017. Buku ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian
Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi. Buku ini merupakan dokumen hidup yang
senantiasa diperbaiki, diperbarui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan
perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan yang dialamatkan kepada penulis atau
melalui alamat surel buku@kemdikbud.go.id diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX
Penulis
Yosep Dwi Kristanto
Muhammad Taqiyuddin
Indra Rukmana
Penelaah
Sugiman
Sugi Guritman
Penyelia/Penyelaras
Supriyatno
Lenny Puspita Ekawaty
Helga Kurnia
Eko Budiono
Berthin Sappang
Kontributor
Fitri Merry Yuliana
Wulan Wijang Panampi
Ilustrator
Ali Shandy Ramadhan
Penyunting
Wahyu Setyaningrum
Desainer
Suhardiman
Penerbit
Pusat Perbukuan
Badan Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan
Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi
Kompleks Kemdikbudristek Jalan RS. Fatmawati, Cipete, Jakarta Selatan
https://buku.kemdikbud.go.id
Cetakan pertama, 2022
ISBN 978-602-244-882-2 (no.jil.lengkap)
ISBN 978-602-427-918-9 (jil.3)
E-SKU A33209.003
Isi buku ini menggunakan huruf Noto Serif 12/16 pt, (SIL Open Font License (OFL)).
xx, 300 hlm.: 17,6 × 25 cm.
perpuskita/8/2024
iii
Kata Pengantar
Pusat Perbukuan; Badan Standar, Kurikulum, dan Asesmen
Pendidikan; Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan
Teknologi memiliki tugas dan fungsi mengembangkan buku
pendidikan pada satuan Pendidikan Anak Usia Dini, Pendidikan Dasar,
dan Pendidikan Menengah, termasuk Pendidikan Khusus. Buku yang
dikembangkan saat ini mengacu pada Kurikulum Merdeka. Kurikulum
ini memberikan keleluasaan bagi satuan/program pendidikan dalam
mengimplementasikan kurikulum dengan prinsip diversikasi sesuai
dengan kondisi satuan pendidikan, potensi daerah, dan peserta didik.
Pemerintah dalam hal ini Pusat Perbukuan mendukung implementasi
Kurikulum Merdeka di satuan pendidikan dengan mengembangkan
buku siswa dan buku panduan guru sebagai buku teks utama. Buku ini
dapat menjadi salah satu referensi atau inspirasi sumber belajar yang
dapat dimodikasi, dijadikan contoh, atau rujukan dalam merancang
dan mengembangkan pembelajaran sesuai karakteristik, potensi, dan
kebutuhan peserta didik.
Adapun acuan penyusunan buku teks utama adalah Pedoman
Penerapan Kurikulum dalam rangka Pemulihan Pembelajaran yang
ditetapkan melalui Keputusan Menteri Pendidikan, Kebudayaan, Riset,
dan Teknologi No. 262/M/2022 Tentang Perubahan atas Keputusan
Mendikbudristek No. 56/M/2022 Tentang Pedoman Penerapan Kurikulum
dalam rangka Pemulihan Pembelajaran, serta Keputusan Kepala Badan
Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan Nomor 033/H/KR/2022
tentang Perubahan Atas Keputusan Kepala Badan Standar, Kurikulum,
dan Asesmen Pendidikan Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset,
dan Teknologi Nomor 008/H/KR/2022 tentang Capaian Pembelajaran
pada Pendidikan Anak Usia Dini, Jenjang Pendidikan Dasar, dan Jenjang
Pendidikan Menengah pada Kurikulum Merdeka.
Sebagai dokumen hidup, buku ini tentu dapat diperbaiki dan
disesuaikan dengan kebutuhan dan perkembangan keilmuan dan
teknologi. Oleh karena itu, saran dan masukan dari para guru,
perpuskita/8/2024
iv
peserta didik, orang tua, dan masyarakat sangat dibutuhkan untuk
pengembangan buku ini di masa yang akan datang. Pada kesempatan
ini, Pusat Perbukuan menyampaikan terima kasih kepada semua pihak
yang telah terlibat dalam penyusunan buku ini, mulai dari penulis,
penelaah, editor, ilustrator, desainer, dan kontributor terkait lainnya.
Semoga buku ini dapat bermanfaat khususnya bagi peserta didik dan
guru dalam meningkatkan mutu pembelajaran.
Jakarta, Desember 2022
Kepala Pusat,
Supriyatno
NIP 196804051988121001
perpuskita/8/2024
v
Prakata
Halo anak-anak Indonesia!
Apakah kalian berpikir bahwa matematika itu sulit? Jangan
khawatir, kalian tidak sendirian. Bahkan semua pengarang buku ini
menganggap bahwa tidak semua materi matematika itu mudah. Banyak
juga yang sulit. Tetapi yang paling penting, percaya dan yakinlah
terhadap kemampuan kalian sendiri. Dengan kemampuan itu dan
diiringi dengan rasa ingin tahu serta usaha yang ulet, yakinlah bahwa
kalian dapat menaklukkan matematika dan melihat keindahan di
dalamnya. Nah, buku ini akan mendampingi kalian dalam menjelajah
matematika dan menemukan pelajaran di dalamnya.
Buku ini mengajak kalian menjadi seorang penemu. Banyak tur
buku ini yang mengajak kalian untuk menemukan ide-ide matematika
penting. Banyak tur juga yang memfasilitasi kalian untuk menggunakan
pengetahuan dan keterampilan kalian untuk memecahkan masalah.
Tidak hanya itu, di dalam buku ini, kalian juga akan melihat betapa
berharganya matematika di berbagai bidang, khususnya dalam budaya
dan sains.
Penyusunan buku ini mendapatkan banyak bantuan dari berbagai
pihak. Kami mengucapkan terima kasih kepada dua penelaah kami,
Prof. Sugiman (Universitas Negeri Yogyakarta) dan Dr. Drs. Sugi
Guritman (Institut Pertanian Bogor), yang telah memberikan penilaian
dan sudut pandang berharga dalam proses penyusunan buku ini. Kami
juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang terlibat
dalam penyusunan buku ini.
perpuskita/8/2024
vi
Tak ada gading yang tak retak. Kami mengakui bahwa buku ini masih
memiliki keterbatasan dan kekurangan. Untuk itu, kami menerima
saran dan kritik demi semakin baiknya buku ini.
Jakarta, September 2022
Tim Penulis
perpuskita/8/2024
vii
Daftar Isi
Kata Pengantar ..................................................................................................iii
Prakata .................................................................................................................. v
Daftar Isi .............................................................................................................vii
Daftar Gambar ...................................................................................................ix
Petunjuk Penggunaan Buku ...................................................................... xvii
Pemetaan Pikiran ............................................................................................xx
BAB 1 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel................................1
Ayo Bersiap Belajar! .......................................................................................... 2
A. Persamaan Linear Dua Variabel ............................................................. 2
Latihan A—Persamaan Linear Dua Variabel ....................................11
B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ............................................. 12
1. Metode Grak ..................................................................................... 17
2. Metode Substitusi .............................................................................. 20
3. Metode Eliminasi ............................................................................... 23
4. Metode Campuran .............................................................................27
Latihan B—Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ......................29
Ringkasan ........................................................................................................... 32
Uji Kompetensi..................................................................................................33
Proyek .................................................................................................................37
Pengayaan ..........................................................................................................38
Reeksi................................................................................................................ 39
Bab 2 Bangun Ruang......................................................................... 41
Ayo Bersiap Belajar! ........................................................................................ 42
A. Klasikasi Bangun Ruang dan Jaring-Jaring ..................................... 43
1. Jenis-Jenis Bangun Ruang ............................................................... 43
2. Jaring-Jaring Bangun Ruang ........................................................... 46
Latihan A—Klasikasi Bangun Ruang dan Jaring-Jaring .............. 49
B. Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Datar ....................................... 50
1. Luas Permukaan Kubus, Balok, dan Prisma ..............................51
2. Luas Permukaan Limas ................................................................... 55
3. Pengaruh Perubahan Skala Bangun Ruang Sisi Datar terhadap
Luas Permukaannya .........................................................................57
Latihan B—Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Datar ................ 59
perpuskita/8/2024
viii
C. Volume Bangun Ruang Sisi Datar .........................................................61
1. Volume Kubus, Balok, dan Prisma ................................................ 64
2. Volume Limas ..................................................................................... 71
3. Pengaruh Perubahan Skala Bangun Ruang Sisi Datar
terhadap Volumenya ........................................................................ 77
Latihan C—Volume Bangun Ruang Sisi Datar ..................................78
D. Lingkaran .................................................................................................... 80
1. Keliling Lingkaran ............................................................................. 81
2. Luas Lingkaran ..................................................................................84
3. Panjang Busur Lingkaran ..............................................................87
4. Luas Juring Lingkaran .....................................................................91
Latihan D—Lingkaran .............................................................................95
E. Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Lengkung ..............................97
1. Luas Permukaan Tabung ................................................................ 97
2. Luas Permukaan Kerucut ..............................................................100
3. Luas Permukaan Bola ....................................................................105
4. Pengaruh Perubahan Skala Bangun Ruang Sisi Lengkung
terhadap Luas Permukaannya ....................................................107
Latihan E—Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Lengkung ......109
F. Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung ..............................................111
1. Volume Tabung ................................................................................111
2. Volume Kerucut ...............................................................................114
3. Volume Bola ......................................................................................117
4. Pengaruh Perubahan Skala Bangun Ruang Sisi Lengkung
terhadap Volumenya ......................................................................120
Latihan F—Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung ........................123
Ringkasan .........................................................................................................125
Uji Kompetensi................................................................................................126
Proyek ...............................................................................................................131
Pengayaan ........................................................................................................ 132
Reeksi..............................................................................................................133
Bab 3 Transformasi Geometri ....................................................... 135
Ayo Bersiap Belajar! ...................................................................................... 136
A. Translasi (Pergeseran) ...........................................................................136
Latihan A—Translasi .............................................................................143
B. Reeksi (Pencerminan) ......................................................................... 163
B. Reeksi (Pencerminan) ......................................................................... 146
1. Reeksi Terhadap Sumbu x, Sumbu y, dan Titik Asal (0,0) .. 151
perpuskita/8/2024
ix
2. Reeksi terhadap Garisy=x dan Garis y=-x.....................156
3. Reeksi Terhadap Garis x=k dan Garis y=h ......................... 159
Latihan B—Reeksi ................................................................................ 164
C. Rotasi (Perputaran) ................................................................................165
Latihan C—Rotasi ...................................................................................170
D. Kekongruenan .........................................................................................171
1. Kekongruenan .................................................................................. 177
2. Kekongruenan pada Segi Banyak ...............................................180
3. Kekongruenan Segitiga ..................................................................185
Latihan D—Kekongruenan ..................................................................190
E. Dilatasi ....................................................................................................... 192
Latihan E—Dilatasi .................................................................................199
Ringkasan .........................................................................................................202
Uji Kompetensi................................................................................................204
Proyek ...............................................................................................................209
Reeksi..............................................................................................................212
Bab 4 Peluang dan Pemilihan Sampel .......................................... 215
Ayo Bersiap Belajar! ...................................................................................... 216
A. Peluang ......................................................................................................216
1. Dasar-Dasar Peluang ......................................................................219
2. Nilai Peluang .....................................................................................223
Latihan A—Peluang ...............................................................................231
B. Peluang Empiris ......................................................................................232
Latihan B—Peluang Empiris................................................................244
C. Frekuensi Harapan ................................................................................247
Latihan C—Frekuensi Harapan ..........................................................252
D. Pemilihan Sampel ...................................................................................253
Latihan D—Pemilihan Sampel ............................................................265
Ringkasan .........................................................................................................267
Uji Kompetensi................................................................................................269
Proyek ...............................................................................................................277
Pengayaan ........................................................................................................ 279
Reeksi..............................................................................................................281
Glosarium .........................................................................................................283
Daftar Pustaka ................................................................................................287
Indeks ................................................................................................................ 291
Prol Pelaku Perbukuan .............................................................................. 293
perpuskita/8/2024
x
Daftar Gambar
Gambar 1.1 Panel Surya ................................................................................ 2
Gambar 1.2
Toko Sembako ........................................................................... 3
Gambar 1.3 Grak Hubungan Berat Beras Merah dan
Tepung Terigu
........................................................................... 4
Gambar 1.4
Toko Alat Tulis .......................................................................... 5
Gambar 1.5 Grak Persamaan 2x y=8 dengan xdan y
Bilangan Cacah ......................................................................... 7
Gambar 1.6 Grak Persamaan 2x+y=8 dengan xdan y
Bilangan Bulat
........................................................................... 8
Gambar 1.7
Gambar 1.7 Grak Persamaan 2x+y=8, dengan x
dan yBilangan Real
................................................................. 9
Gambar 1.8 Neraca Pegas ...........................................................................10
Gambar 1.9
Grak Hubungan antara Peregangan Pegas dan
Berat Beban .............................................................................10
Gambar 1.10
Grak untuk Diceritakan ..................................................... 13
Gambar 1.11 Grak Perjalanan ................................................................... 13
Gambar 1.12 Grak Perjalanan Putri dan Akbar ...................................12
Gambar 1.13Harga Susu Kedelai dan Susu Sapi .................................... 16
Gambar 1.14 Harga Baju Batik dan Celana Panjang ............................. 17
Gambar 1.15 Grak
xy
xy
4324
21
0
-=
-=
)
. ............................................................. 18
Gambar 1.16 Dua Garis Berpotongan di Tepat Satu Titik ..................... 20
Gambar 1.17 Dua Garis Tidak Berpotongan (Sejajar) ........................... 20
Gambar 1.18 Dua Garis Berpotongan di Tak Hingga Titik
(Berimpit) ................................................................................. 20
Gambar 1.19 Pekerjaan Rafael .................................................................... 21
Gambar 1.19 Permasalahan Pak Ahmad ................................................. 21
Gambar 1.21 Pekerjaan Butet ......................................................................24
Gambar 1.22 Kain Tenun NTT ...................................................................... 28
Gambar 1.23 Toko Buah ...............................................................................34
Gambar 1.24 Bola Pingpong Dilempar dari Ketapel ............................. 35
Gambar 1.25 Harga Tiket .............................................................................36
Gambar 2.1 Rumah Honai ......................................................................... 42
Gambar 2.2 Barang Belanjaan Robi .........................................................43
Gambar 2.3 Jenis-jenis Bangun Ruang .................................................... 44
Gambar 2.4 Macam-Macam Benda dengan Bentuk Bangun
Ruang ......................................................................................... 45
Gambar 2.5 Berbagai Macam Bangun Ruang ........................................ 45
Gambar 2.6 Ilustrasi Pengguntingan Kardus ........................................46
Gambar 2.7 Jaring-Jaring ............................................................................ 47
perpuskita/8/2024
xi
Gambar 2.8 Jaring-Jaring ............................................................................ 48
Gambar 2.9 Bangun Ruang Platonic ........................................................ 48
Gambar 2.10 Menempelkan Sticky Notes di Lemari ............................. 50
Gambar 2.11 Kubus, Balok, dan Prisma Segitiga ....................................51
Gambar 2.12 Seni Rubik ................................................................................ 54
Gambar 2.13 Limas Segi Delapan ............................................................... 55
Gambar 2.14 Limas Segi Empat ................................................................... 57
Gambar 2.15 Kubus Satuan ..........................................................................62
Gambar 2.16 Susunan Kubus Satuan .........................................................62
Gambar 2.17 Balok .......................................................................................... 64
Gambar 2.18 Ilustrasi Balok .........................................................................65
Gambar 2.19 Rubik ......................................................................................... 65
Gambar 2.20 Prisma Segitiga ....................................................................... 66
Gambar 2.21 Balok “Berlubang” ................................................................ 67
Gambar 2.22 Balok “Berlubang” Berwarna ............................................. 68
Gambar 2.23 Bangun Ruang ......................................................................... 68
Gambar 2.24 Sketsa Akuarium ....................................................................69
Gambar 2.25 Tiga Partisi Akuarium .......................................................... 69
Gambar 2.26 Dua Partisi Akuarium .......................................................... 70
Gambar 2.27 Sketsa Tangga .......................................................................... 70
Gambar 2.28 Ilustrasi Prinsip Cavalieri ....................................................71
Gambar 2.29 Limas Heksagon ..................................................................... 73
Gambar 2.30 Alas Limas Heksagon ............................................................ 74
Gambar 2.31 Piramida Khafre ..................................................................... 75
Gambar 2.32 Piramida Terpancung ........................................................... 76
Gambar 2.33 Candi Sukuh............................................................................. 76
Gambar 2.34 Bentuk Bangun Ruang ......................................................... 79
Gambar 2.35 Tangga Berbentuk Prisma .................................................. 79
Gambar 2.36 Ilustrasi Atap Rumah ...........................................................79
Gambar 2.37 Beberapa Bangun Datar ....................................................... 80
Gambar 2.38 Contoh-Contoh Benda Berbentuk Lingkaran .................80
Gambar 2.39 Jari-Jari dan Titik Pusat Lingkaran ...................................81
Gambar 2.40 Contoh-Contoh Diameter .................................................... 81
Gambar 2.41 Contoh-Contoh Busur dan Juring Lingkaran ..................84
Gambar 2.42 Lingkaran pada Kertas Berpetak ....................................... 85
Gambar 2.43 Lingkaran dan 24 Juring-Juringnya .................................. 85
Gambar 2.44 Susunan 24 Juring Lingkaran ............................................ 99
Gambar 2.45 Contoh Sudut Pusat Lingkaran ...........................................87
Gambar 2.46 Lingkaran dengan Panjang Jari-Jari 7 .............................. 88
Gambar 2.47 Busur di Hadapan θ .............................................................. 89
Gambar 2.48 Pertemuan Jl. Jenderal Sudirman, Bundaran HI ,
dan Jl. M.H. Thamrin ............................................................. 89
Gambar 2.49
Pertemuan Jl. Imam Bonjol, Bundaran HI, dan
Jl. M.H. Thamrin ..................................................................... 90
perpuskita/8/2024
xii
Gambar 2.50 Hubungan Sudut Pusat dan Luas Juring ......................... 93
Gambar 2.51 Juring dengan Sudut Pusat θ ............................................... 93
Gambar 2.52 Dua Juring dalam Lingkaran .............................................94
Gambar 2.53 Rencana Taman ..................................................................... 96
Gambar 2.54 Lapangan Tolak Peluru ....................................................... 96
Gambar 2.55 Wadah Berbentuk Tabung .................................................. 97
Gambar 2.56 Drum ......................................................................................... 98
Gambar 2.57 Alas, Atap, dan Selimut Tabung ........................................ 99
Gambar 2.58 Benda Berbetuk Kerucut ....................................................101
Gambar 2.59 Benda Berbentuk Kerucut .................................................102
Gambar 2.60 Susunan Lengkap Rumah Mbaru Niang .......................104
Gambar 2.61 Rumah Mbaru Niang ...........................................................104
Gambar 2.62 Ilustrasi Bola ..........................................................................105
Gambar 2.63 Ilustrasi Bumi ....................................................................... 106
Gambar 2.64 Berbagai Bangun Ruang Sisi Lengkung ........................110
Gambar 2.65 Balok dan Tabung ...............................................................111
Gambar 2.66 Prisma dan Tabung ..............................................................112
Gambar 2.67 Pipa .........................................................................................113
Gambar 2.68 Kerucut ..................................................................................115
Gambar 2.69 Kerucut dalam Prisma .......................................................115
Gambar 2.70 Variasi Kerucut ....................................................................116
Gambar 2.71 Setengah Bola dan Kerucut Terbuka .............................118
Gambar 2.72 Ilustrasi Bola .........................................................................119
Gambar 2.73 Kerak Bumi ............................................................................119
Gambar 2.74 Gabungan Kerucut dan Setengah Bola ..........................121
Gambar 2.75 Macam Bangun Ruang .......................................................123
Gambar 2.76 Ring Beton .............................................................................123
Gambar 2.77 Truk Pengangkut Gas Bumi ..............................................124
Gambar 2.78 Wadah Es Krim ....................................................................124
Gambar 2.79 Bangunan Tangki Penyimpan Gas Bumi ......................125
Gambar 2.80 Bola dalam Kubus ...............................................................127
Gambar 2.81 Berbagai Macam Bangun Ruang .....................................127
Gambar 2.82 Desain Kolam Renang ........................................................128
Gambar 2.83 Ilustrasi Tempat Minum di Peternakan ........................ 128
Gambar 2.84 Kerucut dengan Volume Sama ........................................129
Gambar 2.85 Kerucut Terpancung ...........................................................129
Gambar 2.86 Ilustrasi Luas Permukaan Kerucut Terpancung .........130
Gambar 2.87 Ilustrasi Desain Kemasan Bola Golf 1 ............................ 130
Gambar 2.88 Ilustrasi Desain Kemasan Bola Golf 2 ............................ 131
Gambar 3.1 Batik Kawung ........................................................................136
Gambar 3.2 Penerapan Translasi ............................................................137
Gambar 3.3 Translasi Layang-Layang A ke B .....................................137
Gambar 3.4
Translasi Layang-Layang A ...............................................138
perpuskita/8/2024
xiii
Gambar 3.5 Bangun Datar PQRSdan TUVW ...................................138
Gambar 3.6 Ilustrasi translasi titik Ake Titik B ................................. 139
Gambar 3.7 Ilustrasi Translasi Titik A(x, y) oleh
b
a
bl
.....................140
Gambar 3.8 Ilustrasi Translasi Titik P(-3,2) dan Q(3,1) ................141
Gambar 3.9 Translasi Persamaan Garis 2x+3y=6 ..........................143
Gambar 3.10
Pasangan Translasi .............................................................144
Gambar 3.11
Translasi segi empat EFGH ............................................144
Gambar 3.12
Titik Koordinat Polisi dan Pencuri .................................145
Gambar 3.13
Aktivitas Bercermin ...........................................................146
Gambar 3.14 Garis Sumbu .........................................................................146
Gambar 3.15
Aktivitas Melipat Kertas ....................................................147
Gambar 3.16
Hubungan Titik A dan Titik B Terhadap Garis l ........148
Gambar 3.17 Ilustrasi Reeksi Titik Terhadap Garis (Cermin) ........ 149
Gambar 3.18 Reeksi Garis ........................................................................149
Gambar 3.19 Kamera Pinhole ....................................................................150
Gambar 3.20 Reeksi Titik A terhadap titik P .....................................150
Gambar 3.21 Reeksi Sumbu x dan Sumbu y ......................................151
Gambar 3.22
Ilustrasi Reeksi Sebuah Ruas Garis PQ ......................154
Gambar 3.23
Ilustrasi Reeksi Sebuah Ruas Garis terhadap Titik
Pusat O(0,0) ...........................................................................155
Gambar 3.24 Ilustrasi pencerminan terhadap garis y=x .................157
Gambar 3.25 Reeksi segitiga ABC terhadap x=0 ............................159
Gambar 3.26 Reeksi segitiga ABC terhadap x=1 ............................159
Gambar 3.27 Reeksi Segitiga ABC terhadap x=2 ...........................159
Gambar 3.28 Reeksi Segitiga ABC terhadap x=3 .............................159
Gambar 3.29 Ilustrasi Reeksi terhadap Garis x=k ..........................160
Gambar 3.30 Ilustrasi Reeksi Ruas Garis PQ terhadap x=3 ......... 162
Gambar 3.31 Ilustrasi Reeksi Ruas Garis PQ terhadap y=3 .........163
Gambar 3.32 Pasangan Bangun Datar .................................................... 164
Gambar 3.33 Reeksi ΔABC terhadap Garis y=2 ................................ 165
Gambar 3.34 Bianglala ................................................................................ 165
Gambar 3.35 Rotasi Titik ............................................................................166
Gambar 3.35 Titik Adan Titik O ..............................................................166
Gambar 3.36 Arah Rotasi ............................................................................167
Gambar 3.37 Ilustrasi Rotasi pada Bidang Koordinat ........................167
Gambar 3.38 Ilustrasi Reeksi sebuah Ruas Garis ..............................169
Gambar 3.39
Pasangan Bangun Datar .................................................... 170
Gambar 3.40
Rotasi Segitiga RST ...........................................................170
Gambar 3.41
Rumah Adat Minangkabau ...............................................172
Gambar 3.42
Bayangan Hasil Translasi, Reeksi, dan Rotasi ..........172
Gambar 3.43 Rangkaian Transformasi Pertama .................................173
Gambar 3.44
Rangkaian Transformasi Kedua .....................................173
perpuskita/8/2024
xiv
Gambar 3.45 Rangkaian Transformasi Ketiga ......................................173
Gambar 3.46 Pasangan Objek dan Bayangan .......................................174
Gambar 3.47 Dua Pasang Bangun Datar ................................................175
Gambar 3.48 Rangkaian Transformasi Kaku pada
Persegi Panjang ....................................................................176
Gambar 3.49 Dua Bangun Datar ..............................................................176
Gambar 3.50 Tangram .................................................................................177
Gambar 3.51 Bingkai Tangram Berbentuk Lilin dan Kuda ...............177
Gambar 3.52 Dua Pasang Bangun Datar ................................................178
Gambar 3.53 Rotasi Bangun Datar Terhadap Titik A Sebesar 90º ..179
Gambar 3.54 Dua Bangun Datar ..............................................................179
Gambar 3.55 Rangkaian Transformasi Kaku yang Dilakukan
Ahmad .................................................................................... 180
Gambar 3.56 Segi Empat ABCDdan KLMN .......................................181
Gambar 3.57 Dua Segi Lima yang Kongruen ........................................181
Gambar 3.58 Segi Empat I, II, III, dan IV ................................................183
Gambar 3.59 Translasi dan Rotasi dari Persegi Panjang I ke
Persegi Panjang IV ..............................................................184
Gambar 3.60 Segi Empat I, II, dan III ......................................................185
Gambar 3.61 Segitiga dengan Dua Sudut dan Satu Sisi yang
Diapitnya Diketahui ...........................................................186
Gambar 3.62 Kriteria Kekongruenan Segitiga Sd.S.Sd, S.Sd.S,
dan S.S.S ................................................................................. 187
Gambar 3.63 Segitiga ABC ........................................................................ 187
Gambar 3.64 Segitiga KLM........................................................................188
Gambar 3.65 Dua Segitiga yang Kongruen ............................................189
Gambar 3.66 Dua Segitiga yang Memenuhi S.S.Sd ..............................189
Gambar 3.67 Bangun Datar dan Bayangannya pada Bidang
Koordinat ..............................................................................190
Gambar 3.68 Empat Bangun Datar pada Bidang Koordinat ............. 191
Gambar 3.69 Dua Segi Enam Beraturan .................................................191
Gambar 3.70 Segitiga Sama Sisi ABC ..................................................... 191
Gambar 3.71 Segi Banyak ...........................................................................191
Gambar 3.72 Dilatasi ...................................................................................192
Gambar 3.73 Ilustrasi Dilatasi Segitiga ABC ........................................ 193
Gambar 3.74 Ilustrasi Dilatasi Segitiga ABCterhadap [O,k} ...........196
Gambar 3.75 Persegi Panjang EFGHdan Titik P ...............................197
Gambar 3.76 Hasil Dilatasi EFGHterhadap Titik P ..........................198
Gambar 3.77 Pasangan Bangun Datar .................................................... 200
Gambar 3.78 Dilatasi Ruas Garis AB ......................................................200
Gambar 3.79 Dilatasi Segitiga ABC ........................................................200
Gambar 3.80 Dilatasi Segiempat ABCD ................................................200
Gambar 3.81
Dilatasi Segitiga ...................................................................200
perpuskita/8/2024
xv
Gambar 3.82 Dilatasi [O, 1
2
1
] ...................................................................201
Gambar 3.83 Segitiga ABC ........................................................................ 201
Gambar 3.84 Hasil Dilatasi Bangun Datar A ........................................205
Gambar 3.85 Hasil Reeksi Terhadap Garis Reeksi l .......................205
Gambar 3.86 Hasil Rotasi Titik Pusat O ..................................................206
Gambar 3.87 Hasil Translasi Segi Empat ...............................................206
Gambar 3.88 Transformasi (x, y)"(x+3, y) .......................................206
Gambar 3.89 Transformasi (x, y)"(-x, y) .........................................207
Gambar 3.90 Bentuk Lapangan Golf I .....................................................208
Gambar 3.91 Bentuk Lapangan Golf II ...................................................208
Gambar 3.92 Menemukan Persimpangan Terdekat ...........................209
Gambar 3.93 Segitiga ABC ........................................................................ 209
Gambar 3.94 Contoh bangun datar awal ...............................................210
Gambar 3.95 Transformasi I .....................................................................211
Gambar 3.96 Transformasi II ....................................................................211
Gambar 3.97 Transformasi III ...................................................................211
Gambar 3.98 Transformasi IV .................................................................. 211
Gambar 3.99 Transformasi V ....................................................................211
Gambar 3.100Transformasi VI ................................................................... 211
Gambar 4.1 Salah Satu Contoh Gim ......................................................216
Gambar 4.2 IPM Indonesia 1990–2019 .................................................217
Gambar 4.3 Percobaan Pelemparan Dua Koin ....................................221
Gambar 4.4 Penentuan Ruang Sampel dengan Diagram Pohon ....222
Gambar 4.5 Dua Jenis Gim .......................................................................224
Gambar 4.6 Percobaan Pengambilan Bola ........................................... 225
Gambar 4.7 Diagram Pohon Pelemparan Satu Koin Tiga Kali ....... 228
Gambar 4.8 Satu Pak Kartu Remi ..........................................................229
Gambar 4.9 Pecahan dan Garis Bilangan ............................................232
Gambar 4.10 Pemutaran Roda Bernomor dan Hasilnya ...................235
Gambar 4.11 Hasil Lempar Undi Sebuah Dadu ...................................236
Gambar 4.12 Frekuensi Relatif Muncul Sisi Angka .............................237
Gambar 4.13 Frekuensi Relatif Muncul Sisi Angka dengan 200
Pelemparan ...........................................................................237
Gambar 4.14 Hasil Percobaan Ahmad dan Ketiga Temannya .........238
Gambar 4.15 Frekuensi Relatif Suatu Kejadian pada Percobaan
Berulang
................................................................................239
Gambar 4.16
Frekuensi Relatif Suatu Kejadian dalam Percobaan
Berulang
................................................................................240
Gambar 4.17
Hasil Percobaan 100 Kali ..................................................241
Gambar 4.18 Kemungkinan Roda Putar Dhien ....................................241
Gambar 4.19
Frekuensi Munculnya Bola Merah, Kuning,
dan Hijau ............................................................................... 242
Gambar 4.20
Frekuensi Munculnya Kartu Bergambar Lingkaran
dan Bintang ..........................................................................243
perpuskita/8/2024
xvi
Gambar 4.21 Frekuensi Relatif Dua Kejadian dalam 500
Percobaan .............................................................................245
Gambar 4.22 Frekuensi Terpilihnya Kartu Bergambar Tabung,
Kerucut, dan Bola ................................................................ 245
Gambar 4.23 Frekuensi Relatif Terpilihnya Juring Warna Ungu ....246
Gambar 4.24 Hasil Percobaan Putu dan Sondang ............................... 246
Gambar 4.25 Banyaknya Kemunculan Sisi Angka dalam 10
Percobaan .............................................................................248
Gambar 4.26 Roda Putar dan Jarum Penunjuk .................................... 249
Gambar 4.27 Papan Gim Koin ................................................................... 427
Gambar 4.28 Penyajian Data dalam Diagram Batang ........................254
Gambar 4.29 Data Sampel Ahmad ........................................................... 257
Gambar 4.30 Data Sampel Paulina ..........................................................257
Gambar 4.31 Data Sampel Sondang ........................................................258
Gambar 4.32 Data Populasi ........................................................................258
Gambar 4.33 Berat Setiap Buah Mangga yang Dipanen ....................259
Gambar 4.34 Sampel-Sampel Buah Mangga .........................................260
Gambar 4.35 Banyak Panggilan Telepon Per Hari ..............................260
Gambar 4.36 Sampel-Sampel Banyaknya Panggilan Telepon
Per Hari ..................................................................................261
Gambar 4.37 Diagram Titik Sampel-Sampel Buah Mangga ..............261
Gambar 4.38 Berita di Koran Sekolah .....................................................263
Gambar 4.39 Tekanan Darah 50 Orang Remaja ...................................266
Gambar 4.40 Dua Data Sampel dari Populasi Remaja .......................266
Gambar 4.41 Berat Buku Ahmad di hari Senin, Selasa, dan Rabu .. 267
Gambar 4.42 Frekuensi Diperoleh Juring Warna Merah
dan Hijau ............................................................................... 270
Gambar 4.43 Frekuensi Relatif Kejadian pada Percobaan
Berulang ................................................................................270
Gambar 4.44 Persentase Kemunculan Bola Merah, Kuning,
dan Hijau ............................................................................... 271
Gambar 4.45 Frekuensi Diperoleh Bola Biru dan Ungu ....................271
Gambar 4.46 Distribusi Populasi untuk Soal Nomor 23 ....................272
Gambar 4.47 Distribusi Dua Data Sampel Soal Nomor 23 ................272
Gambar 4.48 Distribusi Dua Sampel dan Populasinya untuk Soal
Nomor 24 ............................................................................... 273
Gambar 4.49 Tangkapan Layar Berita dari Situs Resmi Ditjen
Dukcapil ................................................................................. 275
Gambar 4.50 Distribusi Tiga Data Sampel dan Parameter
Populasinya ..........................................................................277
Gambar 4.51 Contoh Ketapel dari Stik Es Krim ...................................278
perpuskita/8/2024
xvii
Petunjuk Penggunaan Buku
Di buku ini, kalian diajak untuk berpikir dan bermatematika. Bagaimana
kalian melakukannya? Aktivitas-aktivitas apa yang kalian jumpai di
buku ini? Ayo kenali tur-tur utama buku ini!
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX
64
1. Volume Kubus,Balok, dan Prisma
Setelahmemahami volume secara intuitif,kita akan menemukan
bagaimanacaramenghitung volumeprisma, balok,dan kubus.Ikuti
Eksplorasi2.7untukmembantumu memahami penemuanformula
untuk menghitung volume prisma.
Eksplorasi
2.7
Menghi tung Volume Kubu s, Balok,dan
Prisma
Samaseperti Eksplorasi 2.6, jika memungkinkan, kalian dapat
menyediakan kubussatuan untukmengikuti aktivitas yangsudah
dirancang. Rangkaianaktivitas berikutdapat dilaksanakandalam
kelompok atau individu.
Aktivitas pertama adalah menyusun kubus-kubus satuan
menjadibentuk-bentukyang tampakpadaGambar2.17. Dengan
memanfaatkan pengalaman belajar pada Eksplorasi 2.6 dan
pengertianvolume, cobadiskusikan danjawablah pertanyaan-
pertanyaan berikut.
Gambar 2.17 Balok
B Bagaimana cara kalian membuat bangun ruang yang ada di
Gambar 2.17?
C Berapa volume tiap bangun ruang yang kalian susun dengan
kubus satuan? Jelaskan bagaimana strategimu.
Aktivitaskedua Diskusikan dengan temanmu bagaimana cara
untuk menghitung volume balok.
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
3
Eksplorasi
1.1
Kons ep PersamaanLinear Dua Vari abel
Melaluikegiataneksplorasiini,kalian diajakuntukmenemukan
konsep persamaanlinear duavariabel. Perhatikanpermasalahan
berikut.
Gambar 1.2 Toko Sembako
Veronika pergi ke toko sembako. Ia berencana membeli beras merah
dan tepung terigu. Harga 1 kg beras merah Rp20.000,00, sedangkan
harga 1kg tepung terigu Rp10.000,00.Uang yang dibayarkan
Veronika Rp120.000,00.
B Tulislah kemungkinan berat (dalam kg) tepung terigu dan beras
merah yang dibeli Veronika.
Tabel 1.1 Berat Beras Merah dan Tepung Terigu
Berat beras
merah
(dalam kg)
Berat
tepung
terigu
(dalam kg)
Uang yang dibayarkan
0 12 0(20. 000) + 12( 10.000) = 120.0 00
0,5 11
0,5(2 0.00 0) + 11 (10. 000) = 120.0 00
1
9,5
Eksplorasi
Kegiatan eksplorasi di buku ini
mengajak kalian menemukan
sendiri ide-ide matematika
penting. Meskipun kegiatan
eksplorasi ini sebaiknya di-
lakukan dengan bimbingan
guru, tidak menutup kemung-
kinan kegiatan ini di lakukan
secara mandiri.
Contoh Soal dan Ayo Mencoba
Di dalam Contoh Soal, kalian
dapat melihat demonstrasi
penerapan materi yang telah
dipelajari. Fitur ini selalu diikuti
dengan Ayo Mencoba yang
memberi kesempatan kalian
untuk mengerjakan soal yang
serupa dengan contoh soal
sebelumnya.
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
235
Contoh
4.4
MenentukanFrekuensi Relatif
Dalam suatueksperimen, sebuahroda bernomordiputar berkali-
kali. Banyaknya jarum menunjuk masing-masing nomor pada roda
tersebut disajikan pada Gambar 4.10.
1 2 3 4 5
0
Fre kuens i
Nom or
2
4
6
8
10
12
Gambar 4.10 Pemutaran Roda Bernomor dan Hasilnya
Tentukan frekuensi relatif jarum tersebut menunjuk nomor 5.
Altern atif Penyele saian
Banyak diperolehnya nomor 5 adalah 11. Total banyaknya percobaan
adalah
n = 7 + 6 + 11 + 5 + 11 = 40
Dengan demikian, frekuensi relatif diperoleh nomor 5 adalah
f
r
40
11
=
Frekuensi relatif tersebut dapat dinyatakan ke dalam 0,275 atau
27,5%.
Sebuahdadudilemparundiberkali-kali.Hasil lemparundi
dadu tersebut ditunjukkan pada Gambar 4.11.
Ayo Mencoba
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
5
bentuk pasangan berurutan (x, y ), sedangkan himpunan penyelesaian
daripersamaanlinear dua variabeladalahhimpunandari semua
pasanganberurutanyang merupakanpenyelesaiandaripersamaan
linearduavariabel.Untuklebihmemahamipersamaanlineardua
variabel marilah kita perhatikan contoh berikut ini.
Contoh
1.1
MemodelkanPersamaan LinearDuaVariabel
Tissa pergi ke toko alat tulis. Ia membeli 3 buku tulis dan 5 bolpoin
denganmembayarRp19.000,00.Buatlahmodelmatematikadari
permasalahan tersebut.
Altern atif Penyele saian
Gambar 1.4 Toko Alat Tulis
Misalkan mmenyatakan harga 1 buku tulis dan nmenyatakan harga
1 bolpoin. Dengan demikian, harga 3 buku tulis adalah 3m, harga 5
bolpoin5ndantotal hargaadalah Rp19.000,00.Persamaan linear
dua variabel dapat dituliskan sebagai berikut.
3m + 5n = 19.000
Diketahuikelilingsebuahsegitigasamakakiadalah48cm.
Tentukanmodel matematika yang menghubungkanantara
keliling dan panjang sisi segitiga tersebut.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
xviii
Aktivitas Interaktif
Buku ini memuat banyak aktivitas interaktif yang memudahkan
kalian membangun pemahaman matematika melalui
penjelajahan dunia digital.
Selain tiga fitur utama tersebut, buku ini juga berisi banyak fitur
bermanfaat seperti berikut.
Tujuan Pembelajaran
Tujuan pembelajaran di
setiap awal bab
memberitahu apa yang akan
kalian capai di bab tersebut.
Ayo Berpikir Kritis
Fitur ini mengajak kalian
untuk berpikir secara kritis
mengenai materi yang kalian
pelajari.
Ayo Berpikir Kreatif
Di dalam fitur Ayo Berpikir
Kreatif, kalian akan diajak
untuk menggunakan daya
nalar dan kreasi kalian
mengenai materi yang
dibahas.
Ayo Bersiap Belajar!
Kalian dapat mempratinjau
isi dan aktivitas
pembelajaran di setiap bab
pada bagian ayo Bersiap
Belajar!
perpuskita/8/2024
xix
Ayo Bekerja Sama
Melalui fitur Ayo Bekerja
Sama, kalian diajak untuk
bekerja sama dengan
teman-teman kalian dalam
mempelajari materi yang
dibahas.
Latihan
Di dalam Latihan, kalian
difasilitasi untuk
menerapkan dan
mengintegrasikan
pengetahuan dan
keterampilan yang telah
kalian peroleh.
Matematika dan Sains
Fitur ini menjelaskan
bagaimana matematika
sangat penting bagi sains
atau ilmu pengetahuan.
Refleksi
Pengalaman belajar kalian tidak akan lengkap tanpa refleksi. Di
fitur ini, kalian akan diajak untuk melakukan kilas balik dan
merefleksikan pengalaman belajar kalian.
Uji Kompetensi
Uji Kompetensi dapat kalian
gunakan untuk melihat
sejauh mana kalian telah
mencapai kompetensi yang
diharapkan dalam suatu bab.
Ayo Mengomunikasikan
Di dalam kegiatan ini, kalian
akan berlatih untuk
melakukan komunikasi ide
dan gagasan matematika
dengan orang lain.
Matematika dalam Budaya
Melalui fitur ini, kalian akan
melihat bagaimana dekatnya
matematika dengan budaya.
Ringkasan
Fitur Ringkasan ini berisi
uraian singkat mengenai
materi-materi yang dibahas
di dalam bab tertentu.
Proyek
Di dalam fitur Proyek, kalian
diajak untuk
mengintegrasikan
kompetensi matematika
kalian dalam menyelesaikan
sebuah proyek.
perpuskita/8/2024
xx
Pemetaan Pikiran
Aljabar,
Pengukuran,
Geometri, Analisis
Data dan Peluang
BAB
I
BAB
II
BAB
III
BAB
IV
Sistem Persamaan Linear
Dua Variabel
• Persamaan Linear Dua
Variabel
• Sistem Persamaan Linear
Dua Variabel
Bangun Ruang
• Klasikasi Bangun Ruang
dan Jaring-Jaring
• Luas Permukaan Bangun
Ruang Sisi Datar
• Volume Bangun Ruang
Sisi Datar
• Lingkaran
• Luas Permukaan Bangun
Ruang Sisi Lengkung
• Volume Bangun Ruang
Sisi Lengkung
Transformasi Geometri
• Translasi (Pergeseran)
• Reeksi (Pencerminan)
• Rotasi (Perputaran)
• Kekongruenan
• Dilatasi
Peluang dan Pemilihan
Sampel
• Peluang
• Peluang Empiris
• Frekuensi Harapan
• Pemilihan Sampel
perpuskita/8/2024
Bab I
KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI
REPUBLIK INDONESIA, 2022
Matematika
untuk SMP/MTs Kelas IX
Penulis:Yosep Dwi Kristanto, dkk
ISBN:978-602-427-918-9 (jil.3)
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, kalian diharapkan mampu memahami konsep
sistem persamaan linear dua variabel dan menyelesaikannya dengan
menggunakan metode grak, substitusi, eliminasi, dan campuran. Selain itu,
kalian juga diharapkan mampu menyelesaikan permasalahan kontekstual
dengan memodelkannya ke dalam sistem persamaan linear dua variabel.
Sistem Persamaan
Linear Dua Variabel
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
2
Ayo Bersiap Belajar!
Dalam kehidupan sehari-hari, kita selalu menggunakan energi listrik
misalnya untuk sumber penerangan dan penghasil gerak. Panel surya
merupakan salah satu sumber energi listrik. Untuk menganalisis
apakah manfaat panel surya sepadan dengan biaya yang dikeluarkan,
kalian dapat menggunakan konsep dari sistem persamaan linear
dua variabel yang akan kalian pelajari pada bab ini. Hal ini akan
kalian temukan pada proyek halaman 37. Sistem persamaan linear
dua variabel dapat digunakan untuk memodelkan dan memecahkan
permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan perdagangan,
investasi, dan kecepatan. Selain itu, pada bagian matematika dan sains
halaman 10, kalian akan mengetahui bagaimana persamaan linear
dua variabel dapat digunakan untuk memodelkan hubungan antara
peregangan pegas dari neraca pegas dan berat beban. Untuk itu, ayo
semangat belajar sistem persamaan linear dua variabel!
Gambar 1.1 Panel Surya
A. Persamaan Linear Dua Variabel
Kalian telah mempelajari operasi bentuk aljabar di kelas VII dan
persamaan linear satu variabel di kelas VIII. Materi tersebut merupakan
dasar untuk mempelajari sistem persamaan linear dua variabel. Namun,
sebelum kalian mempelajari sistem persamaan linear dua variabel,
kalian harus memahami konsep persamaan linear dua variabel.
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
3
Eksplorasi
1.1
Konsep Persamaan Linear Dua Variabel
Melalui kegiatan eksplorasi ini, kalian diajak untuk menemukan
konsep persamaan linear dua variabel. Perhatikan permasalahan
berikut.
Gambar 1.2 Toko Sembako
Veronika pergi ke toko sembako. Ia berencana membeli beras merah
dan tepung terigu. Harga 1 kg beras merah Rp20.000,00, sedangkan
harga 1 kg tepung terigu Rp10.000,00. Uang yang dibayarkan
Veronika Rp120.000,00.
B Tulislah kemungkinan berat (dalam kg) tepung terigu dan beras
merah yang dibeli Veronika.
Tabel 1.1 Berat Beras Merah dan Tepung Terigu
Berat beras
merah
(dalam kg)
Berat
tepung
terigu
(dalam kg)
Uang yang dibayarkan
0 12 0(20.000)+12(10.000)=120.000
0,5 11
0,5(20.000)+11(10.000)=120.000
1 … …
… 9,5 …
… … …
… … …
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
4
C Data di Tabel 1.1 disajikan pada bidang koordinat sebagai
berikut.
0
2
4
6
8
10
12
246810 12 x
y
Berat Beras Merah (kg)
Berat Tepung Terigu (kg)
Gambar 1.3 Grak Hubungan Berat Beras Merah dan Tepung Terigu.
D Buatlah sebuah persamaan yang menghubungkan berat beras
merah dan tepung terigu (dalam kg) dengan total uang yang
dibayarkan Veronika!
F Persamaan yang kalian temukan pada kasus ini disebut dengan
persamaan linear dua variabel. Tuliskan yang kalian ketahui
tentang persamaan linear dua variabel!
Secara umum, persamaan linear dua variabel dapat didenisikan
sebagai berikut.
Definisi
1.1
Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk ax + by = c, dengan x, y adalah variabel
dan
Penyelesaian dari persamaan linear dua variabel yang berbentuk
ax + by = c dapat ditentukan dengan mencari bilangan-bilangan peng-
ganti variabel xdan yyang menyebabkan persamaan linear tersebut
benar. Penyelesaian persamaan linear dua variabel dapat ditulis dalam
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
5
bentuk pasangan berurutan (x, y), sedangkan himpunan penyelesaian
dari persamaan linear dua variabel adalah himpunan dari semua
pasangan berurutan yang merupakan penyelesaian dari persamaan
linear dua variabel. Untuk lebih memahami persamaan linear dua
variabel marilah kita perhatikan contoh berikut ini.
Contoh
1.1
Memodelkan Persamaan Linear Dua Variabel
Tissa pergi ke toko alat tulis. Ia membeli 3 buku tulis dan 5 bolpoin
dengan membayar Rp19.000,00. Buatlah model matematika dari
permasalahan tersebut.
Alternatif Penyelesaian
Gambar 1.4 Toko Alat Tulis
Misalkan m menyatakan harga 1 buku tulis dan n menyatakan harga
1 bolpoin. Dengan demikian, harga 3 buku tulis adalah 3m, harga 5
bolpoin 5ndan total harga adalah Rp19.000,00. Persamaan linear
dua variabel dapat dituliskan sebagai berikut.
3m + 5n = 19.000
Diketahui keliling sebuah segitiga sama kaki adalah 48 cm.
Tentukan model matematika yang menghubungkan antara
keliling dan panjang sisi segitiga tersebut.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
6
Perhatikan kasus pada Contoh 1.1. Dapatkah kalian menentukan
harga 1 buku tulis dan harga 1 bolpoin? Persamaan pada kasus tersebut
adalah 3m + 5n = 19.000. Untuk mengetahui harga buku tulis dan bolpoin
kita harus menentukan penyelesaian dari persamaan tersebut. Jika kita
mengganti m dengan bilangan bulat positif (ingat bahwa m menyatakan
harga 1 buku tulis), maka nilai ndapat diperoleh sebagai berikut.
Misalkan m= 3.000 maka diperoleh:
3(3.000) +5n = 19.000
9.000 + 5n = 19.000
5n = 19.000 - 9.000
5n = 10.000
n = 2.000
Apabila harga 1 buku tulis Rp3.000,00 maka harga 1 bolpoin
Rp2.000,00. Pasangan berurutan (3.000, 2.000) merupakah salah
satu penyelesaian dari persamaan 3m + 5n =19.000. Apakah hanya
(3.000, 2.000) penyelesaian dari persamaan tersebut? Tentu saja tidak.
Apabila nilai mberubah maka nilai nbergantung pada nilai m, begitu
pun sebaliknya. Untuk lebih jelasnya dalam mencari penyelesaian
persamaan linear dua variabel, marilah kita perhatikan contoh berikut.
Contoh
1.2
Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua
variabel2x+y=8, jika:
B
Nilai x dan y adalah bilangan cacah.
C Nilai x dan y adalah bilangan bulat.
D
Nilai x dan y adalah bilangan real.
Alternatif Penyelesaian
B Misalkan nilai x = 1 dan y=5, nilai x dan y tersebut merupakan
bilangan cacah tetapi tidak memenuhi persamaan 2x+y=8.
Nilaix=5 dan y=-2 memenuhi persamaan 2x+y=8, tetapi
nilai y bukan bilangan cacah. Nilai x=1 dan y=6 merupakan
bilangan cacah dan memenuhi persamaan 2x+y=8. Bilangan
cacah x dan y yang memenuhi persamaan 2x+y=8 dapat kalian
lihat pada Tabel 1.2.
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
7
Tabel 1.2 Pasangan Bilangan Cacah x dan y yang Memenuhi
Persamaan 2x+y=8
x y
2x+y
0 8 8
1 6 8
2 4 8
3 2 8
4 0 8
Informasi pada Tabel 1.2 disajikan pada Gambar 1.5.
0
1
3
4
5
6
8
246
58
713 x
y
2
7
(4, 0)
(3, 2)
(2, 4)
(1, 6)
(0, 8)
Gambar 1.5 Grak Persamaan 2x+y=8, dengan x dan y Bilangan Cacah
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel
2x+y=8 dengan nilai x dan y merupakan bilangan bulat adalah
(,),(,),(,),(,),(,)08
16 24 32 40
",
.
C Misalkan nilai
x
2
1
=
dan y=7, nilai xdan y tersebut
memenuhi persamaan 2x+y=8tetapi nilai xbukan
bilangan bulat. Nilai x=-3 dan y=14 merupakan bilangan
bulat dan memenuhi persamaan 2x+y=8. Bilangan bulat
x dan y yang memenuhi persamaan 2x+y=8 dapat kalian
lihat pada Tabel 1.3.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
8
Tabel 1.3 Pasangan Bilangan Bulat x dan y yang Memenuhi
Persamaan 2x+y=8
x y
2x+y
… … …
-3 14 8
-2 12 8
-1 10 8
0 8 8
1 6 8
2 4 8
3 2 8
… … …
Nilai x dan y berupa anggota bilangan bulat, sehingga terdapat
tak hingga tetapi tercacah banyaknya penyelesaian dari sistem
persamaan linear dua variabel (dapat dilihat pada Gambar 1.6).
2 468 10–2–4–6–8
2
4
6
8
10
12
14
y
–2
–4
0 x
(7, –6)
(6, –4)
(5, –2)
(4, 0)
(3, 2)
(2, 4)
(1, 6)
(0, 8)
(–1, 10)
(–2, 12)
(–3, 14)
(–4, 16)
Gambar 1.6 Grak Persamaan 2x+y=8, dengan x dan y Bilangan Bulat
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel
2x+y=8 dengan nilai x dan y merupakan bilangan bulat adalah
...,(3,14),(2,12),(1,10),
(0,8),(1,6),(2,4),(3,2), ...
---
#-
.
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
9
D Nilai dari variabel x dan y berupa anggota bilangan real,
sehingga terdapat tak hingga (tetapi tidak tercacah) banyaknya
penyelesaian dari persamaan linear dua variabel. Jika digambar
dalamgrak,himpunanpenyelesaianpersamaan linear dua
variabel merupakan kumpulan semua titik yang membentuk
garis lurus dengan persamaan 2x+y=8(dapat dilihat pada
Gambar 1.7). Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan
linear dua variabel 2x+y=8dengan nilai xdan yanggota
bilangan real adalah {(x,y)|2x+y=8; x, y
}.
2 468 10–1–2–3–4
2
4
6
8
10
12
14
y
–2
–4
0 x
Gambar 1.7 Grak Persamaan 2x+ y=8, dengan x dan y Bilangan Real
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua
variabel-3x+2y=12, jika:
B Nilai x dan y adalah bilangan cacah.
C Nilai x dan y adalah bilangan bulat.
D Nilai x dan y adalah bilangan real.
Jika tidak dituliskan secara spesik, maka nilai variabel dari persamaan
linear dua variabel mewakili bilangan real.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
10
Matematika dan Sains
Mengukur Berat dengan Neraca Pegas
Carilah satu benda di dekat kalian (misalnya pensil
atau bolpoin), kemudian perkirakan panjang dan
beratnya! Mana yang lebih mudah: memperkirakan
panjang atau beratnya? Bagi sebagian besar orang,
memperkirakan panjang suatu benda lebih mudah
dibandingkan dengan memperkirakan beratnya. Hal
ini dikarenakan panjang suatu benda dapat diamati
secara langsung.
Fakta tersebut digunakan dalam neraca pegas.
Ketika kita menimbang suatu benda dengan neraca
pegas (lihat Gambar 1.8), berat benda tersebut ditunjukkan dengan
seberapa jauh pegasnya memanjang. Akan tetapi, agar cara
menimbang seperti ini benar, kita perlu memastikan bahwa berat
benda yang ditimbang proporsional dengan panjang regangan
pegasnya. Namun hal tersebut telah dijamin oleh Hukum Hooke.
Untuk pegas tertentu, pegas tersebut akan meregang sejauh
2,4 cm ketika diberi beban 200 g, meregang 4,8 cm ketika diberi
beban 400 g, meregang sejauh 7,2 cm ketika diberi beban 600 g,
dan demikian seterusnya. Hubungan antara peregangan pegas dan
berat bebannya dapat dimodelkan ke dalam grak berikut ini.
20 4 6 8 10 12 x
200
400
600
800
1000
y
Peregangan Pegas (cm)
Berat Beban (g)
Gambar 1.9 Grak Hubungan antara Peregangan Pegas dan Berat Beban
Hubungan tersebut dapat dimodelkan ke dalam persamaan linear
dua variabel berikut
Gambar 1.8
Neraca Pegas
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
11
y
=
x
3
250
atau 250x-3y=0
dengan y adalah berat beban dan x adalah panjang peregangannya.
Di dalam ilustrasi tersebut kita dapat melihat bahwa ilmu
pengetahuan alam dapat membantu kita untuk mengukur
berat suatu benda dengan neraca pegas. Neraca pegas tersebut
menggunakan Hukum Hooke yang menjamin bahwa peregangan
suatu pegas proporsional dengan berat bebannya. Hubungan
antara peregangan pegas dan berat beban tersebut selanjutnya
dapat dimodelkan ke dalam persamaan linear dua variabel. Dengan
cara seperti ini, kita dapat menentukan berat suatu benda dengan
melihat seberapa jauh peregangan pegasnya. Menarik bukan?
Latihan
A
Persamaan Linear Dua Variabel
Kerjakan latihan berikut dengan teliti dan benar.
Pemahaman Konsep
B Di antara persamaan-persamaan berikut ini, manakah yang
merupakan persamaan linear dua variabel berdasarkan Denisi
1.1?
ⓐ 3p–6=7
ⓑ 3a=5–b
ⓒ 2p–7q=–3p
ⓓ –n–3=4n
ⓔ
x
y
2
5
2
10
+=
C Tentukan apakah pasangan berurutan berikut merupakan salah
satu penyelesaian dari persamaan yang diberikan.
ⓐ
;(
,)
yx505
=
ⓑ
;,yx27
2
1
6
=- -
a
k
ⓒ
;
(,
)xy
34 623
-- =- -
ⓓ
;(
,)
yx23435
=+
--
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
12
Penerapan Konsep
B Tentukan persamaan dari grak berikut.
ⓐ
24x
y
0
–2
–4
ⓑ
24x
y
0
2
4
ⓒ
–2–4 x
y
0
2
4
C Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua
variabel
x
y
23
3
+=
, jika:
ⓐ Nilai x dan y adalah bilangan cacah;
ⓑ Nilai x dan y adalah bilangan real.
D Nyatakan pernyataan berikut ke dalam bentuk persamaan linear
dua variabel.
ⓐ Diketahui harga tiket lm di suatu bioskop Rp35.000,00. y
menyatakan pendapatan dari hasil penjualan tiket dan x
menyatakan banyak tiket terjual.
ⓑ Tarif listrik R-1/tegangan rendah dengan daya 1300 watt pada
tahun 2022 adalah Rp1.444,70 per kWh dan dikenakan biaya
administrasi Rp6.000,00 per bulan.
ⓒ Harga 2 ekor sapi dan 5 ekor kambing Rp64.000.000,00.
B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Untuk memahami ide tentang sistem persamaan linear dua variabel,
ayo kerjakan aktivitas eksplorasi berikut.
Eksplorasi
1.2
Waktunya Bercerita!
Sekarang kalian diminta untuk bercerita. Apakah kalian siap? Ayo
perhatikan Gambar 1.10 berikut!
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
13
0
Gambar 1.10 Grak untuk
Diceritakan
B Carilah situasi yang pernah kalian lihat atau alami dan dapat
dimodelkan ke dalam grak pada Gambar 1.10!
C Buatlah sebuah cerita tentang situasi pada nomor 1!
D Sampaikan cerita tersebut pada teman kalian dan mintalah dia
menghubungkan cerita kalian dengan grak pada Gambar 1.10
Di aktivitas eksplorasi selanjutnya, kalian diajak untuk memahami
konsep sistem persamaan linear dua variabel.
Eksplorasi
1.3
Konsep Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel
Melalui kegiatan eksplorasi ini,
kalian diajak untuk menemukan
konsep sistem persamaan linear dua
variabel. Perhatikan permasalahan
berikut.
Pada pukul 08.00 Putri melakukan
perjalanan dari Yogyakarta menuju
Semarang dengan kecepatan 60 km/
jam. Setengah jam setelah Putri
berangkat, Akbar berangkat dari lokasi yang sama. Akbar melaku-
kan perjalanan dengan kecepatan 80 km/jam melalui jalan dan arah
yang sama dengan Putri.
Gambar 1.11 Perjalanan
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
14
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.
B Kalimat-kalimat berikut ini cocok dikatakan oleh Putri atau
Akbar? Centanglah kolom yang sesuai atau kosongkan jika tidak
sesuai.
Tabel 1.4 Pernyataan Putri atau Akbar
Pernyataan
Putri Akbar
Saya menempuh jarak 0 km, saat
2
1
jam
setelah pukul 08.00.
Saya menempuh jarak 30 km, saat
2
1
jam setelah pukul 08.00.
Saya menempuh jarak 40 km, saat 1 jam
setelah pukul 08.00.
Saya menempuh jarak 60 km, saat 1 jam
setelah pukul 08.00.
Saya menempuh jarak 80 km, saat
2
3
jam setelah pukul 08.00.
Saya menempuh jarak 90 km, saat
2
3
jam setelah pukul 08.00.
C Kasus Putri dan Akbar disajikan pada Gambar 1.12
1234
50
100
150
200
250
x
y
0
Waktu (jam)
Jarak (km)
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
3
1
2
4
Gambar 1.12 Grak Perjalanan Putri dan Akbar
ⓐ Perhatikan Gambar 1.12, garis berwarna apa yang menyatakan
kasus Putri? Garis berwarna apa yang menyatakan kasus
Akbar?
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
15
ⓑ Jelaskan makna dari kemiringan setiap garis.
ⓒ Tentukan titik potong kedua garis, kemudian jelaskan makna
dari titik potong dua garis.
Sebagai alternatif kegiatan Eksplorasi 1.3, kalian dapat ber eksplo-
rasi melalui aktivitas interaktif berikut.
Aktivitas Interaktif
Aktivitas interaktif ini tujuannya serupa dengan
kegiatan Eksplorasi 1.3. Untuk mengaksesnya,
silakan kunjungi tautan https://student.desmos.
com/ dan masukkan kode kelas yang diberikan
guru kalian.
Dalam Eksplorasi 1.3 kalian telah mengenal sistem persamaan
linear dua variabel.Apa denisi darisistem persamaan linear dua
variabel? Ayo kita cermati denisi berikut.
Definisi
1.2
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Apabila terdapat dua buah persamaan linear dua variabel yang
berbentuk
ax by c
+=
dan
dx ey f
+=
, dengan persamaan satu
dan lainnya saling berkaitan maka kedua persamaan tersebut
dinamakan sistem persamaan linear dua variabel. Bentuk umum
sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut.
ax by c
dx ey f
+=
+=
)
x, y adalah variabel dengan a, b, c, d, e,
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel yang berbentuk
ax by c
dx
ey f
+=
+=
)
dapat ditentukan dengan mencari nilai xdan yyang
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
16
memenuhi kedua persamaan linear tersebut. Penyelesaian sistem
persamaan linear dua variabel tersebut dapat ditulis sebagai pasangan
bilangan berurutan (x, y).
Contoh
1.3
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Perhatikan informasi di bawah ini.
Gambar 1.13 Harga Susu Kedelai dan Susu Sapi
Apabila harga 1 botol susu kedelai dinyatakan dengan xdan harga
1 botol susu sapi dinyatakan dengan y, modelkan informasi pada
Gambar 1.13 ke dalam sistem persamaan linear dua variabel.
Alternatif Penyelesaian
Variabel x menyatakan harga 1 botol susu kedelai dan variabel y
menyatakan harga 1 botol susu sapi.
Harga susu
kedelai
Harga susu
sapi
Total harga
(Rupiah)
Kasus I 2x 3y 36.000
Kasus II
x
4y 38.000
Dengan demikian, sistem persamaan linear dari informasi tersebut
adalah sebagai berikut.
.
.
xy
xy
2336 000
438 000
+=
+=
)
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
17
Perhatikan informasi di bawah ini.
Gambar 1.14 Harga Baju Batik dan Celana Panjang
Jika harga 1 baju batik dinyatakan dengan pdan harga 1 celana
panjang dinyatakan dengan q, modelkan informasi pada
Gambar 1.14 ke dalam sistem persamaan linear dua variabel.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat
dilakukan dengan metode berikut.
1. Metode Grafik
Kalian sudah mempelajari konsep sistem persamaan linear dua
variabel. Kalian dapat menentukan penyelesaian dari sistem persamaan
linearduavariabel dengan menggunakan metode grak.Langkah-
langkah penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan
menggunakan metode grak adalah sebagai berikut.
B Menggambar grak kedua persamaan pada satu bidang koordinat.
C Menentukan perkiraan titik potong kedua grak (jika ada).
D Memeriksa kembali titik potong kedua grak dengan memasukkan
nilai dari variabel ke setiap persamaan.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
18
Agar lebih memahami cara penyelesaian sistem persamaan linear
dua variabel dengan metode grak, mari kita amati Contoh 1.4.
Contoh
1.4
Menggunakan Metode Grafik
Dengan menggunakan metode grak, tentukan penyelesaian dari
sistem persamaan linear berikut.
xy
xy
4324
21
0
-=
-=
)
Alternatif Penyelesaian
Untuk memudahkan kalian dalam menggambar grak, tentukan
titik potong sumbu xdan sumbu y.
4x-3y=24 2x-y=10
x
0 6
x
0 5
y
-8 0
y
-10 0
(x, y)
(0, -8) (6, 0)
(x, y)
(0, -10) (5, 0)
246810 12
–2
–4
–6
–8
-10
–12
2
y
–2 0 x
2x– y= 10
4x– 3y= 24
Gambar 1.15 Grak
xy
xy
43 24
21
0
-=
-=
)
.
Gambar 1.15 merupakan grak dari sistem persamaan linear
xy
xy
4324
21
0
-=
-=
)
.
Pada Gambar 1.15, terlihat bahwa perkiraan titik potong kedua
persamaan adalah (3,-4). Untuk memastikan apakah (3,-4)
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
19
merupakan titik potong kedua garis tersebut, periksalah dengan
memasukkan nilai xdan yke dalam setiap persamaan.
Persamaan: 4x-3y
?
=
24 2x-y
?
=
10
4(3)-3(-4)
?
=
24 2(3)-(-4)
?
=
10
12+12
?
=
24 6+4
?
=
10
24 = 24 (Benar) 10 = 10 (Benar)
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel
xy
xy
4324
21
0
-=
-=
)
adalah(3,-4).
Dengan menggunakan metode grak, tentukan penyelesaian
dari sistem persamaan linear berikut.
xy
xy
659
233
+=
-=
)
Aktivitas Interaktif
Untuk membantu pemahaman penyelesaian
sistem persamaan linear dua variabel
menggunakan metode grak, lakukan aktivitas
interaktif berikut ini. Pindai kode QR atau buka
tautan berikut!
http://ringkas.kemdikbud.go.id/
MengenalSPLDV
Eksplorasi 1.4
Menggunakan Metode Grafik
Gambarlah grak setiap sistem persamaan linear dua variabel
berikut untuk melihat penyelesaiannya!
ⓑ
22
22
yx
yx
=-
=+
)
ⓑ
xy
xy
24
1
+=
-=-
)
ⓒ
xy
xy
23 6
4612
-=-
-+ =
)
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
20
Berdasarkan grak yang telah kalian gambar, ada berapa banyak
penyelesaian setiap sistem persamaan tersebut? Mengapa?
Dari Eksplorasi 1.4 dapat kita lihat bahwa penyelesaian sistem
persamaan linear dua variabel dapat memiliki tepat satu penyelesaian
(lihat Gambar 1.16), tidak memiliki penyelesaian (lihat Gambar
1.17), atau mempunyai tak hingga penyelesaian (lihat Gambar 1.18).
Perhatikan gambar berikut ini.
Gambar 1.16 Dua Garis
Berpotongan di Tepat
Satu Titik
Gambar 1.17. Dua Garis
Tidak Berpotongan
(Sejajar)
Gambar 1.18 Dua Garis
Berpotongan di Tak
Hingga Titik (Berimpit)
x
0
y
x0
y
x
0
y
Dengan menggunakan gradien (kemiringan) garis, apakah kalian
dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua
variabel yang memiliki satu penyelesaian, banyak penyelesaian,
atau tidak memiliki penyelesaian? Jelaskan.
2. Metode Substitusi
Pada bagian sebelumnya kalian telah belajar menggunakan metode
grak. Apakah ada cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan
linear dua variabel? Ayo cari tahu dengan mengerjakan Eksplorasi 1.5
berikut ini!
Ayo Berpikir Kritis 1.1
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
21
Eksplorasi
1.5
Mencermati Pekerjaan Rafael
Ketika mengerjakan Eksplorasi 1.3, Rafael menyelesaikan model
matematika yang dia peroleh seperti berikut.
Gambar 1.19 Pekerjaan Rafael
Jelaskan strategi yang digunakan Rafael dalam menemukan nilai x
dan y!
Di Eksplorasi 1.5, kalian telah mengenal cara lain untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Cara tersebut
disebut dengan metode substitusi. Untuk melihat penggunaan metode
substitusi, mari cermati Contoh 1.5 berikut!
Contoh
1.5
Menggunakan Metode Substitusi
Perhatikan permasalahan pak Ahmad berikut, kemudian bantulah
pak Ahmad untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.
Hari yang cerah,
jalan ke toko sepeda.
Langsung
Masuk saja.
Silakan pak,
ada yang bisa
kami bantu?
Saya berencana
membeli sepeda.
ok pak.
Saya membeli
untuk dijual kembali.
Garasi toko saya
dapat menampung
25 sepeda.
Itu ada
sepeda gunung
dan sepeda balap.
Ini jenis sepeda
apa saja?
Berapa harga
dari setiap jenis
sepeda itu?
Beli berapa
banyak ya?
Uang saya
Rp42.000.000,00.
1 buah sepeda gunung
harganya Rp1.500.000,00
dan 1 buah sepeda balap
harganya Rp2.000.000,00.
Bapak akan membeli berapa?
Gambar 1.20 Permasalahan Pak Ahmad
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
22
Alternatif Penyelesaian
Misalkanx menyatakan banyak sepeda gunung
y menyatakan banyak sepeda balap
sistem persamaan linear dari kasus tersebut adalah:
IIpersamaan
I
persamaan
.. .. ..
xy
xy
25
1 500 0002000 000 42 000 000
+=
+=
*
Persamaan linear dua variabel tersebut dapat disederhanakan
dengan membagi persamaan II dengan 500.000, maka diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut.
IIpersamaan
I
persamaan
xy
xy
25
3484
+=
+=
*
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut dengan
menggunakan metode substitusi, kita lakukan langkah-langkah
berikut ini.
Langkah pertama: Pilih salah satu persamaan, misal persamaan I
kemudian nyatakan salah satu variabelnya dalam bentuk variabel
lain.
Persamaan I diubah menjadi x=25–y.
Langkah kedua: Substitusikan atau gantikan persamaan yang
diperoleh dari langkah pertama ke persamaan lain pada sistem
persamaan linear dua variabel.
Substitusikan x=25-yke persamaan ke II, diperoleh:
3(25-y)+4y = 84
75-3y+4y = 84
75+y = 84
y = 9
Langkah ketiga: Substitusi nilai variabel yang sudah diperoleh dari
langkah kedua pada salah satu persamaan, untuk memperoleh nilai
variabel lain.
Substitusikan nilai y=9 ke x=25-ydiperoleh nilai x=16.
Dari uraian sebelumnya diperoleh nilai x=16 dan y=9 , sehingga
penyelesaian dari
xy
xy
25
3484
+=
+=
)
adalah (16, 9). Jadi, banyaknya
sepeda yang akan dibeli pak Ahmad adalah 16 buah sepeda gunung
dan 9 buah sepeda balap.
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
23
Seorang pemilik rumah membagi sebagian halaman belakang
rumahnya untuk dijadikan kebun sayuran. Lebar kebun
tersebut adalah 4 meter lebih pendek dari panjangnya. Keliling
kebun sayur tersebut adalah 52 m. Berapakah luas kebun sayur
itu?
1. Menurut kalian, sistem persamaan linear yang bagaimana
yang mudah diselesaikan menggunakan metode substitusi?
2. Cara Joko menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel
xy
xy
210
23 6
+=
-+ =-
)
adalah sebagai berikut.
xy xy210210&
+= =- +
yy2102 10
-+ +=
xy210
10 10
+=
=
Jadi, sistem persamaan linear
xy
xy
210
23 6
+=
-+ =-
)
memiliki banyak
penyelesaian.
Apakah pekerjaan Joko sudah tepat? Apabila belum tepat,
bantulah Joko menyelesaikan sistem persamaan tersebut.
3. Metode Eliminasi
Selain metode grak dan metode substitusi, ternyata masih ada cara
lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Untuk
mengetahuinya, kerjakan Eksplorasi 1.6 berikut!
Ayo Mencoba
Ayo Berpikir Kritis 1.2
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
24
Eksplorasi
1.6
Mencermati Pekerjaan Butet
Butet memiliki cara yang berbeda dengan Rafael (di Eksplorasi 1.5)
dalam menyelesaikan permasalahan di Eksplorasi 1.3. Model yang
didapatkan Butet adalah seperti ini.
xy
xy
60 0
80 40
-=
-=
)
Untuk menyelesaikan sistem tersebut, Butet menggunakan strategi
seperti pada Gambar 1.20 berikut.
Gambar 1.21 Pekerjaan Butet
Cermati pekerjaan Butet tersebut dan jelaskan strategi yang
digunakan Butet untuk menemukan nilai xdan y!
Di Eksplorasi 1.6 kalian telah mengenal metode eliminasi.
Sesuai namanya, ide utama metode ini adalah mengeliminasi atau
menghilangkan satu variabel untuk menyelesaikan variabel lainnya.
Untuk melihat penggunaan metode ini secara detail, ayo cermati Contoh
1.6 berikut!
Contoh
1.6
Menggunakan Metode Eliminasi
Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan metode
eliminasi.
xy
xy
3415
5212
-=
+=
)
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
25
Alternatif Penyelesaian
Sistem persamaan linear dua variabel yang diberikan adalah
sebagai berikut.
xy
xy
3415
5212
persamaan I
persamaan II
-=
+=
*
Untuk menyelesaikannya, kita lakukan langkah-langkah berikut ini
Langkah Pertama: Eliminasi variabel x.
Untuk mengeliminasi variabel x, persamaan I dikalikan dengan 5
dan persamaan II dikalikan dengan 3.
xy
xy
xy
xy
3415
212
5
3
15 20 75
15
63
6
5
#
#
-=
+=
-=
+=
y
y
y
26 39
26
39
1
2
1
-=
=
-
=-
Langkah kedua: Eliminasi variabel y.
Untuk mengeliminasi variabel y, persamaan I dikalikan dengan 1
dan persamaan II dikalikan dengan 2.
xy
xy
xy
xy
3415
212
1
2
41
5
10
42
4
5
3
#
#
-=
+=
-=
+=
+
x
x
x
39
13
39
3
13
=
=
=
Jadi, penyelesaian dari
xy
xy
3415
5212
-=
+=
)
adalah
,31
2
1
-
a
k
.
Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan
metode eliminasi.
xy
xy
375
5222
+=
-=
)
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
26
Buatlah sistem persamaan linear dua variabel yang penyelesaian-
nya adalah (2,-5).
Di bagian ini kalian akan diajak untuk berkolaborasi dengan teman
kalian. Akan tetapi, nomor 1 berikut digunakan sebagai pemanasan
sebelum kalian melakukan kolaborasi.
B Abel pergi ke rumah Dhien. Dhien pergi ke rumah Abel. Kapan
mereka akan berpapasan?
C Berpasanganlah dengan satu teman kalian. Guru kalian akan
memberikan selembar kartu masalah atau kartu data. Jangan
tunjukkan kartu yang kalian dapat ke pasangan kalian!
Lakukan hal-hal berikut jika
kalian mendapatkan kartu
masalah.
ⓐ Bacalah di dalam hati masalah
yang tertulis pada kartu
tersebut. Pikirkan informasi
apa saja yang kalian perlukan
untuk menjawab masalah
tersebut.
ⓑ Tanyakan informasi yang
kalian perlukan ke pasangan
kalian.
ⓒ Kalian perlu menanyakan
beberapa informasi ke
pasangan kalian agar kalian
dapat mengerjakan masalah
yang diberikan.
ⓓ Perlihatkan kartu masalahnya
kepada teman kalian agar
masalahnya dapat dikerjakan
secara individu.
ⓔ Baca kartu data yang
dimiliki pasanganmu dan
berdiskusilah tentang jawaban
kalian masing-masing.
Lakukan hal-hal berikut jika
kalian mendapatkan kartu data.
ⓐ Bacalah di dalam hati
informasi yang ada pada kartu
tersebut.
ⓑ Tanyakan kepada pasangan
kalian, “Informasi apa yang
kamu perlukan?”
Jika kalian tidak mengetahui
informasi yang ditanyakan,
katakan bahwa kalian tidak
memiliki informasinya.
ⓒ Tanyakan kepada pasangan
kalian, “Mengapa kamu
memerlukan informasi
tersebut?”
ⓓ Baca kartu masalah yang
dimiliki pasanganmu dan
kerjakan masalah tersebut
secara mandiri.
ⓔ Bagikan kartu datanya ke
teman kalian dan diskusikan
jawaban kalian masing-
masing.
Ayo Berpikir Kreatif 1.1
Ayo Bekerja Sama
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
27
4. Metode Campuran
Kalian telah mempelajari penyelesaian sistem persamaan linear dua
variabel menggunakan metode grak, metode substitusi, dan eliminasi.
Sekarang kalian akan belajar metode berikutnya, yaitu metode
campuran.
Perhatikan Contoh 1.7 berikut untuk melihat penggunaan metode
campuran dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.
Contoh
1.7
Menggunakan Metode Campuran
Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan metode
campuran.
xy
xy
31
1
2
1
45 5
-=
+=-
*
Alternatif Penyelesaian
Berikut ini adalah sistem persamaan yang diberikan.
xy
xy
311
2
1
45 5
persamaan I
persamaan II
-=
+=-
*
Untuk menyelesaikannya, kita lakukan langkah-langkah berikut ini.
Langkah Pertama: Eliminasi salah satu variabel.
Untuk mengeliminasi variabel x, persamaan I dikalikan dengan 4
dan persamaan II dikalikan dengan 1.
xy
xy
xy
xy
311
2
1
45 5
4
1
41
24
6
45 5
#
#
-=
+=-
-=
+=-
y
y
y
17 51
17
51
3
-=
=
-
=-
Langkah Kedua: Substitusikan nilai variabel ke salah satu
persamaan pada sistem persamaan linear dua variabel.
Substitusi y=-3ke persamaan I.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
28
()
xy
x
x
x
x
311
2
1
33 11
2
1
911
2
1
11
2
1
9
2
2
1
-=
-- =
+=
=-
=
Jadi, penyelesaian sistem persamaan yang diberikan adalah
,2
2
1
3
-
a
k
.
Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan
metode campuran.
xy
xy
371
25 20
-+ =
+=-
)
Nusa Tenggara Timur (NTT) merupakan
provinsi yang kaya akan warisan budaya,
salah satunya kain tenun. Garlola dan Laberi
pergi ke toko kain NTT untuk membeli kain
tenun. Garlola membeli 5 tenun buna dan
2 tenun ikat dengan harga Rp5.150.000,00.
Laberi membeli 2 tenun buna dan 3 tenun
ikat dengan total harga Rp3.050.000,00.
Tanesya akan membeli kain tenun di
tempat yang sama dan dia memiliki uang
Rp5.500.000,00. Menurut Tanesya uangnya
cukup untuk membeli 9 kain tenun, tetapi menurut Laberi uang
Tanesya tidak cukup. Menurut Garlola tergantung jenis tenun yang
akan dibeli Tanesya. Pernyataan manakah yang benar? Mengapa?
Ayo Mencoba
Gambar 1.22 Kain
Tenun NTT
Ayo Berpikir Kritis 1.4
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
29
Aktivitas Interaktif
Aktivitas interaktif ini mengajak kalian meracik
warna. Ayo kunjungi https://student.desmos.
com/ atau pindai kode QR di samping, kemudian
masukkan kode kelas yang diberikan oleh guru
kalian!
Latihan
B
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Pemahaman Konsep
B Benar atau salah. Pasangan (x, y ) merupakan penyelesaian suatu
sistem persamaan linear dua variabel apabila nilai x dan y tersebut
memenuhi semua persamaan pada sistem persamaan tersebut.
C Benar atau salah. Diberikan sistem persamaan
ax by c
px qy r
+=
+=
)
. Jika
p
a
q
b
=
maka sistem persamaan linear dua variabel tersebut
mempunyai tepat satu penyelesaian.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
30
D Pasangkan sistem persamaan linear dua variabel berikut dengan
graknya.
ⓐ
xy
xy
32
627
+=
-- =
)
ⓑ
xy
xy
72 4
53 5
-=-
-+ =-
)
ⓒ
xy
xy
346
4
1
3
1
2
1
-=
-=
*
Penerapan Konsep
E Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode
grak.
ⓐ
xy
xy
2
32
6
-=
+=
)
ⓑ
xy
xy
48 2
2
2
1
-=-
-=-
*
F Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode
substitusi.
ⓐ
xy
xy
4811
51
-=
+=
)
ⓑ
xy
xy
21
23 5
=+
+=-
)
20 x
y
–2
2
–2
0 x
y
2
2
0 x
y
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
31
G Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode
eliminasi.
ⓐ
xy
xy
34 11
3
1
62
-=-
+=
*
ⓑ
xy
xy
45 2
855
+=-
-=
)
H Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode
campuran.
ⓐ
xy
xy
25 49
4670
-+ =-
-=
)
ⓑ
xy
xy
23
13 11 9
-=
+=
)
I Tentukan nilai n agar sistem persamaan linear
xy
xny
13
9
-=
-- =
)
tidak
memiliki penyelesaian.
J Wayan pergi ke toko kue tradisional untuk membeli kue basung
(kue yang berasal dari Sumatera Barat) dan kue mendut (kue yang
berasal dari Jawa Tengah). Dia membeli satu kue basung dan tiga
kue mendut dengan harga seluruhnya Rp13.500,00. Di toko yang
sama, Aisyah membeli dua kue basung dan lima kue mendut dengan
harga seluruhnya Rp24.000,00. Berapa harga tiga kue mendut dan
tujuh kue basung?
K Suatu toko alat lukis menjual 40 kuas lukis. Harga kuas lukis jenis
I Rp35.000,00 dan harga kuas lukis jenis II Rp24.000,00. Jika uang
yang didapat oleh toko tersebut Rp1.103.000,00, maka berapa
banyak masing-masing jenis kuas lukis yang terjual?
L Apabila terdapat dua bilangan yang berbeda, tentukan penyelesaian
dari teka-teki berikut ini.
“
4
1
dari bilangan pertama ditambah 1 sama dengan
2
1
dari
bilangan kedua.”
“Bilangan pertama sama dengan 4 lebihnya dari dua kali bilangan
kedua.”
Tentukan nilai bilangan pertama dan bilangan kedua.
M Tentukan nilai
xy
$
, jika diketahui sistem persamaan linear berikut.
xy
xy
y
x
573
32
7
6
8
25
5
1
++
-+
=
-+
+
=
Z
[
\
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
32
Ringkasan
B Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk ax+by=c, dengan x, yadalah variabel
dan
).
C Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel yang berbentuk
ax+by=c dan dx+ey=f , dengan persamaan satu dan lainnya saling
berkaitan maka kedua persamaan tersebut dinamakan sistem
persamaan linear dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan
linear dua variabel adalah
ax by c
dx ey f
+=
+=
)
dengan x, yadalah variabel
dengan a, b, c, d, e,
.
D Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear dua variabel adalah metode grak, metode
substitusi, metode eliminasi, dan metode campuran.
E Tiga kasus penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel
adalah:
ⓐ Sistem persamaan linear dua variabel memiliki satu
penyelesaian jika grak dari kedua persamaan linear
pembentuknya berpotongan tepat di satu titik.
ⓑ Sistem persamaan linear dua variabel tidak memiliki
penyelesaian jika grak dari kedua persamaan linear
pembentuknya sejajar.
ⓒ Sistem persamaan linear dua variabel mempunyai banyak
penyelesaian jika grak dari kedua persamaan linear
pembentuknya berimpit.
FPenyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan metode
grak adalah dengan cara menentukan titik potong kedua grak
persamaan linear.
G Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan
metode substitusi dilakukan dengan cara mengganti salah satu
variabel dalam variabel lain kemudian mensubstitusikannya pada
persamaan lain.
H Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan metode
eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan (eliminasi) salah
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
33
satu variabel dari sistem persamaan linear untuk menentukan nilai
dari variabel lain. Proses eliminasi satu variabel dilakukan secara
bergantian dengan variabel lainnya.
I Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan metode
campuran dilakukan dengan cara eliminasi untuk menentukan
nilai dari salah satu variabel kemudian dilanjut substitusi untuk
menentukan nilai dari variabel yang lain.
Uji Kompetensi
Uji Pemahaman
B Benar atau salah. Persamaan
x
y
7
3
11
9
12
-=
bukan merupakan
persamaan linear dua variabel.
C Benar atau salah. Titik (4,-1) merupakan salah satu penyelesaian
dari persamaan
xy
2
3
51
-
+=-
.
D Benar atau salah. Cara satu-satunya yang dilakukan pada metode
eliminasi adalah menambahkan persamaan satu dan persamaan
dua.
E Benar atau salah. Diberikan sistem persamaan
ax by c
px qy r
+=
+=
)
. Jika
p
a
q
b
r
c
!
=
, maka sistem persamaan linear tersebut tidak memiliki
penyelesaian.
F Apabila grak dari sistem persamaan linear dua variabel berimpit,
maka sistem persamaan linear yang dibentuk dari dua persamaan
tersebut memiliki penyelesaian sebanyak _____.
G Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua
variabel2x+5y=14, jika:
ⓐ nilai x dan y anggota bilangan cacah;
ⓑ nilai x dan y anggota bilangan real.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
34
Penerapan
H PERDAGANGAN. Harga 3 tangkai bunga lili dan 10 tangkai bunga
mawar adalah Rp86.000,00. Buatlah persamaan linear dari masalah
tersebut.
I Selesaikan sistem persamaan berikut.
ⓐ
xy
xy
35
258
-+ =-
-=
)
ⓑ
xy
xy
29
4
1
2
1
10
-=-
-=
*
ⓒ
xy
xy
51025
15 30 75
+=
+=
)
J Tentukan nilai n agar sistem persamaan berikut tidak memiliki
penyelesaian.
ⓐ
xy
xny
27
29
-+ =-
-=
)
ⓑ
xy
nx y
73 13
62
3
-=-
-=
)
K Tentukan nilai p+q, jika diketahui sistem persamaan
()
xy p
px
yq
347
249
+=+
--
=-
)
mempunyai banyak penyelesaian.
L PERDAGANGAN. Harga 5 kg jeruk
dan 2 kg apel adalah Rp125.000,00.
Sedangkan harga 3 kg jeruk dan 4 kg apel
Rp131.000,00. Tentukan uang yang harus
dibayarkan apabila membeli 7 kg jeruk
dan 1 kg apel.
M GEOMETRI. Diketahui dua sudut saling
berpenyiku. Besar sudut yang lebih besar adalah 6°lebih dari
empat kali ukuran sudut yang lebih kecil. Tentukan besar kedua
sudut tersebut.
N KECEPATAN. Alex dan Dava adalah atlet balap sepeda, mereka
sedang melakukan balapan dengan jarak rute balap sejauh 2 km.
Kedua pembalap mulai pada waktu yang sama dan melaju dengan
Gambar 1.23 Toko Buah
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
35
kecepatan konstan. Berikut tabel yang memberikan informasi
tentang waktu dan jarak tempuh Dava mengendarai sepeda:
Waktu
(dalam detik)
Jarak yang ditempuh
(dalam meter)
6 180
9 270
Alex menempuh seluruh balapan dengan kecepatan tetap 30 meter
per detik. Apakah ada pemenang dari balapan tersebut?
O PINJAMAN. Seorang pedagang meminjam uang untuk modal
usahanya. Ia mengambil dua pinjaman dengan total Rp8.000.000,00.
Pinjaman pertama dengan bunga sebesar 5% per tahun dan
pinjaman kedua dengan bunga tahunan sebesar 3%. Bunga tahun
pertama adalah Rp310.000,00. Berapa besar pinjaman masing-
masing?
P KECEPATAN. Sebuah motor menempuh jarak 240 km dalam waktu
yang sama dengan sebuah mobil yang menempuh jarak 222 km.
Jika laju motor adalah 6 km/jam lebih cepat dari laju mobil, tentukan
kecepatan mobil dan motor tersebut.
Q GERAK DENGAN ARUS. Sebuah bola
pingpong dilempar dari ketapel (lihat
Gambar 1.22). Ketika berlawanan
dengan angin kecepatannya adalah 6
m/s sedangkan ketika searah dengan
angin kecepatannya 10 m/s. Tentukan
kecepatan angin dan kecepatan bola
pingpong.
R NUTRISI. Seorang apoteker memiliki dua bubuk suplemen vitamin.
Bubuk pertama mengandung 20% vitamin B1 dan 10% vitamin B2.
Bubuk kedua mengandung 15% vitamin B1 dan 20% vitamin B2.
Berapa miligram masing-masing bubuk yang harus digunakan
apoteker untuk membuat campuran yang mengandung 130 mg
vitamin B1 dan 80 mg vitamin B2?
Gambar 1.24 Bola Pingpong
Dilempar dari Ketapel
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
36
S MASALAH INVESTASI. Allegra memiliki uang Rp84.000.000,00 untuk
diinvestasikan. Ia membagi uangnya untuk diinvestasikan pada
dua rekening yang berbeda. Hasil investasi tahunan rekeningnya
adalah 4% dan 6%. Pada akhir tahun Allegra memperoleh hasil
investasi Rp4.560.000,00. Tentukan besar uang yang diinvestasikan
pada setiap rekening.
T GEOMETRI. Tentukan sudut x dan y pada gambar berikut.
x
yy
370x-
U LARUTAN. Seorang pengrajin perhiasan akan mencampurkan
logam dengan kandungan paladium 48% dan logam dengan
kandungan paladium 84% untuk mendapatkan 32 gram logam baru
dengan kandungan paladium 75%. Berapa gram berat dari masing-
masing logam yang harus digunakan?
V GERAK DENGAN ARUS. Sebuah pesawat jet terbang searah dengan
angin menempuh jarak 2.200 km dalam waktu 4 jam. Namun jika
melawan angin, pesawat hanya bisa menempuh jarak 1.840 km
dalam jumlah waktu yang sama. Carilah kecepatan pesawat di
udara tenang (tidak ada angin) dan kecepatan angin.
W PENJUALAN TIKET. Harga tiket terusan
masuk Candi Borobudur-Prambanan
berbeda bagi pengunjung dewasa
dan anak-anak seperti yang disajikan
pada Gambar 1.23. Pendapatan dari
hasil penjualan tiket terusan masuk
Candi Borobudur-Prambanan adalah
Rp7.560.000,00 dengan menjual 120
tiket. Berapa banyak tiket terusan untuk dewasa dan anak-anak
yang terjual?
Gambar 1.25 Harga Tiket
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
37
Penalaran
X Tentukan nilai x dan y dari sistem persamaan berikut.
()()
()
xy
xy
xy xy
432123
3212
19
-+ +- =
+
-
-
=
Z
[
\
]
]
]
]
]
]
]
]
Y KECEPATAN. Ampong adalah kakak dari Mores. Mereka sekolah di
tempat yang sama. Ampong berangkat sekolah pukul 06.30 dengan
kecepatan 40 km/jam. Mores berangkat 15 menit setelah Ampong
dengan melalui jalan yang sama dengan Ampong. Berapa kecepatan
kendaraan Mores agar dapat menyusul Ampong dalam waktu 45
menit?
Z MENGANALISIS KESALAHAN. Diberikan sistem persamaan linear
berikut.
xy
xy
326
6412
+=
+=
)
Apabila sistem persamaan tersebut digambar grak, kedua garisnya
sejajar. Jika kedua garis tidak berpotongan, maka sistem persamaan
linear tersebut tidak memiliki penyelesaian. Pernyataan ini salah.
Kesalahan apa yang dibuat?
Proyek
Panel Surya
Energi listrik sangatlah penting untuk memenuhi kebutuhan manusia.
Banyak yang menawarkan energi baru, tetapi terkadang sumber energi
baru lebih mahal. Tahukah kalian tentang panel surya? Panel surya
adalah pembangkit listrik tenaga surya yang dapat mengubah cahaya
matahari menjadi energi listrik. Apakah panel surya lebih efektif
daripada perusahaan listrik?
Selesaikan permasalahan berikut.
ⓐ Berapakah biaya listrik di rumah kalian setiap bulannya? Asumsikan
biaya dan penggunaan tetap untuk setiap bulan kemudian isilah
tabel berikut untuk melihat biaya listrik.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
38
Tabel 1.5. Biaya Listrik
Waktu (dalam bulan)
Kumulatif Biaya listrik
(dalam rupiah)
1 …
2 …
3 …
… …
… …
ⓑ Berapakah biaya pembelian panel surya dengan daya yang sama
dengan daya listrik di rumah kalian? Biaya panel surya tidak
diasumsikan untuk memenuhi 24 jam karena banyak faktor yang
mempengaruhi seperti penggunaan beban yang tidak terkontrol,
sinar matahari tidak stabil, dan keterbatasan sistem. Panel surya
ini bertahan sampai 10 tahun.
ⓒ Buatlah model matematika yang kalian peroleh pada poin a dan b.
Kemudian gambarlah grak pada bidang koordinat.
ⓓ Tentukan titik potong grak, jelaskan makna dari titik potong
tersebut.
ⓔ Kapan perusahaan listrik menjadi pilihan terbaik?
ⓕ Kapan perusahaan listrik berhenti menjadi pilihan terbaik?
ⓖ Kapan perusahaan panel surya menjadi pilihan terbaik?
ⓗ Jika suatu hari kalian membeli rumah, apakah kalian berpikir akan
menggunakan panel surya? Berikan alasanmu.
Pengayaan
Sumber Belajar Lanjutan
Berikut ini adalah beberapa sumber belajar lain yang dapat kalian
gunakan untuk memperdalam atau memperluas pengetahuan kalian
mengenai sistem persamaan linear dua variabel.
perpuskita/8/2024
Bab I - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
39
Sumber belajar ini berupa buku teks pelajaran
alternatif. Untuk mempelajari sistem persamaan
linear dua variabel, silakan baca bab kelima.
Pindai kode QR atau buka tautan berikut! http://
ringkas.kemdikbud.go.id/BTPAlternatif
Lamaninimenjelaskantentang permasalahan
kontekstual yang berkaitan dengan sistem
persamaan linear dua variabel. http://ringkas.
kemdikbud.go.id/VideoSPLDV
Refleksi
Ingat-ingat kembali pengalaman belajar kalian di Bab 1 Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel ini. Setelah itu, reeksikan pengalaman
belajarmu dengan menanggapi pertanyaan atau pernyataan panduan
berikut.
B Sejauh mana manfaat yang dapat kalian rasakan setelah
berdinamika di Bab 1 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel?
Ceritakan manfaat yang dapat kalian rasakan.
C Strategi-strategi belajar seperti apa yang kalian gunakan untuk
belajar di Bab 1 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel? Apakah
semua strateginya sudah membantu kalian untuk belajar secara
optimal?
D Sekarang, nilailah pembelajaran kalian sendiri di Bab 1 Sistem
PersamaanLinear Dua Variabel ini dengan mencentang kolom-
kolom yang sesuai pada tabel berikut.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
40
No. TARGET PEMBELAJARAN
Subbab A Persamaan Linear Dua Variabel
1.
Saya dapat memahami konsep persamaan
linear dua variabel
2.
Saya dapat menentukan penyelesaian
persamaan linear dua variabel
Subbab B Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
3
Saya dapat memahami konsep dari sistem
persamaan linear dua variabel
4.
Saya dapat menentukan penyelesaian
sistem persamaan linear dua variabel
dengan metode grak
5.
Saya dapat menentukan penyelesaian
sistem persamaan linear dua variabel
dengan metode substitusi
6
Saya dapat menentukan penyelesaian
sistem persamaan linear dua variabel
dengan metode eliminasi
7
Saya dapat menentukan penyelesaian
sistem persamaan linear dua variabel
dengan metode campuran
8
Saya dapat membuat model matematika
dari permasalahan kontekstual yang
berkaitan dengan sistem persamaan linear
dua variabel
9
Saya dapat menyelesaikan permasalahan
kontekstual yang berkaitan dengan sistem
persamaan linear dua variabel
perpuskita/8/2024
Bab II
Bangun Ruang
Tujuan Pembelajaran
Pada bab ini, kalian akan diajak untuk mengeksplorasi berbagai
macam bangun ruang. Kalian akan mempelajari pelbagai jenis
bangun ruang beserta luas permukaan dan volumenya. Pada bab
ini, kalian juga akan mempelajari keliling dan luas lingkaran sebagai
prasyarat untuk menemukan luas permukaan dan volume bangun
ruang sisi lengkung. Selain itu, bab ini akan memberikan kesempatan
kepada teman-teman untuk memecahkan berbagai masalah terkait
bangun ruang.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI
REPUBLIK INDONESIA, 2022
Matematika
untuk SMP/MTs Kelas IX
Penulis:Yosep Dwi Kristanto, dkk
ISBN:978-602-427-918-9 (jil.3)
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
42
Ayo Bersiap Belajar!
Pada bab ini, kalian akan belajar tentang bangun ruang yang meliputi
bangun ruang sisi datar dan bangun ruang sisi lengkung. Topik yang
akan dipelajari pada bab ini meliputi jaring-jaring, sebagai salah satu
representasi dua dimensi dari bangun ruang. Selain itu, kalian juga
akan mempelajari luas permukaan dan volume dari berbagai bangun
ruang yang meliputi balok, kubus, prisma, limas, tabung, dan kerucut.
Gambar 2.1 Rumah Honai
Sumber: id.wikipedia.org/ Irfantraveller
Salah satu keterkaitan topik ini dengan budaya Indonesia misalnya
dapat dilihat pada dua rumah adat Papua, Rumah Honai dan Rumah
Ebei. Dua rumah ini mempunyai bentuk serupa dan secara geometris
dapat dikategorikan sebagai gabungan dari tabung dan setengah
bola. Pertanyaan yang muncul adalah mengapa bentuk ini dipakai
oleh masyarakat di Papua? Tentunya ini terkait dengan fungsi teknis
dan juga fungsi losos. Kira-kira, apa fungsi teknis rumah adat yang
mempunyai bentuk geometris seperti itu? Hal ini akan dibahas lebih
lanjut pada tur Matematika dan Budaya di Bab ini.
Di sekolah dasar, kalian telah mempelajari keliling dan luas bangun-
bangun datar. Kali ini, kita akan mempelajari hal serupa pada bangun
ruang, yakni luas permukaan dan volume. Namun, sebelum kita
mempelajari dua topik ini, kita akan pelajari dulu jenis-jenis bangun
ruang beserta jaring-jaringnya. Selain itu, kalian akan belajar tentang
luas lingkaran serta bagian-bagiannya karena merupakan prasyarat
untuk mempelajari volume bangun ruang sisi lengkung.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
43
A. Klasifikasi Bangun Ruang dan Jaring-Jaring
Pada bab ini, kita akan belajar tentang jenis-jenis dan kaitan antarjenis
bangun ruang. Kita juga akan mempelajari tentang jaring-jaring bangun
ruang.
1.Jenis-Jenis Bangun Ruang
Guna memahami klasikasi bangun ruang, coba kalian selesaikan
kegiatan eksplorasi berikut.
Eksplorasi
2.1
Mengelompokkan Kemasan
Robi berbelanja beberapa bahan di pasar dan toko swalayan yang
berada di dekat kantor kecamatan. Barang belanjaan yang dibeli
memiliki bentuk kemasan yang berbeda-beda seperti dapat dilihat
pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2 Barang Belanjaan Robi
B Diskusikan bagaimana cara mengelompokkan bahan belanjaan
Robi!
C Pilih beberapa kemasan barang atau benda pada Gambar 2.2
dan perkirakan mengapa kemasan barang tersebut dibuat
demikian.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
44
D Perhatikan secara seksama bentuk-bentuk kemasan barang
yang dibawa Robi. Coba klasikasikan barang-barang tersebut
ke dalam beberapa jenis bangun ruang berikut.
Gambar 2.3 Jenis-jenis Bangun Ruang
EDiskusikan tentang persamaan dan perbedaan beberapa bangun
ruang berikut.
ⓐ Tabung
ⓑ Kerucut terpotong
ⓒ Limas
ⓓ Kerucut
ⓔ Prisma
ⓕ Balok
ⓖ Bola
ⓗ Kubus
Contoh
2.1
Identifikasi Bentuk Bangun Ruang
Coba identikasi, menyerupai bangun apakah barang-barang yang
ada pada Gambar 2.4.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
45
a.
b.
f.
d.
c.
h.
i.
g.
j.
Gambar 2.4 Macam-macam Benda dengan Bentuk Bangun Ruang
Alternatif Penyelesaian
a. Bola; b. Balok; c. Prisma; d. Tabung dan setengah bola; e. Potongan
tabung; f.Tabung; g. Kerucut terpotong; h. Kerucut; i.Prisma; j.
Limas.
Coba identikasi menyerupai bangun apakah barang-barang
pada Gambar 2.5?
Gambar 2.5 Berbagai Macam Bangun Ruang
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
46
Kalian mungkin sudah sering berbicara tentang berbagai macam
jenis bangun ruang seperti balok, kubus, tabung ataupun bangun
ruang lain. Namun, pernahkah kalian berpikir tentang apa denisi
tiap-tiap bangun ruang tersebut? Apa karakteristik khusus sebuah
bangun ruang sehingga bisa disebut balok, kubus, tabung, prisma,
limas, atau kerucut?
2. Jaring-Jaring Bangun Ruang
Setelah mengetahui beberapa bentuk bangun ruang, pada subbab
ini kalian akan belajar tentang jaring-jaring bangun ruang. Lakukan
kegiatan Eksplorasi 2.2 untuk menggali makna jaring-jaring suatu
bangun ruang.
Eksplorasi
2.2
Memotong Kardus Kemasan
Temukan dua buah kemasan barang yang sama.
Gunting atau potong bagian atas salah satu kemasan tersebut (lihat
Gambar 2.6). Potong sisa kemasan pada pojok-pojoknya sedemikian
rupa sehingga kemasannya menjadi sebuah permukaan datar.
Gambar 2.6 Ilustrasi Pengguntingan Kardus
Potong kemasan yang lain dengan cara yang berbeda. Kemudian
buka dan ratakan.
Ayo Berpikir Kritis 2.1
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
47
Perhatikan dua pola yang terbuat dari dua potongan tersebut. Kita
dapat menyebut pola yang terbentuk sebagai jaring-jaring.
B Bandingkan dua buah jaring-jaring yang telah kalian buat.
Apakah keduanya sama? Jika tidak, apa yang membedakan di
antara keduanya?
C Gambarkan dua jaring-jaring tadi di kertas. Kemudian,
gambarkan pula bentuk bangun ruang aslinya.
Berdasarkan kegiatan Eksplorasi 2.2, kalian dapat memahami
jaring-jaring suatu bangun ruang. Jaring-jaringadalah gambar dua
dimensi yang berupa gabungan dari beberapa bangun datar yang dapat
disusun menjadi sebuah bangun ruang.
Contoh
2.2
Identifikasi Jaring-Jaring
Perhatikan Gambar 2.7. Tentukan bangun ruang apa saja yang
terbentuk dari jaring-jaring terkait.
a b
c d
Gambar 2.7 Jaring-Jaring
Alternatif Penyelesaian
a. Kubus b. Prisma segitiga c. Prisma segi enam d. Limas segi empat
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
48
Coba identikasi jenis bangun ruang apa saja yang terbentuk
dari jaring-jaring pada Gambar 2.8?
a.
b.
c. d.
Gambar 2.8 Jaring-jaring
Matematika dan Sains
Rumus Polihedron Euler
Pada bab ini kalian telah mempelajari bangun ruang sisi datar.
Istilah matematika khusus untuk bangun ruang yang semua sisinya
adalah poligon disebut polihedron. Lebih khusus lagi, bangun ruang
yang semua sisinya adalah poligon beraturan yang sama persis
disebut dengan bangun ruang Platonic.
Gambar 2.9 Bangun Ruang Platonic
Sejarah mengatakan bahwa Leonhard Euler (1707-1783) adalah
orang yang pertama kali menemukan hubungan antara banyak
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
49
sisi (S), banyak rusuk (R), dan banyak titik sudut (T). Hubungan ini
dikenal dengan rumus polihedron Euler yang menyatakan bahwa:
S+T-R=2
Rumus ini ternyata tidak hanya berkaitan dengan geometri saja.
Secara umum, rumus ini juga berlaku untuk struktur graf (sebuah
susunan yang terdiri dari titik dan ruas garis). Kajian rumus
polihedron pada teori graf ini diaplikasikan dalam cip komputer
yang terdiri dari ribuan komponen yang tersusun dalam sebuah
jaringan.
Latihan
A
Klasifikasi Bangun Ruang dan Jaring-Jaring
Pemahaman Konsep
B Sebutkan jenis-jenis bangun ruang.
C Apa yang dimaksud dengan jaring-jaring bangun ruang?
D Dapatkah kita membuat jaring-jaring bangun ruang bola?
Penerapan Konsep
E Gambarkan bangun-bangun ruang berikut!
ⓐ Bola
ⓑ Kerucut
ⓒ Tabung
ⓓ Balok
ⓔ Limas segitiga
F Gambarkan jaring-jaring beberapa bangun ruang berikut!
ⓐ Limas segi lima
ⓑ Limas segi enam
ⓒ Prisma segi enam dengan dua cara
ⓓ Kerucut
ⓔ Tabung
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
50
B. Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Datar
Pada bagian ini, kalian akan mempelajari luas permukaan dan volume
bangun-bangun ruang sisi datar yang meliputi: kubus, balok, prisma,
dan limas. Sebelum mempelajari luas permukaan, kita ingat kembali
konsep luas. Secara sederhana, kalian dapat membayangkan luas
permukaan suatu bangun ruang sebagai luas kertas atau bungkus
yang dibutuhkan untuk membungkus bangun ruang tersebut. Untuk
memahami intuisi tentang makna luas permukaan bangun ruang,
silakan lakukan kegiatan Eksplorasi 2.3.
Eksplorasi
2.3
Menempel Notes Tempel
Lakukan kegiatan ini secara berkelompok! Carilah lemari (atau
benda serupa) kemudian tempeli sisi-sisi lemari dengan notes
tempelseperti yang terlihat pada Gambar 2.10. Diskusikan dengan
temanmu dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.
Gambar 2.10 Menempelkan Notes Tempel di Lemari
B Tentukan perkiraan berapa banyak notes tempel yang
dibutuhkan untuk menutupi seluruh lemari.
C Diskusikan dengan temanmu apa saja strategi yang dapat
digunakan untuk menghitung banyaknya notes tempelyang
dibutuhkan untuk menutupi seluruh lemari.
D Coba narasikan baik dalam tulisan ataupun secara verbal
strategi yang telah kalian diskusikan.
Setelah menyelesaikan kegiatan Eksplorasi 2.3, secara intuitif dan
matematis, berapa banyak yang dibutuhkan untuk menutupi seluruh
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
51
sisi lemari disebut sebagai luas permukaan lemari dalam satuan notes
tempel. Dengan demikian, secara umum untuk sebarang bangun ruang,
luas permukaan sebuah bangun ruang adalah total luas dari semua sisi
bangun ruang tersebut yang dinyatakan dalam persegi satuan (persegi
yang panjang sisinya satu satuan).
Perhatikan bahwa pada denisi tersebut, salah satu kunci
untuk menemukan luas permukaan bangun ruang adalah dengan
memperhatikan tiap sisi bangun ruang tersebut. Pada bab sebelumnya,
kalian telah mempelajari jaring-jaring yang menggambarkan
keseluruhan sisi dari suatu bangun ruang dalam bidang datar.
Selanjutnya akan dibahas mengenai penemuan rumus luas permukaan
bangun ruang dengan cara mengkombinasikan pengetahuan tentang
pengertian jaring-jaring dan pengertian luas permukaan. Selanjutnya,
kalian akan mempelajari beberapa kasus khusus luas permukaan
bangun ruang.
1. Luas Permukaan Kubus, Balok, dan Prisma
Untuk memahami luas permukaan kubus, balok, dan prisma, selesaikan
aktivitas Eksplorasi 2.4. Kalian perlu menggunakan kecakapan dalam
menggambar jaring-jaring yang telah kalian pelajari sebelumnya di
Eksplorasi 2.2.
Eksplorasi
2.4
Luas Permukaan Kubus, Balok, dan
Prisma
Diketahui sebuah kubus, balok, dan prisma segitiga (lihat Gambar
2.11). Kubus tersebut memiliki panjang rusuk s, sedangkan baloknya
memiliki ukuran panjang alas p, lebar alas l, dan tinggi t. Di lain
pihak, prisma tersebut memiliki alas segitiga yang panjang sisinya a
dan tinggi t. Selanjutnya, selesaikan instruksi-instruksi berikut.
s
s
p
a
l
t
t
Gambar 2.11 Kubus, Balok, dan Prisma Segitiga
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
52
B Gambarkan jaring-jaring tiap bangun di Gambar 2.11.
C Hitunglah luas tiap jaring-jaring yang sudah kalian buat.
Kemudian, coba rumuskan luas permukaan kubus, balok, dan
prisma segitiga.
D Dengan cara serupa yang telah kita lakukan untuk kubus, balok,
dan prisma segitiga, lengkapilah Tabel 2.1.
Tabel 2.1 Luas Permukaan Bangun Ruang
No Jenis Bangun Ruang Luas Permukaan
1 Prisma Segitiga
2 Prisma Segi Empat (Kubus)
3 Prisma Segi Empat (Balok)
4 Prisma Jajar Genjang
5 Prisma Trapesium
6 Prisma Belah Ketupat
EPola apa yang dapat kalian cermati dari keenam luas permukaan
bangun ruang pada Tabel 2.1? Berdasarkan pola tersebut, apa
rumus umum yang dapat kalian gunakan untuk menghitung
luas permukaan prisma?
Berdasarkan Eksplorasi 2.4, kita dapat menyatakan luas permukaan
prisma, balok, dan kubus sebagaimana dapat dilihat pada Sifat 2.1.
Perhatikan bahwa rumus kubus dan balok dapat diturunkan dari rumus
prisma karena kubus termasuk balok dan balok termasuk prisma.
Sifat
2.1
Luas Permukaan Prisma, Balok, dan Kubus
• Luas permukaan kubus yang memiliki panjang rusuk s adalah 6×s
2
.
• Luas permukaan balok yang memiliki ukuran panjang p, lebar l, dan
tinggi tadalah 2×(p×l+p×t+l×t).
• Luas permukaan prisma yang memiliki luas alas L, keliling alas K,
dan tinggi tadalah 2×L+K×t.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
53
Aktivitas Interaktif
Bagi kalian yang ingin menggunakan teknologi
dan mempelajari ide luas permukaan balok secara
intuitif dan interaktif, silakan memindai Kode
QR di samping atau buka tautan berikut! http://
ringkas.kemdikbud.go.id/LuasPermukaan.
Contoh
2.3
Luas Permukaan Kubus dan Balok
Sebuah kubus memiliki panjang sisi 2 m. Sebuah balok memiliki
ukuran panjang alas 2 cm, lebar alas 3 cm, dan tinggi 4 cm Tentukan
luas permukaan kubus dan balok tersebut.
Alternatif Penyelesaian
Luas permukaan kubus = 6×s
2
= 6×2×2
=24 m
2
Luas permukaan balok = 2(p×l+p×t+l×t)
= 2(2×3+2×4+3×4)
= 2(6+8+12)
= 52 cm
2
Cari luas permukaan kubus dengan panjang sisi 5 cm dan balok
dengan ukuran panjang alas 4 cm, lebar alas 5 cm, dan tinggi 6
cm.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
54
Contoh
2.4
Seni Rubik
Gambar 2.12 Seni Rubik
Sumber: David Plaxco, 2022
Danil adalah seorang pencinta permainan rubik. Dia memiliki
rubik seperti terlihat pada Gambar 2.12. Dia ingin mengganti semua
warna pada rubik tersebut dengan menempel stiker warna persegi.
Bantu Danil untuk menentukan:
B Banyaknya warna stiker yang dia butuhkan
C Banyak stiker yang dibutuhkan untuk setiap warna
D Banyak total stiker yang dibutuhkan
Alternatif Penyelesaian
B Banyaknya warna yang dibutuhkan bergantung terhadap
banyaknya sisi pada rubik. Karena rubik berbentuk kubus,
maka rubik memiliki enam sisi. Oleh karena itu, Danil butuh
enam jenis warna stiker.
CSetiap warna akan memenuhi tiap sisi, maka banyaknya stiker
dapat dihitung dengan menghitung banyaknya persegi yang ada
pada tiap sisi, yakni 36. Oleh karena itu, Danil butuh 36 stiker
untuk tiap warna.
D Rubik memiliki enam sisi dan tiap sisi butuh 36 stiker, maka total
stiker yang dibutuhkan adalah 216.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
55
Ahmad mempunyai rubik serupa dengan Gambar 2.12, namun
dengan ukuran lima satuan persegi. Dia ingin mengganti semua
warna pada rubik tersebut dengan menempel stiker warna
persegi. Bantu Ahmad untuk menentukan:
B Banyak warna stiker yang dia butuhkan
C Banyak stiker yang dibutuhkan untuk setiap warna
C Banyak total stiker yang dibutuhkan
2. Luas Permukaan Limas
Ikuti aktivitas eksplorasi berikut untuk memahami luas permukaan
limas.
Eksplorasi
2.5
Luas Permukaan Limas Segi-nBeraturan
Diketahui sebuah limas segi delapan beraturan dapat dipotong
sedemikian rupa seperti dapat dilihat pada Gambar 2.13.
Gambar 2.13 Limas Segi Delapan
B Berapa luas tiap sisi tegak limas segi delapan tersebut?
C Tentukan total luas semua sisi tegak limas segi delapan tersebut.
Bagaimana cara kalian mencari total luas semua sisi tegak limas
segi-n?
D Carilah luas alas limas segi delapan tersebut. Bagaimana cara
kalian mencari luas alas limas segi-n?
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
56
E Formulasikan luas permukaan limas segi delapan tersebut
dalam panjang sisi b, apotema a, dan tinggi sisi tegak l. Coba
formulasikan luas permukaan limas segi-ndalam n, panjang sisi
b, apotema a, dan tinggi sisi tegak l.
F Formulasikan luas permukaan limas segi delapan tersebut dalam
keliling alas k,apotema a, dan tinggi sisi tegak l. Formulasikan
juga untuk limas segi-n.
Berdasarkan Eksplorasi 2.5, kita dapat menyatakan luas permukaan
limas sebagai berikut.
Sifat
2.2
Luas Permukaan Limas Segi-nBeraturan
Sebuah limas segi-nberaturan memiliki alas yang panjang sisinya
b dan apotema a, serta sisi-sisi tegaknya memiliki tinggi l. Luas
permukaan limas tersebut dapat ditentukan dengan rumus berikut.
,Lnbla
2
1
###
=+
^h
atau
2
1
LK
la
##
=+
^h
dengan K = n × bmerupakan keliling alas limas tersebut.
Lalu bagaimana caranya menentukan luas permukaan bentuk
limas lain, seperti limas segitiga siku-siku, limas persegi panjang, dan
lain-lain? Kalian dapat mencari luas untuk bangun-bangun limas
yang alasnya bukan poligon beraturan dengan cara yang serupa pada
Eksplorasi 2.5. Caranya adalah dengan menggambar jaring-jaring
bangun tersebut (langkah ini bisa dilewati jika sudah lancar) kemudian
mencari total luas dari semua sisi-sisi yang ada.
Contoh
2.5
Luas Permukaan Limas Persegi
Sebuah limas segi empat ditunjukkan pada Gambar 2.14. Tentukan
luas permukaan limas segi empat tersebut.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
57
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
5
5
Gambar 2.14 Limas Segi Empat
Alternatif Penyelesaian
Luas permukaan limas tersebut merupakan gabungan dari luas
empat segitiga dengan panjang alas 6 satuan dan tinggi 5 satuan,
dan persegi dengan panjang sisi 6 satuan. Oleh karena itu, luas
permukaan limas tersebut dapat dihitung dengan cara berikut.
4
2
1
65 6696
####
+=
a
k
Jadi luas permukaan limas tersebut adalah 96 satuan luas.
Cari luas permukaan limas segi empat dengan ukuran panjang
sisi alas 4 cm dan tinggi sisi tegak 6 cm.
3. Pengaruh Perubahan Skala Bangun Ruang Sisi Datar
terhadap Luas Permukaannya
Setelah mempelajari luas permukaan bangun ruang sisi datar, kita akan
menyelidiki akibat dari perubahan skala sebuah bangun ruang. Maksud
dari perubahan skala dari sebuah bangun ruang adalah pembesaran
atau pengecilan bangun ruang tersebut dengan suatu skala, misalnya
k. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
58
Suatu kubus awalnya memiliki panjang rusuk 2 m. Ketika kubus
ini diubah dengan faktor skala 0,5, maka panjang rusuknya menjadi
setengah dari semula. Artinya, panjang rusuk kubus tersebut menjadi 1
m setelah diubah dengan faktor skala 0,5.
Setelah sekilas mencermati apa makna perubahan bangun ruang
dengan suatu skala k, kita akan mempelajari apa pengaruh perubahan
skala suatu bangun ruang terhadap luas permukaannya. Silakan
perhatikan contoh berikut.
Contoh
2.6
Perubahan Luas Permukaan Kubus
Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 2 m. Tentukan luas permukaan
kubus tersebut sebelum dan setelah diubah dengan faktor skala 2.
Kemudian, tentukan berapa kali lipat luas permukaan berubah.
Alternatif Penyelesaian
Panjang rusuk kubus sebelum diubah adalah 2 m, sehingga luas
permukaannya dapat dihitung sebagai berikut.
Luas permukaan kubus sebelum diubah = 6×s
2
= 6×2
2
= 24
Panjang rusuk kubus setelah diperbesar dua kali menjadi 4 m. Maka,
luas permukaan kubus tersebut dapat dicari sebagai berikut.
Luas permukaan kubus setelah diubah = 6×s
2
= 6×4
2
= 96
Selanjutnya, kita akan menentukan seberapa perubahan dari luas
permukaan kubus setelah diubah dibandingkan dengan sebelum
diubah.
Luas permukaan kubus setelah diubah = 96
= 4×24
= 4×Luas permukaan
kubus sebelum
diubah
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
59
Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 3 m. Tentukan luas
permukaan kubus tersebut sebelum dan setelah diubah dengan
faktor skala 0,5. Kemudian, tentukan berapa kali lipat luas
permukaan berubah.
BerdasarkanContoh 2.6,kitasudah melihatbahwajika sebuah
kubus diperbesar dengan skala 2, luas permukannya juga membesar
2
2
lipat. Kira-kira, bagaimana untuk bangun ruang lain? Kalian dapat
mencobanya di Latihan B. Selain itu, apakah hasil dari Contoh 2.6 dapat
berlaku untuk sebarang skala? Cobalah kerjakan kegiatan Ayo Berpikir
Kritis berikut.
Buktikanbahwa jikasebuah bangun ruang diubah ukurannya
dengan skala k, maka luas permukaannya berubah dengan skala
k
2
.
Latihan
B
Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Datar
Pemahaman Konsep
B Tuliskan denisi jaring-jaring suatu bangun ruang.
C Tuliskan denisi luas permukaan bangun ruang.
D Untuk setiap pengukuran berikut, pilih satu atau lebih satuan yang
sesuai.
Luas lahan parkir Meter (m)
Volume botol minum Meter persegi (m
2
)
Luas permukaan mesin cuci Liter (l)
Ayo Mencoba
Ayo Berpikir Kritis 2.2
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
60
Panjang benang Meter kubik (m
3
)
Volume air kolam Sentimeter persegi (cm
2
)
E Bagaimana cara mencari luas permukaan kubus dan balok?
F Bagaimana cara mencari luas permukaan prisma dan limas?
Penerapan Konsep
G Temukan luas permukaan kubus yang memiliki panjang sisi sebagai
berikut.
ⓐ 0,23 m
ⓑ 10
3
mm
ⓒ 2,5×10
6
mm
H Hitunglah luas permukaan dari beberapa bangun ruang berikut.
3 cm
9 cm
6 cm
1 cm
2 cm
5 cm
3,5 cm
4 cm
10 m
20 m
25 m
10 m
15 m
10 m
30 m
a.
b.
c.
d.
e.
f.
I Sebuah kotak pensil terbuat dari logam dengan dimensi 20 cm×10
cm×3 cm. Hitunglah berapa luas logam yang dibutuhkan untuk
membuat kotak pensil tersebut.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
61
J Carilah luas bahan yang dibutuhkan untuk membuat tenda berikut.
K Jika sebuah prisma segitiga sama sisi dengan panjang sisi alas 3 cm
dan tinggi 5 cm diperbesar 3 kali lipat. Tentukan luas permukaan
prisma tersebut setelah diperbesar.
C. Volume Bangun Ruang Sisi Datar
Pada subbab ini, kalian akan mempelajari volume bangun ruang sisi
datar yang meliputi prisma dan limas. Sebelum mempelajari lebih
spesik tentang volume untuk beberapa jenis bangun ruang sisi
datar, mari kita tinjau dulu aspek intuitif dari konsep volume. Secara
sederhana, kita dapat membayangkan volume sebagai ukuran yang
menunjukkan seberapa banyak ruang yang ditempati oleh suatu objek
tiga dimensi. Untuk membangun intuisi ini, lakukan Eksplorasi 2.6.
Eksplorasi
2.6
Apa Itu Volume?
Serangkaian aktivitas ini akan melibatkan banyak bentuk kubus.
Jika memungkinkan, kalian bisa menggunakan bentuk sik kubus-
kubus satuan dari plastik atau kayu seperti tampak pada Gambar
2.15. Jika tidak, kalian dapat menggunakan imajinasi kalian.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
62
Gambar 2.15 Kubus Satuan
Aktivitas pertama disebut dengan “Memilih dan Menalar”
(mana yang tidak serupa dengan yang lain) yang dilakukan secara
individual.
a
b
c
d
Gambar 2.16 Susunan Kubus Satuan
Perhatikan Gambar 2.16 yang berisi empat ilustrasi susunan kubus
satuan.
B Pilih salah satu bentuk susunan kubus satuan di Gambar 2.16.
C Jelaskan kepada teman-teman kelasmu mengapa bentuk yang
kalian pilih berbeda dengan yang lain.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
63
D Setelah selesai berbagi di kelas tentang perbedaan di antara
keempat bangun, coba diskusikan kira-kira apa yang sama dari
keempat bangun tersebut. Kalian dapat (jika memungkinkan)
menggunakan bantuan kubus satuan untuk mensimulasikan
keempat bentuk bangun ruang pada Gambar 2.16.
Aktivitas kedua Bandingkan dua bangun ruang yang diberikan
ilustrasinya. Kalian dapat menggunakan kubus satuan yang kalian
miliki (jika memungkinkan) untuk mensimulasikan secara sik
bentuk-bentuk tersebut.
B Bangun mana yang lebih “besar”? Jelaskan alasanmu!
C Bangun mana yang lebih “besar”? Jelaskan alasanmu!
D Diskusikan dengan temanmu, kira-kira apa yang dimaksud
dengan ukuran “besar” pada butir 1 dan 2.
Berdasarkan Eksplorasi 2.6, dapat didenisikan volume suatu
bangun ruang sebagai berikut. Volume sebuah bangun ruang adalah
suatu ukuran untuk seberapa banyak ruang yang ditempati oleh bangun
ruang tersebut yang dinyatakan dalam kubus satuan (satuan kubik).
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
64
1.Volume Kubus, Balok, dan Prisma
Setelah memahami volume secara intuitif, kita akan menemukan
bagaimana cara menghitung volume prisma, balok, dan kubus. Ikuti
Eksplorasi 2.7 untuk membantumu memahami penemuan formula
untuk menghitung volume prisma.
Eksplorasi
2.7
Menghitung Volume Kubus, Balok, dan
Prisma
Sama seperti Eksplorasi 2.6, jika memungkinkan, kalian dapat
menyediakan kubus satuan untuk mengikuti aktivitas yang sudah
dirancang. Rangkaian aktivitas berikut dapat dilaksanakan dalam
kelompok atau individu.
Aktivitas pertama adalah menyusun kubus-kubus satuan
menjadi bentuk-bentuk yang tampak pada Gambar 2.17. Dengan
memanfaatkan pengalaman belajar pada Eksplorasi 2.6 dan
pengertian volume, coba diskusikan dan jawablah pertanyaan-
pertanyaan berikut.
Gambar 2.17 Balok
B Bagaimana cara kalian membuat bangun ruang yang ada di
Gambar 2.17?
C Berapa volume tiap bangun ruang yang kalian susun dengan
kubus satuan? Jelaskan bagaimana strategimu.
Aktivitas kedua Diskusikan dengan temanmu bagaimana cara
untuk menghitung volume balok.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
65
Gambar 2.18 Ilustrasi Balok
B Diskusikan strategi yang kalian gunakan untuk menghitung
volume dari ketiga bangun pada Gambar 2.18.
C Dengan menggunakan hasil pada nomor 1, dapatkah kalian
menentukan cara mencari volume suatu balok yang memiliki
panjang alas p, lebar alas l, dan tinggi t? Jelaskan alasanmu!
Aktivitas ketiga Diskusikan dengan temanmu bagaimana cara
untuk menentukan volume kubus.
Gambar 2.19 Rubik
Sumber: David Plaxco, 2022
B Carilah volume rubik yang berbentuk kubus di Gambar 2.19
dengan menggunakan kubus satuan yang kalian miliki.
C Jelaskan strategi kalian dalam menghitung volume kubus
tersebut.
D Jika kalian ingin menghitung volume suatu kubus dengan
panjang sisi s, bagaimana caranya? Jelaskan alasanmu.
Aktivitas keempat Diskusikan dengan temanmu cara menghitung
volume prisma.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
66
Gambar 2.20 Prisma Segitiga
B Dengan pengalaman menghitung volume balok dan kubus, jika
kalian memiliki prisma segitiga seperti yang ada di Gambar
2.20 (dengan panjang alas sembilan satuan dan tinggi sembilan
satuan), bagaimana caranya untuk menghitung volumenya?
C Berdasarkan cara no 1, tentukan rumus untuk volume prisma
jika diketahui luas alasnya.
Pada aktivitas Eksplorasi 2.7 kalian telah menemukan cara
menentukan volume balok, kubus, dan prisma, seperti disajikan dalam
Sifat 2.3.
Sifat
2.3
Volume Prisma, Kubus, dan Balok
• Jika diketahui sebuah prisma memiliki luas alas A dan panjang
tinggi t maka volume prisma tersebut dapat dicari dengan
rumus
Volume Prisma=A×t
• Jika diketahui sebuah balok memiliki panjang p, lebar p, dan
tinggi t, maka volume balok tersebut dapat dicari dengan
menggunakan rumus
Volume Balok=p×l× t
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
67
• Jika diketahui sebuah kubus memiliki panjang sisi s, maka
volume kubus tersebut dapat dicari dengan menggunakan
rumus
Volume Kubus=s
3
Contoh
2.7
Volume Susunan Kubus-Kubus Satuan
Diskusikan beberapa strategi untuk mencari volume dari bentuk
bangun ruang di Gambar 2.21.
Gambar 2.21 Balok “Berlubang”
Alternatif Penyelesaian
Bentuk bangun ruang di atas terdiri dari banyak kubus satuan dan
tampak bahwa di tengah-tengah bangun terdapat ruang yang tidak
ada kubus-kubus satuannya. Ada banyak sekali strategi yang dapat
kalian gunakan untuk mencari volume bangun ruang tersebut.
Strategi pertama yang dapat kalian gunakan adalah:
B Mencari volume bangun ruang tersebut jika tengahnya juga
diisi penuh. Volumenya adalah 8×8×5=320 kubus satuan.
C Mencari volume ruang tengah yang kosong. Volumenya adalah
4×4×5=80 kubus satuan.
D Volume bangun ruang yang dicari dapat ditemukan dengan
mengurangkan volume bangun ruang yang tengahnya terisi
dengan volume ruang tengah yang kosong. Volumenya adalah
320 kubus satuan -80 kubus satuan =240 kubus satuan.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
68
Strategi kedua yang dapat kalian gunakan adalah sebagai berikut.
B Partisi bangun di atas menjadi 4 bangun prisma yang kongruen.
Hasilnya seperti pada Gambar 2.22 yang diwarnai berbeda
dengan warna kuning, merah, biru, dan ungu.
Gambar 2.22 Kubus “Berlubang” Berwarna
C Cari volume satu bagian prisma. Volume satu bagian adalah
6×2×5=60 kubus satuan.
D Volume keseluruhan dihitung dengan mencari empat kalinya
volume satu bagian. Volume bangun yang dicari adalah
4×60=240 kubus satuan.
Masih banyak lagi strategi yang dapat kalian gunakan.
Temukan strategi lain dan pilih mana yang paling kalian suka!
Diskusikan beberapa strategi untuk mencari volume bangun
ruang pada Gambar 2.23.
Gambar 2.23 Bangun Ruang
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
69
Contoh
2.8
Volume Akuarium
Diskusikan beberapa strategi untuk mencari volume akuarium
dengan bentuk seperti pada Gambar 2.24.
24
in
36 in
36 in
18 in
18 in
Gambar 2.24 Sketsa Akuarium
Alternatif Penyelesaian
Bentuk bangun ruang di atas seperti bentuk huruf L. Ada banyak
sekali strategi yang dapat gunakan untuk mencari volume bangun
ruang ini.
Strategi pertama yang dapat kalian gunakan adalah sebagai berikut.
B Partisi bangun tersebut menjadi tiga bangun yang sama seperti
pada Gambar 2.25. Sehingga diperoleh tiga balok dengan ukuran
18×18×24.
24
in
36 in
36 in
18 in
18 in
Gambar 2.25 Tiga Partisi Akuarium
C Cari volume satu buah balok. Volumenya adalah
18×18×24=7.776 inci
3
.
D Volume keseluruhan adalah tiga kali volume balok tersebut.
Volume bangun yang dicari adalah 3×7.776 inci
3
=23.328 inci
3
.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
70
Strategi kedua yang dapat kalian gunakan adalah sebagai berikut.
B Partisi bangun tersebut menjadi dua bangun prisma yang
kongruen seperti pada Gambar 2.26. Prisma yang diperoleh
memiliki bentuk alas trapesium.
2
4 in
36 in
36 in
18 in
18 in
Gambar 2.26 Dua Partisi Akuarium
C Cari volume satu prisma dengan terlebih dahulu mencari luas
alasnya. Luas trapesium adalah
2
36 18
+
a
k
×18=27×18=486
inci
2
. Selanjutnya kalian dapat mencari volume prisma dengan
mengalikan luas trapesium dengan tinggi prisma. Volume
prismanya adalah 486×24 =11.664 inci
3
.
D Cari total volume akuarium dengan menghitung dua kalinya
volume prisma yang telah kalian temukan pada langkah 2.
Dengan demikian, volumenya adalah 2×11.664=23.328 inci
3
.
Masih banyak lagi strategi yang dapat kalian gunakan untuk
mencari volume akuarium tersebut. Coba kalian cari dan tentukan
mana strategi yang paling kalian sukai!
Diskusikan beberapa strategi untuk mencari volume bangun
ruang pada Gambar 2.27.
2
2
2
1
1
1
8
Gambar 2.27 Sketsa Tangga
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
71
Sejauh ini, kalian telah mempelajari volume prisma tegak.
Pernahkah kalian berpikir untuk prisma miring? Volume prisma
miring itu sama dengan volume prisma tegak yang memiliki tinggi
yang sama. Kalian dapat menemukan rumus atau cara untuk
menghitung volume prisma miring dengan prinsip Cavalieri.
Prinsip ini kira-kira mengemukakan bahwa jika kalian memotong
tipis dua buah bangun ruang secara paralel dan tiap irisannya yang
sejajar memiliki bentuk yang sama, maka kedua bangun ruang
tersebut memiliki volume yang sama. Untuk membayangkan ide
ini, kita bisa lihat ilustrasi Gambar 2.28 yang menunjukkan dua
tumpukan kartu yang disusun berbeda: tegak dan miring.
Gambar 2.28 Ilustrasi Prinsip Cavalieri
2.Volume Limas
Pada bagian ini, kalian akan mempelajari bagaimana caranya
menemukan volume limas. Ayo lakukan Eksplorasi 2.8 untuk
menemukan dugaan keterkaitan antara volume prisma dan limas.
Eksplorasi
2.8
Menduga Volume Limas
Pada kegiatan ini kalian diajak untuk melakukan aktivitas untuk
menduga hubungan antara volume limas dan prisma. Bapak/ibu
guru akan memberikan kalian sebuah prisma dan sebuah limas
dari karton yang memenuhi tiga syarat. Syarat yang pertama adalah
prisma dan limas tersebut memiliki tinggi dan alas yang sama.
Ayo Berpikir Kreatif 2.1
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
72
Syarat yang kedua adalah tutup prisma terbuka yang dapat dibuat
dengan memotong lubang prisma yang sudah jadi atau didesain dari
awal tanpa tutup. Syarat yang ketiga adalah limas dibuat tanpa alas
dengan cara serupa untuk prisma. Kalian akan diberikan pasir (atau
butiran stirofoam atauberas)olehBapak/Ibuguru.Selanjutnya,
ikuti beberapa instruksi berikut.
B Isilah wadah limas dengan pasir atau butiran stirofoam sampai
penuh, kemudian tuangkan ke wadah prisma. Ulangi proses ini
sampai penuh.
C Jawablah dua pertanyaan berikut.
ⓐ Berapa kali proses yang dibutuhkan untuk memenuhi prisma
dengan menggunakan limas yang diisi penuh dengan pasir
atau butiran stirofoam?
ⓑ Buatlah kalimat dugaan keterkaitan antara volume limas
dan prisma berdasarkan butir a.
D Bandingkan hasil yang telah kalian peroleh dari langkah 1 dan
2 dengan video di tautan berikut. Apakah hasilnya sama atau
berbeda?
https://youtu.be/YCynCiGGb9M
Dalam Eksplorasi 2.8, kalian telah menemukan hubungan antara
volume prisma dan limas. Hubungan ini disajikan dalam Sifat 2.4.
Sifat
2.4
Kaitan Volume Limas dan Volume Prisma
Jika diketahui sebuah prisma dan limas yang memiliki alas dan
tinggi yang sama, maka berlaku
Volume Limas=
3
1
×Volume Prisma
Berdasarkan Sifat 2.3 dan Sifat 2.4, kita dapat menemukan rumus
untuk volume limas sebagai berikut
Volume Limas =
3
1
×Volume Prisma
=
3
1
×A×t.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
73
Hasil ini disajikan pada Sifat 2.5.
Sifat
2.5
Volume Limas
Jika diketahui sebuah limas dengan luas alas Adan panjang tinggi
t, maka volume limas tersebut dapat dicari dengan rumus
Volume Limas=
3
1
×A×t.
Contoh
2.9
Membangun Piramida Segi Enam Beraturan
Kebanyakan piramida di Mesir memiliki alas persegi. Bayangkan
jika kita ingin membangun sebuah piramida dengan alas heksagon
atau segi enam beraturan (perhatikan Gambar 2.29) yang memiliki
panjang sisi heksagon 6 m dan tinggi 8 m. Bahan bangunan yang
akan digunakan adalah kubus bata beton dengan ukuran 10cm×
10cm×10 cm. Untuk merencanakan pembangunannya, perkirakan
berapa banyak bata beton yang dibutuhkan.
Gambar 2.29 Limas Heksagon
Alternatif Penyelesaian
Untuk menentukan berapa banyak bata beton yang dibutuhkan,
kalian perlu menghitung volume piramida yang akan bangun. Untuk
mencari luas alas piramida yang berbentuk heksagon beraturan,
kalian perlu menentukan panjang apotema heksagon tersebut.
Perhatikan Gambar 2.30.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
74
6m
3m
a
30
˚
3m
6m
Gambar 2.30 Alas Limas Heksagon
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kalian dapat menemukan
bahwa apotema amemiliki panjang
33
m. Selanjutnya, kalian
dapat mencari luas daerah heksagon sebagai 6 kali luas segitiga
sama sisi dengan alas 6 mdan tinggi
33
m.
Luas Alas = Luas Heksagon
= 6×Luas Segitiga Sama Sisi
=
6
2
1
633
###
=
54 3
Selanjutnya, kalian dapat menentukan volume limas heksagon
dengan menggunakan Sifat 2.5.
Volume Limas =
At
3
1
##
=
3
1
54
38
##
=
1443 m
3
Untuk mencari estimasi banyaknya kubus bata beton yang
dibutuhkan, kalian tinggal membagi volume piramida dengan
volume satu bata beton. Padahal, volume satu bata beton tersebut
adalah sebagai berikut.
Volume bata101.000 cm 0,001 m
33
3
== =
Dengan demikian, estimasi banyaknya kubus bata beton ditentukan
seperti berikut.
,
.
0 001
1443
144 000 3
Volume bata
Volume limas
249.415,32
.
=
=
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
75
Angka yang kalian dapatkan adalah 249.415,32. Namun, pada
praktiknya, kalian harus melebihkan banyaknya bata beton
karena beton-beton tersebut harus dipotong untuk menyesuaikan
sisi miring pada piramida. Kira-kira bagaimana cara kalian untuk
menentukan lebih lanjut estimasinya?
Salah satu piramida di Mesir bernama Khafre (Gambar 2.31).
Piramida Khafre memiliki bentuk alas persegi dengan panjang
sisi 215,5 m dan tinggi 136,4 m. Tentukan volume dari Piramida
Khafre tersebut.
Gambar 2.31 Piramida Khafre
Sumber: www.kompas.com (Unsplash/Nada Habashy)
Sejauh ini, kalian telah mempelajari limas yang bentuknya utuh.
Namun, ada beberapa bangunan bersejarah yang bentuknya limas
terpancung atau terpotong (Gambar 2.32). Limas terpotong dapat
kita bayangkan sebagai limas utuh yang dipotong secara horizontal
sehingga terbagi menjadi dua bagian yakni limas kecil dan limas
terpotong.
Ayo Mencoba
Ayo Berpikir Kritis 2.3
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
76
Gambar 2.32 Piramida Terpancung
Salah satu bangunan di Indonesia yang memiliki bentuk limas
terpancung adalah Candi Sukuh (Gambar 2.33) yang terletak di
Kabupaten Karanganyar, Jawa Tengah.
Gambar 2.33 Candi Sukuh
Sumber: www.kompas.com (Anggara Wikan Prasetya)
Menariknya, bangsa Mesir sudah sejak lama menganalisis
permasalahan geometris dari bentuk limas terpotong ini. Dalam
Moscos Papyrus, disebutkan bahwa bangsa Mesir mampu
menemukan rumus volume limas terpotong dengan alas persegi
yakni:
V=
3
t
(a
2
+ab+b
2
)
dengan t = tinggi, a = panjang sisi alas, dan b = panjang sisi
permukaan atas. Kira-kira bagaimana caranya menemukan rumus
ini?
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
77
3. Pengaruh Perubahan Skala Bangun Ruang Sisi Datar
terhadap Volumenya
Sebelumnya, kalian telah mempelajari bahwa makna bangun ruang
diubah dengan skala kadalah setiap rusuknya diubah dengan skala k.
Kalian juga telah mempelajari bahwa jika bangun ruang diubah dengan
skala k, maka luas permukaannya juga berubah dengan skala k
2
. Pada
bagian ini, kalian akan mempelajari bagaimana pengaruh perubahan
bangun ruang terhadap volumenya. Perhatikan contoh berikut!
Contoh
2.10
Volume Kubus
Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 3 m. Tentukan volume
kubus tersebut sebelum dan setelah diubah dengan faktor skala 3.
Kemudian, tentukan berapa kali lipat volumenya berubah.
Alternatif Penyelesaian
Panjang rusuk kubus sebelum diubah adalah 3 m. Dengan demikian,
volumenya dapat ditentukan dengan cara berikut.
Volume kubus sebelum diubah= s
3
= 3
3
= 27 m
3
Panjang rusuk kubus setelah diperbesar tiga kali menjadi 9 m. Maka,
volume kubus tersebut dapat dicari sebagai berikut.
Volume kubus setelah diubah =s
3
= 9
3
= 729 m
3
Selanjutnya, kalian akan menentukan bagaimana perubahan dari
volume kubus setelah diubah dibandingkan dengan sebelum diubah.
Volume kubus setelah diubah =729
= 27×27
= 27×Volume kubus sebelum diubah
= 3
3
×Volume kubus sebelum diubah
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
78
Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 4 m. Tentukan volume
kubus tersebut sebelum dan setelah diubah dengan faktor skala
0,75. Kemudian, tentukan berapa kali lipat volumenya berubah.
Berdasarkan Contoh 2.10, kalian sudah melihat bahwa jika sebuah
kubus diperbesar dengan skala 3, volumenya juga membesar 3
3
lipat. Kira-kira, bagaimana untuk bangun ruang lain? Kalian dapat
mencobanya di Latihan C. Selain itu, apakah hasil dari Contoh 2.10
dapat dibuat rumus umum untuk sebarang skala? Coba kerjakan Ayo
Berpikir Kritis berikut.
Buktikanbahwa jikasebuah bangun ruang diubah ukurannya
dengan skala k, maka volumenya berubah dengan skala k
3
.
Latihan
C
Volume Bangun kayRuang Sisi Datar
Pemahaman Konsep
B Apa yang kalian pahami tentang konsep volume?
C Bagaimana cara menemukan volume sebuah kubus, balok, dan
prisma?
D Bagaimana kaitan antara volume limas dan prisma yang keduanya
memiliki alas dan tinggi yang sama?
Ayo Mencoba
Ayo Berpikir Kritis 2.4
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
79
Penerapan Konsep
E Hitunglah volume tiap-tiap bangun berikut:
6 m
Luas 25 m
2
8 cm
10 cm
12 cm
a.
b.
c.
Gambar 2.34 Bentuk Bangun Ruang
F Tentukan volume prisma berikut dalam a dan b.
a
b
Gambar 2.35 Tangga Berbentuk Prisma
G Sebuah bahan kayu dipakai untuk pinggiran atap rumah sebagai
berikut. Jika kayu ini memiliki ketebalan 8 cm, tentukan volume
kayu yang dibutuhkan untuk pinggiran atap ini untuk satu sisi
rumah yang ditampilkan.
Gambar 2.36 Ilustrasi Atap Rumah
H Sebuah balok memiliki ukuran panjang 5, lebar 3, dan tinggi 7. Jika
balok tersebut diubah ukurannya dengan skala 4, maka tentukan
volume balok setelah diubah.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
80
D. Lingkaran
Untuk memulai subbab ini, ayo lakukan kegiatan eksplorasi berikut ini!
Eksplorasi
2.9
Memilih Bangun Datar
Dari empat bangun datar pada Gambar 2.37, pilihlah salah satu
yang menurut kalian paling berbeda dibandingkan dengan yang
lain! Bersiaplah untuk menjelaskan pilihan kalian!
Gambar 2.37 Beberapa Bangun Datar
Dalam aktivitas Eksplorasi 2.9, ada satu bangun datar yang disebut
denganlingkaran. Banyak benda di sekitar kalian yang berbentuk
lingkaran. Beberapa di antaranya ditunjukkan pada Gambar 2.38.
AndyG/Pixabay.com Ocean Ng/Unsplash.com Markus Spiske/Unsplash.com
Gambar 2.38 Contoh-Contoh Benda Berbentuk Lingkaran
Berdasarkanpenjelasansebelumnya,menurutkalian,apayang
dimaksud dengan lingkaran? Perhatikan Denisi 2.1.
Definisi
2.1
DenisiLingkaran
Lingkaran adalah kumpulan semua titik pada bidang yang memiliki
jarak sama terhadap titik tertentu.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
81
Q
O
P
Jari-jari
Titik pusat
Gambar 2.39 Jari-Jari dan Titik Pusat Lingkaran
Pada Gambar 2.39, titik Oberada di tengah-tengah atau pusat
lingkaran. Titik ini merupakan titik pusat lingkaran. Titik pusat lingkaran
pada umumnya digunakan untuk menamai lingkaran tersebut. Untuk
itu, lingkaran pada Gambar 2.39 disebut lingkaran O. Ruas garis
OP
dan
OQ
menghubungkan titik pusat Odan titik pada lingkaran. Kedua
ruas garis tersebut merupakan contoh jari-jari lingkaran O.
1.Keliling Lingkaran
Selain titik pusat dan jari-jari, suatu lingkaran juga memiliki unsur lain.
Salah satu unsur lain yang penting adalah diameter. Diameter adalah
ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui
titik pusat. Sebagai contoh, ruas garis
AI
dan
BL
merupakan diameter
lingkaran O(Gambar 2.40).
B
A
L
I
O
Gambar 2.40 Contoh-Contoh Diameter
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
82
Tunjukkan bahwa panjang diameter suatu lingkaran sama dengan
dua kali panjang jari-jari lingkaran tersebut!
Sekarang, kerjakan kegiatan Eksplorasi 2.10!
Eksplorasi
2.10
Membandingkan Keliling dan Panjang
Diameter
Ayo mengukur lingkaran di sekitar kalian!
B Carilah benda-benda di sekitar kalian yang berbentuk lingkaran!
Misalnya, tutup botol, kaleng, jam dinding, koin, gulungan
selotip, dan lain sebagainya. Siapkan juga penggaris atau mistar.
C Untuk tiap-tiap benda, ukurlah diameter dan kelilingnya dengan
menggunakan penggaris. Untuk mengukur kelilingnya, kalian
dapat terlebih dahulu melilitkannya dengan benang kemudian
mengukur panjang benang tersebut. Cara lain, kalian juga dapat
menggelindingkan objek yang akan diukur sejauh satu putaran
pada penggaris, kemudian mengukur panjang lintasannya.
Catatlah data benda dan ukurannya dalam kolom Nama Benda,
Diameter (d), dan Keliling (K) pada Tabel 2.2.
Tabel 2.2 Data Benda dan Ukurannya
No. Nama Benda
Panjang
Diameter (d)
Keliling (K)
d
K
1.
2.
3.
4.
5.
D Untuk tiap-tiap benda, hitunglah perbandingan antara keliling
dan panjang diameternya. Catat hasilnya pada kolom terakhir di
Tabel 2.2. Apa yang dapat kalian simpulkan?
Ayo Berpikir Kritis 2.5
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
83
Aktivitas Interaktif
Kalian ingin menyelidiki hubungan panjang
diameter dan keliling lingkaran secara interaktif?
Ayo pindai kode QR di samping atau kunjungi tautan
http://ringkas.kemdikbud.go.id/DiameterKeliling.
Di aktivitas Eksplorasi 2.10, kalian mendapati bahwa perbandingan
antara keliling dan panjang diameter suatu lingkaran kurang lebih
sama dengan perbandingan untuk lingkaran-lingkaran lainnya. Nilai
perbandingan itu sekitar 3,14. Konstanta tersebut disebut dengan pi
dan disimbolkan dengan π.
Sifat
2.6
Perbandingkan Keliling dan Panjang Diameter
Konstanta π merupakan nilai perbandingan keliling suatu lingkaran
dengan panjang diameter lingkaran tersebut.
π =
d
K
K adalah keliling lingkaran dan d adalah panjang diameter
lingkaran tersebut. Nilai konstanta πadalah sekitar 3,14 atau
7
22
.
Untuk mencermati penggunaan konstanta π, perhatikan Contoh
Soal 2.11.
Contoh
2.11
Menentukan Keliling Lingkaran
Tentukan keliling lingkaran yang panjang jari-jarinya 14 cm.
Alternatif Penyelesaian
Diketahui bahwa panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah r =14
cm. Dengan demikian, d=2r=2·14=28 cm. Dengan menggunakan
Sifat 2.6 dan π.
7
22
, diperoleh
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
84
π =
d
K
Sifat 2.1
K = πd Kalikan kedua ruas dengan d
.
7
22
·28=88 Substitusi
Jadi, keliling lingkaran tersebut adalah 88 cm.
Carilah keliling lingkaran yang panjang jari-jarinya 25 cm.
Dari pengerjaan Contoh Soal 2.11, kalian dapat menentukan keliling
suatu lingkaran dengan mengalikan πdan diameter lingkaran tersebut,
yaitu
K=πd
Di contoh soal tersebut, kita juga dapat mencermati bahwa
pendekatan nilai πyang digunakan adalah
7
22
. Hal ini karena
panjang diameternya merupakan kelipatan 7. Jika jari-jari atau
diameter lingkaran merupakan kelipatan 7, kalian akan lebih mudah
menggunakan π=
7
22
untuk menentukan keliling lingkaran tersebut.
2. Luas Lingkaran
Di bagian ini kalian akan menemukan rumus untuk mencari luas
lingkaran. Sebelum itu, kalian kenal dulu dua unsur lain lingkaran,
yaitu busur dan juring. Busur merupakan bagian lingkaran, sedangkan
juring merupakan daerah yang dibatasi dua jari-jari lingkaran dan
busur di antara jari-jari tersebut. Perhatikan Gambar 2.41.
Busur
Juring
Gambar 2.41 Contoh-Contoh Busur dan Juring Lingkaran
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
85
Sekarang, ayo temukan luas lingkaran!
Eksplorasi
2.11
Menentukan Luas Lingkaran
Melalui eksplorasi ini, kalian akan menaksir luas lingkaran pada
kertas berpetak dan menemukan rumus untuk menentukan luas
lingkaran.
B Perhatikan lingkaran yang dilukis pada kertas berpetak pada
Gambar 2.42 berikut.
Gambar 2.42 Lingkaran pada Kertas Berpetak
ⓐ Berapa petak yang dilingkupi seperempat lingkaran
tersebut?
ⓑ Berapa petak luas daerah yang dilingkupi lingkaran tersebut?
C Sekarang kalian akan menemukan luas lingkaran secara umum
(tidak dilukis pada kertas berpetak). Untuk melakukannya,
kalian dapat membagi lingkaran tersebut menjadi 24 juring
yang sama. Perhatikan Gambar 2.43. Lingkaran pada gambar
tersebut panjang jari-jarinya r.
Gambar 2.43 Lingkaran dan 24 Juring-Juringnya
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
86
Tiap juring lingkaran tersebut dapat dipotong dan disusun
kembali menjadi bentuk seperti pada Gambar 2.44.
Gambar 2.44 Susunan 24 Juring Lingkaran
Susunan juring pada Gambar 2.44 tersebut menyerupai jajar
genjang. Tentukan alas dan tinggi jajar genjang tersebut!
D Tentukan luas lingkaran pada Gambar 2.43 dengan menggunakan
pendekatan luas jajar genjang pada Gambar 2.44.
Pada aktivitas Eksplorasi 2.11, kalian telah menemukan rumus
luas lingkaran dengan menggunakan luas jajar genjang. Kalian ingin
melihat cara lainnya? Ayo cermati aktivitas interaktif berikut ini!
Aktivitas Interaktif
Silakan pindai kode QR di samping atau
kunjungi tautan http://ringkas.kemdikbud.
go.id/LuasLingkaran untuk melihat cara lain
bagaimana menemukan luas lingkaran dengan
menggunakan luas segitiga.
Berdasarkan kegiatan sebelumnya, kalian telah menemukan rumus
untuk menentukan luas lingkaran. Rumus tersebut disajikan dalam
Sifat 2.7.
Sifat
2.7
Luas Lingkaran
Misalkan suatu lingkaran panjang jari-jarinya r. Luas lingkaran
tersebut adalah
L
= πr
2
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
87
Untuk lebih memahami bagaimana menentukan luas lingkaran,
perhatikan Contoh 2.12.
Contoh
2.12
Menentukan Luas Lingkaran
Tentukan luas lingkaran yang panjang diameternya 30 cm!
Alternatif Penyelesaian
Diketahui panjang diameternya d =30 cm. Dengan demikian,
panjang jari-jarinya r=
2
30
=15 cm. Selanjutnya kita gunakan Sifat
2.7 untuk menentukan luas lingkaran yang diberikan.
L = nr
2
Sifat 2.2
≈ 3,14(15)
2
Substitusi π ≈ 3,14 dan r =15
=706,5 Hitung
Jadi, luas lingkaran yang diberikan adalah 706,5 cm
2
.
Tentukan luas lingkaran yang panjang jari-jarinya 28 cm!
3. Panjang Busur Lingkaran
Selanjutnya kalian akan belajar menentukan panjang busur lingkaran.
Sebelum itu, kalian perlu mengetahui satu unsur lain lingkaran, yaitu
sudut pusat. Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari
lingkaran. Perhatikan Gambar 2.45.
Gambar 2.45 Contoh-Contoh Sudut Pusat Lingkaran
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
88
Sekarang, ayo temukan bagaimana cara menentukan panjang
busur lingkaran!
Eksplorasi
2.12
Menentukan Panjang Busur Lingkaran
Di aktivitas ini kalian akan menentukan busur lingkaran jika
diketahui sudut pusat yang menghadap busur tersebut.
B Lingkaran pada Gambar 2.46, panjang jari-jarinya 7.
A
B
Gambar 2.46 Lingkaran dengan Panjang Jari-Jari 7
Berapakah keliling lingkaran tersebut?
C Perhatikan kembali Gambar 2.46.
ⓐ Berapakah besar sudut pusat θ? Jelaskan caranya!
ⓑ Setelah mencermati Gambar 2.46, Paulina berpikir bahwa
busur
AB
%
panjangnya
12
2
kalinya dari keliling lingkaran
tersebut. Akan tetapi, Abel berpendapat bahwa busur
tersebut panjangnya
360
60
kali keliling lingkarannya.
Menurut kalian, mengapa Paulina dan Abel berpikir seperti
itu? Kalian setuju dengan siapa, Paulina atau Abel?
ⓒ Tentukan panjang busur
AB
%
!
Dari Eksplorasi 2.12, kalian telah menemukan cara bagaimana
menentukan panjang busur lingkaran. Apa yang kalian temukan
tersebut dirangkum dalam Sifat 2.8.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
89
Sifat
2.8
Panjang Busur Lingkaran
Suatu busur lingkaran terletak di hadapan sudut pusat yang
besarnya θ, perhatikan Gambar 2.47. Panjang busur tersebut
adalah
K
360
i
=
, dengan Kadalah keliling lingkaran yang memuat
busur tersebut.
θ
Gambar 2.47 Busur di Hadapan θ
Untuk lebih memahami bagaimana menentukan panjang busur
lingkaran, cermati Contoh 2.13.
Contoh
2.13
Mengukur Panjang Jalan
Dhien ingin tahu seberapa panjang bagian Bundaran HI yang
bertemudengan Jl.JenderalSudirmandan Jl.M.H. Thamrin di
sebelah barat. Untuk itu, dia mengunduh peta di Google Maps dan
mengolahnya di komputer. Hasilnya ditunjukkan pada Gambar 2.48.
75°
50 m
A
B
Gambar 2.48 Pertemuan Jl. Jenderal Sudirman, Bundaran HI, dan Jl. M.H.
Thamrin
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
90
Tentukan panjang bagian Bundaran HI tersebut! (Pada gambar
ditunjukkan sebagai busur
AB
%
).
Alternatif Penyelesaian
Dengan menggunakan Sifat 2.8, panjang busur
AB
%
dapat ditentukan
sebagai berikut.
,
,
360
75
250
6
125
6
125314
65 42$
c
c
..
r
r
=
^
^
h
h
Jadi, bagian barat Bundaran HI yang bertemu dengan Jl. Jenderal
Sudirman dan Jl. M.H. Thamrin panjangnya sekitar 65,42 meter.
Bagian Bundaran HI yang bertemu dengan Jl. Imam Bonjol dan
Jl. M.H. Thamrin ditunjukkan pada Gambar 2.49.
20°
Gambar 2.49 Pertemuan Jl. Imam Bonjol, Bundaran HI, dan Jl. M.H. Thamrin
Tentukan panjang bagian Bundaran HI tersebut!
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
91
Diketahui sebuah lingkaran panjang jari-jarinya 21.
B Lengkapi Tabel 2.3 dengan panjang busur jika diketahui sudut
pusatnya masing-masing.
Tabel 2.3 Panjang Busur di Hadapan Sudut Pusat θ
Sudut Pusat θ 60° 120° 180° 240° 300°
Panjang Busur
C Apa yang dapat kalian simpulkan dari Tabel 2.3?
4. Luas Juring Lingkaran
Sekarang kalian belajar untuk menentukan luas juring lingkaran.
Untuk itu, kerjakan Eksplorasi 2.13 berikut!
Eksplorasi
2.13
Menentukan Luas Juring Lingkaran
Semua lingkaran dalam Tabel 2.4 panjang jari-jarinya 10.
B Lengkapilah Tabel 2.4!
Tabel 2.4 Luas Juring Lingkaran
Gambar
Sudut
Pusat
Pecahan Luas
360° 1 314
Ayo Berpikir Kreatif 2.2
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
92
Gambar
Sudut
Pusat
Pecahan Luas
3
1
144°
3
2
45°
C Berdasarkan Tabel 2.4, bagaimana cara menentukan luas suatu
juring jika diketahui sudut pusatnya θ?
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
93
D Setelah melengkapi Tabel 2.4, Ahmad menggambarkan
hubungan antara sudutpusat dan luas juring pada bidang
koordinat. Hasilnya ditunjukkan pada Gambar 2.50.
100 200 300 400
100
200
300
Besar Sudut Pusat
(derajat)
Luas Juring
Gambar 2.50 Hubungan Sudut Pusat dan Luas Juring
Berdasarkan gambarnya, Ahmad menduga bahwa sudut pusat
proporsional dengan luas juringnya.
ⓐ Apa makna dugaan Ahmad tersebut?
ⓑ Apakah kalian setuju dengan dugaan Ahmad? Jelaskan
alasannya!
Di Eksplorasi 2.13, kalian telah menemukan bagaimana cara
menentukan luas suatu juring jika diketahui sudut pusatnya. Hal ini
dirangkum dalam Sifat 2.9.
Sifat
2.9
Luas Juring Lingkaran
Sebuah juring memiliki sudut pusat yang
besarnya θ, (lihat Gambar 2.51). Luas juring
tersebut adalah
L
360
$
i
dengan L adalah luas lingkaran yang
membatasi juring tersebut.
Gambar 2.51 Juring
dengan Sudut Pusat θ
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
94
Di Eksplorasi 2.13, kalian juga memperoleh bahwa sudut pusat
proporsional dengan juringnya. Hal ini dapat dituliskan seperti berikut.
Luas juring
Luas juring
2
1
2
1
i
i
=
dengan θ
1
dan θ
2
secara berturut-turut adalah sudut pusat dalam juring
pertama dan kedua, perhatikan Gambar 2.52 berikut ini.
Gambar 2.52 Dua Juring dalam Lingkaran
Sekarang cermati contoh berikut untuk lebih memahami bagaimana
menentukan luas juring.
Contoh
2.14
Menentukan Luas Juring
Sebuah lingkaran panjang jari-jarinya 15 cm. Tentukan luas juring
lingkaran tersebut yang sudut pusatnya 60°!
Alternatif Penyelesaian
Diketahui bahwa r= 15 cm dan θ= 60°. Selanjutnya kita gunakan
Sifat 2.9.
,,
360
60
31415 117 75Luas juring
2
$.
=
^h
Jadi, luas juring tersebut adalah 117,75 cm
2
.
Berapakah luas juring yang sudut pusatnya 135° dan panjang
jari-jarinya 21 cm?
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
95
Latihan
D
Lingkaran
Jawablah soal-soal berikut dengan tepat dan jelas!
Pemahaman Konsep
B Benar atau Salah. Jari-jari suatu lingkaran adalah ruas garis yang
menghubungkan dua titik pada lingkaran tersebut.
C Benar atau Salah. Diameter suatu lingkaran panjangnya dua kali
jari-jari lingkaran tersebut.
D Perbandingan antara keliling dan diameter suatu lingkaran adalah
sekitar _____.
E Suatu lingkaran panjang diameternya d. Luas lingkaran tersebut
adalah _____.
F Suatu lingkaran panjang jari-jarinya r. Panjang busur lingkaran
tersebut yang terletak di hadapan sudut pusat yang besarnya θ
adalah _____.
Penerapan Konsep
G Untuk tiap-tiap lingkaran yang diketahui r (panjang jari-jari) atau d
(panjang diameter) berikut, tentukan keliling dan luasnya!
ⓐ r = 12 cm
ⓑ d = 50 cm
ⓒ r = 3,5 m
H Diketahui sebuah lingkaran panjang diameternya 42 cm. Tentukan
panjang busur dan luas juringnya jika sudut pusatnya
ⓐ θ = 150°
ⓑ
θ = 225°
ⓒ
θ=300°
I Seorang arsitek sedang merencanakan taman yang di tengah-
tengahnya akan dibangun patung globe (bola dunia). Agar para
pengunjungnya dapat mengelilingi globe tersebut dengan jarak
yang sama, dia memilih lingkaran sebagai bentuk dasar taman
tersebut. Rencana taman itu diperlihatkan pada Gambar 2.53.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
96
Gambar 2.53 Rencana Taman
ⓐ Daerah yang diarsir (berwarna hijau) akan ditanami rumput.
Berapakah luas daerah ini?
ⓑ
Harga rumput per m
2
adalah Rp55.000,00. Berapakahbiaya
yang diperlukan untuk membeli rumput yang akan ditanam di
taman itu?
ⓒ Jika seseorang akan joging sejauh 8 km mengelilingi taman
tersebut, berapa putaran yang dia perlukan?
J Sebuah sekolah memiliki lapangan tolak peluru. Bentuk dan ukuran
lapangan tersebut ditunjukkan pada Gambar 2.54 berikut. Daerah
yang diarsir (warna abu-abu) merupakan daerah berpasir sebagai
tempat mendaratnya peluru.
Gambar 2.54 Lapangan Tolak Peluru
ⓐ Pihak sekolah akan mengganti pasir dalam daerah pendaratan
peluru menjadi rumput. Jika harga rumput per m
2
adalah
Rp45.000,00, tentukan total biaya yang diperlukan untuk
membeli rumput yang dapat menutupi daerah tersebut!
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
97
ⓑ Abel berlatih tolak peluru di lapangan tersebut dan pelurunya
jatuh di titik yang bertanda silang (lihat Gambar 2.54) pada
percobaan pertama. Jika Abel ingin mencoba lagi dan dia ingin
hasilnya lebih baik dari percobaan pertama, arsirlah daerah di
mana seharusnya target jatuhnya peluru selanjutnya!
E. Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Lengkung
Pada subbab B dan C, kalian telah mempelajari luas permukaan bangun
ruang sisi datar. Kali ini, kita akan mempelajari luas permukaan bangun
ruang sisi lengkung yakni tabung, kerucut, dan bola. Untuk memahami
materi ini, kalian memerlukan pengetahuan pada subbab sebelumnya
tentang lingkaran.
1.Luas Permukaan Tabung
Untuk menemukan luas permukaan tabung, ayo lakukan Eksplorasi
2.14.
Eksplorasi
2.14
Luas Permukaan Tabung
Temukan satu atau lebih barang yang berbentuk tabung tertutup
di sekitarmu. Misalnya, kalian bisa menggunakan wadah makanan,
tempat kok, dan lain sebagainya (lihat Gambar 2.55). Selanjutnya,
ikuti beberapa instruksi berikut untuk memahami bagaimana
caranya menghitung luas permukaan tabung.
Gambar 2.55 Wadah Berbentuk Tabung
Sumber: www. rekreartive.com
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
98
B Perhatikan benda-benda yang telah kalian dapatkan. Ada berapa
sisi dari tiap-tiap benda yang kalian temukan? Berbentuk apa
saja sisinya?
C Gambarkan tiap sisi dari tiap benda berbentuk tabung yang
kalian dapatkan. Kalian dapat melakukannya dengan cara
menaruh benda tersebut di atas kertas sehingga sisi yang
berbentuk lingkaran terletak di bawah.
D Untuk tiap benda, hitunglah luas tiap sisi yang telah kalian
gambar.
E Untuk tiap benda, hitunglah total luas sisi-sisinya. Total luas sisi-
sisi inilah yang disebut sebagai luas permukaan.
F Berdasarkan pegalaman kalian di atas, tentukan rumus luas
permukaan tabung jika jari-jari alasnya adalah rdan tingginya
adalah t.
Dalam Eksplorasi 2.14, kalian telah menemukan rumus luas
permukaan tabung, seperti disajikan pada Sifat 2.10.
Sifat
2.10
Luas Permukaan Tabung
Jika diketahui sebuah tabung memiliki jari-jari alas rdan tinggi t,
maka luas permukaan tabung tersebut dapat dicari dengan rumus
Luas Permukaan Tabung
2×Luas Alas+Luas Sisi Tegak=2(πr
2
)+(2πrt)
Contoh
2.15
Mengecat Drum Sampah
Gambar 2.56 Drum
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
99
Kadek akan ikut gotong royong warga RT di rumahnya. Dia
ditugaskan untuk mengecat drum pertamina tertutup (Gambar
2.56) yang nantinya akan dipotong atasnya supaya bisa dibuka
dan ditutup dengan mudah. Drum pertamina ini memiliki ukuran
diameter 58 cm dan tinggi 93 cm. Untuk menghitung kebutuhan cat
besi yang dibutuhkan, berikut rumus yang digunakan:
Volume (liter) cat yang diperlukan =
%
()
10VS
Luas permukaan DFT
#
#
Luas Permukaan :Luas permukaan yang akan dicat dalam m
2
DFT :Dry Film Thickness(dalam satuan mikron)
VS% :Persen volume solid
Jika Kadek akan menggunakan cat besi MowiPaintyang memiliki
DFT sebesar 50 dan VS% sebesar 45. Berapa liter cat yang Kadek
butuhkan?
Alternatif Penyelesaian
Pertama-tama kalian harus menentukan luas permukaan satu drum.
29 cm
29 cm
Tutup
atas
p=2πr
t=93 cm
Tutup
bawah
Gambar 2.57 Alas, Atap, dan Selimut Tabung
Luas Permukaan Tabung = 2×Luas Alas+Luas Sisi Tegak
= 2(πr
2
)+(2πrt)
=
t2
2
1
2
2
1
diameter diameter
2
rr
+
c
b
c
bl
m
l
m
= 2(π(29)
2
)+(2π(29)93)
= π×1.682+π×5.394
= π×7.076
. 22.218,64 cm
2
.
2,22 m
2
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
100
Dari perhitungan di atas, diperoleh estimasi luas permukaan drum
adalah 2,22 m
2
. Selanjutnya tentukan berapa liter cat yang dibutuhkan.
Volume (liter) cat yang diperlukan =
%
()
10VS
Luas permukaan DFT
#
#
=
,
45 10
22250
#
#
. 0,25
Berdasarkan perhitungan di atas, Kadek dapat menggunakan
seperempat liter cat MowiPaintuntuk mengecat satu drum.
Dengan konteks yang sama seperti soal di atas, berapa liter cat
MowiPaint yang dibutuhkan Kabo, jika drum pertamina yang
digunakan memiliki ukuran diameter 55 cm dan tinggi 90 cm?
2. Luas Permukaan Kerucut
Ikuti kegiatan Eksplorasi 2.15 untuk memahami luas permukaan
kerucut.
Eksplorasi
2.15
Luas Permukaan Kerucut
Di aktivitas eksplorasi ini kalian akan menemukan bagaimana cara
menentukan luas kerucut tertutup.
B Jiplaklah tiga gabungan bangun datar pada Gambar 2.58 berikut
pada selembar kertas. Potonglah gambar yang kalian hasilkan
di sepanjang goresan tintanya. Dari tiga potongan tersebut,
manakah yang dapat menghasilkan sebuah kerucut tertutup?
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
101
a. b. c.
Gambar 2.58 Benda Berbentuk Kerucut
C Berdasarkan nomor 1, Dhien membuat dua kesimpulan berikut
ini.
• Jaring-jaring sebuah kerucut tertutup terdiri dari lingkaran
(sebagai alasnya) dan juring lingkaran (sebagai selimutnya).
• Keliling lingkaran alas kerucut sama dengan panjang busur
juring yang menjadi selimutnya.
Apakah kalian setuju dengan kesimpulan Dhien? Mengapa?
D Dhien akan membuat sebuah kerucut tertutup yang panjang
jari-jari alasnya 5 cm dan tingginya 12 cm. Berdasarkan
kesimpulannya di nomor 2, dia merencanakan akan membuat
jaring-jaring dengan informasi sebagai berikut.
• Jaring-jaring tersebut terdiri dari sebuah lingkaran (sebagai
alas kerucut) dan juring lingkaran (sebagai selimut kerucut).
• Karena kerucut tertutup yang akan dia buat panjang jari-
jari alasnya 5 cm, maka dia perlu membuat sebuah juring
denganpanjang busur 2π·5 ≈31,4cm sebagaiselimut
kerucut tersebut.
Namun, dia menyadari bahwa dia tidak bisa membuat sebuah
juring lingkaran jika hanya diketahui panjang busurnya.
Informasi apa lagi yang diperlukan Dhien tentang juring
tersebut? Bagaimana cara mencari informasi tersebut?
E Tentukan luas permukaan kerucut tertutup yang dibuat oleh
Dhien!
F Gunakan apa yang telah kalian peroleh dari nomor 1–4 untuk
mencari luas permukaan sebuah kerucut tertutup yang panjang
jari-jari alasnya rdan tingginya t!
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
102
Dalam Eksplorasi 2.15, kalian telah menemukan cara menghitung
luas permukaan kerucut. Rumus untuk luas permukaan kerucut
disajikan pada Sifat 2.11.
Sifat
2.11
Luas Permukaan Kerucut
Jika diketahui sebuah kerucut memiliki jari-jari alas rdan tinggi t,
maka luas permukaan kerucut tersebut dapat dicari dengan rumus
berikut.
Luas Permukaan Kerucut = Luas Alas+Luas Sisi Tegak
= Luas Lingkaran+Luas Juring
= (πr
2
)+
2
2
rt
rt
r
22
22
#
r
r
r
+
+
d
^h
n
= (πr
2
)+(πr
rt
22
+
)
= πr(r+
rt
22
+
)
Contoh
2.16
Menyemprot Tembaga
51 in
48 in
Gambar 2.59 Benda Berbentuk Kerucut
Perhatikan kerucut tembaga pada Gambar 2.59 yang dilengkapi
ukuran dalam inci. Sebuah oksidator harganya Rp800.000,00 per
liter. Setiap 1 liter oksidator dapat digunakan untuk sekitar 5000
inci persegi. Jika alas kerucut tidak disemprot, temukan biaya
penyemprotan oksidator padauntuk 100 kerucut tembaga ini!
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
103
Alternatif Penyelesaian
Pertama-tama, kalian perlu mencari luas sisi lengkung sebuah
kerucut. Karena telah diketahui panjang diameter alasnya 48 inci,
maka panjang jari-jarinya
r
2
1
48 24
#
==
cm. Selain itu, telah
diketahui juga bahwa panjang sisi miringnya l= 51 cm. Dengan
demikian, luas sisi lengkungnya dapat ditentukan seperti berikut.
Luas Sisi Lengkung
= πrl
= 3,14×24×51
= 3.843,36 inci
2
Karena kerucut tembaganya ada 100 buah, maka estimasi total
permukaan yang akan disemprot oksidator adalah 100 ×3.843,36
inci2= 384.336 inci
2
. Akibatnya, oksidator yang dibutuhkan adalah
sebanyak 384.336 ÷5.000 =76,8672 liter. Oleh karena itu, biaya
yang dibutuhkan adalah Rp800.000,00 ×76,8672 =Rp61.493.760,00.
Dengan konteks yang sama seperti soal di atas (biaya oksidasi
dan estimasi banyak oksidator per inci untuk luas permukaan),
tentukan biaya dari oksidasi tembaga kerucut sebanyak 100
buah dengan ukuran jari-jari alas 50 inci dan panjang sisi
miring dari sisi lengkung 60 inci.
Matematika dalam Budaya
Rumah Adat Mbaru Niang
Indonesia memiliki kekayaan budaya yang sangat beragam, salah
satunya dalam bidang arsitektur. Di Indonesia banyak sekali ragam
rumah adat, bahkan suatu daerah dapat memiliki lebih dari satu
rumah adat. Dari berbagai rumah adat yang ada di Indonesia,
konstruksi geometrisnya juga bermacam-macam, dari yang
sederhana sampai kompleks. Salah satu rumah adat yang memiliki
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
104
bentuk geometris cukup sederhana adalah rumah adat Mbaru Niang
yang berasal dari Waerebo, Nusa Tenggara Timur seperti terlihat
pada Gambar 2.60.
Gambar 2.60 Susunan Lengkap Rumah Mbaru Niang
Sumber: [Monica Renata / Flickr]
Sesuai dengan namanya, Niang yang berarti kerucut, rumah adat
dari Waerebo ini memiliki bentuk kerucut yang menjulang setinggi
sekitar 15 meter. Material rumah adat ini dipilih dan didesain agar
kehangatan dalam ruangan tetap terjaga. Ada tujuh bangunan
rumah Mbaru Niang yang melambangkan tujuh arah gunung yang
ada di daerah tersebut.
Gambar 2.61 Rumah Mbaru Niang
Sumber: [Yori Antar / Archdaily]
Rumah Mbaru Niang pernah memenangi penghargaan dari
UNESCO yakni Award for Cultural Heritage Conservation di tahun
2012. Selain itu, keunikan rumah ini juga menginspirasi banyak
peniliti dan pemerhati budaya yang dituangkan dalam bentuk buku
ataupun inspirasi bangunan. Yori Antar merupakan salah satu
arsitek Indonesia yang membangun rumah yang terinspirasi dari
Mbaru Niang (Gambar 2.61).
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
105
3. Luas Permukaan Bola
Untuk memahami luas permukaan bola, ayo lakukan Eksplorasi 2.16.
Kalian akan membutuhkan bola sepak atau bola mainan pada kegiatan
eksplorasi ini.
Eksplorasi
2.16
Luas Permukaan Bola
Aktivitas pertama: Pada aktivitas ini, kalian perlu siapkan bola
sepak atau bola mainan yang berbahan plastik dan mudah digunting.
Selanjutnya, ikuti beberapa instruksi berikut:
B Ukur jari-jari benda yang kalian pilih.
C Gambarkan beberapa lingkaran pada kertas dengan jari-jari
yang kalian telah temukan tadi.
D Siapkan gunting atau alat pemotong lain. Potonglah bola dengan
gunting atau cutter.
E Setelah kalian dapatkan “kulit” bola dari langkah 3, potong-
potong dan tempel agar bisa memenuhi satu lingkaran yang
kalian gambar. Jika kulit masih lebih, potong dan tempel lagi ke
lingkaran lain. Lakukan langkah ini sampai kulitnya habis.
F Berapa banyak lingkaran yang dapat dipenuhi oleh kulit benda
yang kalian pilih?
G Berapa luas permukaan bola kalian dalam luas lingkaran yang
telah kalian buat?
Aktivitas kedua: Berdasarkan pengalaman belajar pada aktivitas
pertama, coba kalian jawab beberapa pertanyaan berikut. Sebagai
acuan, kalian memiliki sebuah bola dengan jari-jari rseperti pada
Gambar 2.62.
r
Gambar 2.62 Ilustrasi Bola
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
106
B Nyatakan hubungan antara luas permukaan bola yang memiliki
jari-jari rdan luas lingkaran dengan jari-jari yang sama!
C Nyatakan luas permukaan bola dalam π dan r.
Berdasarkan Eksplorasi 2.16, kalian telah mengetahui luas
permukaan bola. Rumus luas permukaan bola disajikan pada Sifat 2.12.
Sifat
2.12
Luas Permukaan Bola
Jika diketahui sebuah bola memiliki jari-jari r, maka luas
permukaan bola tersebut dapat dicari dengan rumus:
Luas Permukaan Bola=4πr
2
.
Contoh
2.17
Luas Permukaan Bumi
Gambar 2.63 Ilustrasi Bumi
Bumi memiliki diameter sekitar 12.750 km. Tentukan berapa
estimasi luas permukaan bumi. Selanjutnya, diketahui bahwa
Indonesia memiliki luas daerah sekitar 7,81 juta km persegi. Berapa
persen luas Indonesia dibandingkan luas permukaan bumi?
Alternatif Penyelesaian
Untuk menyelesaikan permasalahan ini, kalian harus mencari
estimasi volume bumi.
Luas Permukaan Bumi = 4π(r
bumi
)
2
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
107
= 4(3,14)
.
2
1
12 750
2
#
bl
= 4(3,14)(6.375)
2
= 510.446.250
= 510,45 juta km
2
Berdasarkan perhitungan tersebut, maka, kalian dapat menghitung
perkiraan berapa persen luas Indonesia terhadap luas permukaan
bumi dengan cara sebagai berikut.
%
,
,
%,%.
Luas Indnesia
100
510 45
781
100 153
Luas permkaan bumi
o
juta km
juta km
2
2
##
.
=
Coba cari perbandingan antara luas permukaan planet Uranus
dan Neptunus. Uranus memiliki jari-jari kurang lebih sebesar
25.559 km. Neptunus memiliki jari-jari kurang lebih sebesar
24.764 km.
4.Pengaruh Perubahan Skala Bangun Ruang Sisi
Lengkung terhadap Luas Permukaannya
Sebelumnya, kalian telah mempelajari bahwa makna bangun ruang
diubah dengan skala kadalah setiap rusuknya diubah dengan skala k.
Kalian juga telah mempelajari bahwa jika bangun ruang diubah dengan
skala k, maka luas permukaannya juga berubah dengan skala k
2
. Pada
bagian ini, kalian akan mempelajari bagaimana efek perubahan skala
bangun ruang sisi lengkung terhadap luas permukaannya. Perhatikan
Contoh 2.18!
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
108
Contoh
2.18
Luas Permukaan Tabung
Matulessy memiliki usaha garam. Untuk memasarkan produknya,
ia menggunakan kemasan yang berbentuk tabung dengan
ukuan diameter 10 cm dan tinggi 10 cm. Setelah melakukan riset
pasar, Matulessy mendapatkan bahwa banyak konsumen yang
menginginkan kemasan lain yang sedikit lebih kecil. Akhirnya,
Matulessy mendesain sebuah kemasan tabung yang memiliki
ukuran 0,75 dari ukuran semula. Tentukan berapa luas kebutuhan
bahan pembuat kemasan tabung besar dan tabung kecil. Tentukan
pula perbandingan antara keduanya.
Alternatif Penyelesaian
Panjang diameter tabung besar adalah 10 cm dan tingginya adalah
10 cm. Maka, luas permukaannya dapat ditentukan dengan cara
berikut.
Luas permukaan tabung besar= 2πr
2
+2πrt
= 2π×5
2
+2π×5×10
= 150π cm
2
Panjang diameter tabung setelah diperkecil menjadi 0,75 dari ukuran
semula menjadi 7,5 cm. Tingginya juga menjadi 7,5 cm. Maka, luas
permukaan tabung setelah diperkecil dapat dicari sebagai berikut.
Luas permukaan tabung kecil = 2πr
2
+2πrt
= 2π×3,75
2
+2π×3,75×7,5
= 84,375π cm
2
Selanjutnya, kalian akan menentukan perbandingan antara luas
permukaan tabung kecil dengan luas permukaan tabung besar.
Luas permukaan tabung besar
Luas permukaan tabung kecil
=
,
150
84 375
r
r
= 0,5625
= (0,75)
2
Berdasarkan perhitungan-perhitungan di atas, maka kebutuhan
bahan pembuat kemasan satu tabung besar adalah 150π cm
2
sedangkan satu tabung kecil membutuhkan 84,375π cm
2
bahan
kemasan. Sehingga, satu kemasan kecil membutuhkan (0,75)
2
dari
bahan yang dibutuhkan untuk membuat satu kemasan tabung
besar.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
109
Lintang memiliki usaha gula dengan kemasan tabung. Semula,
tabung kemasannya memiliki satu ukuran yakni dengan
diameter 10 cm dan tinggi 7 cm. Setelah melakukan riset,
ternyata banyak konsumen yang menginginkan kemasan yang
lebih besar. Akhirnya, diputuskan bahwa akan membuat ukuran
kemasan baru dengan skala dua kali lipat dari ukuran semula.
Tentukan berapa luas kebutuhan bahan pembuat kemasan
tabung besar dan tabung kecil. Tentukan pula perbandingan
antara keduanya.
Seperti halnya pada Subbab B dan berdasarkan Contoh 2.18, dapat
dilihat bahwa jika sebuah bangun diubah ukurannya dengan skala k,
maka luas permukaannya akan berubah dengan skala k
2
.
Latihan
E
Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Lengkung
Pemahaman Konsep
B Bagaimana cara mencari luas permukaan tabung?
C Bagaimana cara mencari luas permukaan kerucut?
D Jelaskan keterkaitan antara luas permukaan bola dan luas lingkaran
yang memiliki jari-jari yang sama.
E Bagaimana caranya mencari luas permukaan bola?
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
110
Penerapan Konsep
F Hitunglah luas permukaan tiap-tiap bangun pada Gambar 2.64.
100 cm
60 cm
6 cm
8 cm
10 cm
10 inci
12 inci
8,4 m
4 dm
6 dm
Tertutup Tertutup Tertutup
TertutupTertutupTanpa alas
a. b. c.
d. e. f.
Gambar 2.64 Berbagai Bangun Ruang Sisi Lengkung
G Perkirakan berapa banyak bola dengan jari-jari 10 cm yang dapat
dibungkus dengan material pembungkus yang berukuran 1 meter
persegi?
H Untuk memperingati ulang tahun Gilang, ibunya membuat nasi
tumpeng yang disusun sedemikian rupa sehingga nasinya berbentuk
kerucut dengan diameter 20 cm. Tinggi nasi dengan bentuk kerucut
ini sekitar 35 cm. Jika nasi kerucut ini ingin ditutupi dengan daun
pisang, berapa luas daun pisang yang akan dibutuhkan?
I Tentukan luas permukaan pipa terbuka (tanpa tutup pada kedua
sisi) jika memiliki jari-jari 1 m dan panjang 5 m.
J Hotman memiliki usaha gelato. Salah satu kemasan gelato
berbentuk kerucut dengan ukuran diameter 7,5 cm dan tinggi 15
cm.Setelah melakukan riset pasar, Hotman mendapatkan bahwa
banyak konsumen yang menginginkan kemasan lain yang sedikit
lebih kecil. Akhirnya, Hotman mendesain sebuah kemasan kerucut
yang memiliki ukuran 0,75 dari ukuran semula. Tentukan berapa
luas kebutuhan bahan pembuat kemasan kerucut besar dan kerucut
kecil. Tentukan pula perbandingan antara keduanya.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
111
F. Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung
Pada subbab C, kalian telah mempelajari volume bangun ruang sisi
datar. Kali ini, kalian akan mempelajari volume bangun ruang sisi
lengkung.
1.Volume Tabung
Untuk memahami volume tabung, ikuti kegiatan Eksplorasi 2.17.
Eksplorasi
2.17
Volume Tabung
Aktivitas Pertama: Prediksi atau tebak volume beberapa bangun
ruang berikut dengan pengetahuan yang sudah kalian peroleh dari
menemukan volume bangun ruang sisi datar.
c.
8
2
4
1
4
a.
b.
Gambar 2.65 Balok dan Tabung
• Gambar a adalah sebuah balok dengan alas yang memiliki
ukuran panjang 8 satuan dan lebar 2 satuan. Balok ini memiliki
tinggi 3 satuan panjang.
• Gambar b menunjukkan sebuah tabung dengan ukuran jari-jari
4 satuan dan tinggi 1 satuan.
• Gambar c menunjukkan sebuah tabung dengan ukuran jari-jari
4 satuan dan tinggi 3 satuan.
Aktivitas Kedua: Perhatikan keempat bangun ruang pada Gambar
2.66. Keempatnya memiliki dua kesamaan. Yang pertama adalah
mereka sama-sama memiliki tinggi 5 satuan. Yang kedua adalah
mereka memiliki alas dengan jarak terjauh dari titik pusat ke sisi
adalah 1 satuan panjang. Dengan menggunakan estimasi π≈3,14,
ikuti instruksi-instruksi berikut.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
112
a.
b. c. d.
1
5
2
2
5
1
1
5
5
1
Gambar 2.66 Prisma dan Tabung
B Carilah luas persegi dan lingkaran pada gambar a dan d.
C Gunakan dua hasil ini untuk mengukur volume prisma a dan
tabung d. Bagaimana perbandingan antara keduanya?
D Tanpa menggunakan kalkulasi, urutkan keempat bangun
tersebut dari yang memiliki volume terkecil ke bangun yang
memiliki volume terbesar. Gunakan gambar dan pengetahuan
kalian tentang poligon untuk menjelaskan alasanmu.
E Luas heksagon (alas prisma b) kurang lebih 2,6 satuan luas
dan luas dari oktagon (alas prisma c) kurang lebih 2,83 satuan
luas. Gunakan temuan ini untuk menghitung volume prisma
heksagon dan prisma oktagon. Bandingkan hasil volume yang
kalian temukan dengan jawaban butir 3.
Berdasarkan Eksplorasi2.17, apa yang dapat kalian simpulkan
terkait volume tabung? Apa persamaannya dengan volume prisma?
Rumus untuk mencari volume tabung disajikan pada Sifat 2.13.
Sifat
2.13
Volume Tabung
Jika diketahui sebuah tabung memiliki jari-jari alas rdan tinggi t,
maka volume tabung tersebut dapat dicari dengan rumus sebagai
berikut.
Volume Tabung=Luas Alas×Tinggi=πr
2
t.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
113
Contoh
2.19
Volume Pipa
35cm
36
cm
Gambar 2.67 Pipa
Sebuah potongan pipa besi, dapat dilihat pada Gambar 2.67. Jarak
dari pusat tabung ke bagian dalam pipa adalah 35 cm, sedangkan
jarak dari pusat tabung ke bagian luar pipa adalah 36 cm. Jika
panjang pipa adalah 100 m, tentukan volume besi dari pipa besi
tersebut dalam π.
Alternatif Penyelesaian
Salah satu cara untuk mencari volume pipa besi dengan ketebalan
1 cm tersebut adalah dengan mengurangkan volume tabung besar
dengan panjang jari-jari R=36 cm dengan volume tabung kecil
dengan panjang jari-jari r=35 cm. Karena panjang pipa t=100
m=10.000 cm, perhitungan volume besi tersebut dapat dilakukan
sebagai berikut.
.
.
Rt rt
tR r
tR rR r
10 00036353635
710 000
VlumeTabungBesi
22
22
## #
qrr
r
r
r
r
=-
=-
=+-
=+
-
=
^
^^
^^
h
h
h
hh
Jadi, volume pipa besi tersebut adalah 710.000π cm
3
.
Sebuah bis beton berbentuk tabung. Jari-jari luar bis ini 100 cm,
ketebalannya 10 cm, dan panjangnya 50 cm. Tentukan volume
beton dari bis beton ini.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
114
2. Volume Kerucut
Seperti keterkaitan antara volume limas dan volume prisma, pada
Eksplorasi 2.18, kalian akan mempelajari relasi dari volume kerucut
dan volume tabung yang sudah kalian ketahui.
Eksplorasi
2.18
Volume Kerucut
Pada aktivitas ini, kalian siapkan wadah berbentuk kerucut. Seperti
pada aktivitas sebelumnya, kalian dapat menggunakan kemasan
es krim atau wadah kerucut lain. Tugas kalian selanjutnya adalah
sebagai berikut.
B Buat wadah tabung (atasnya terbuka) dengan acuan wadah
kerucut yang sudah kalian pilih. Tabung yang akan kalian
buat harus memiliki ukuran alas dan tinggi yang sama dengan
kerucut.
C Siapkan pasir atau butiran stirofoam. Gunakan salah satu bahan
tersebut untuk mengisi wadah kerucut dan tabung.
D Isi penuh wadah kerucut. Tuangkan isinya ke wadah tabung.
Ulangi proses ini sampai wadah tabung penuh.
E Jawab pertanyaan-pertanyaan berikut.
ⓐ Berapa banyak pasir atau butiran strirofoam dalam ukuran
wadah kerucut yang dibutuhkan untuk memenuhi wadah
tabung?
ⓑ Apa kaitan fakta pada butir a) dengan hubungan antara
volume tabung dan volume kerucut?
ⓒ Tuliskan kalimat matematika dari hubungan antara volume
kerucut dan volume tabung!
ⓓ Berdasarkan rumus volume tabung yang sudah kalian
ketahui, tuliskan rumus volume kerucut.
F Bandingkan hasil yang telah kalian peroleh dengan penjelasan
di video pada tautan berikut,
https://youtu.be/scpP86WYuAo
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
115
Berdasarkan Eksplorasi 2.18, kalian telah menentukan hubungan
volume tabung dan kerucut. Dari kegiatan tersebut dapat disimpulkan
bahwa rumus volume kerucut seperti yang disajikan pada Sifat 2.14.
Sifat
2.14
Volume Kerucut
Jika diketahui sebuah kerucut memiliki jari-
jari alas r dan tinggi t, maka volume kerucut
tersebut dapat dicari dengan rumus:
Volume Kerucut =
3
1
×Luas Alas×t
=
3
1
πr
2
t
Contoh
2.20
Kerucut dalam Prisma
16 cm
12 cm
Gambar 2.69 Kerucut dalam Prisma
Sebuah kerucut diletakkan ke dalam sebuah prisma persegi seperti
tampak pada Gambar 2.69. Jika panjang sisi persegi adalah 12 cm
dan tinggi prisma sama dengan tinggi kerucut yaitu 16 cm. Tentukan
volume prisma yang tidak terisi oleh kerucut.
Alternatif Penyelesaian
Pertama-tama, carilah volume prisma persegi. Karena panjang sisi
persegi sama dengan diameter lingkaran, maka jari-jari lingkaran
memiliki ukuran 6 cm.
Volume Prisma Persegi = Luas Alas×Tinggi
= (12×12)×16
= 2.304 cm
3
Gambar 2.68 Kerucut
t
r
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
116
Volume Kerucut =
3
1
×Luas Alas×Tinggi
=
3
1
×(π×(6)
2
)×16
= π×
3
1
×36×16
= π×192
. 3,14×192
= 602,88 cm
3
Untuk mencari volume prisma yang tidak terisi oleh kerucut, kalian
dapat mengurangi volume prisma persegi dengan volume kerucut.
Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut.
Volume prisma yang tidak terisi oleh kerucut =Volume prisma-Volume kerucut
=2.304 cm
3
-602,88 cm
3
=1.701,12 cm
3
.
Dengan konteks yang sama seperti soal di atas, tentukan volume
prisma yang tidak terisi oleh kerucut jika panjang sisi persegi
adalah 20 cm dan tinggi prisma adalah 30 cm.
Aktivitas Interaktif
Gambar 2.70 Variasi Kerucut
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
117
Pada kegiatan interaktif ini, kalian akan mengamati konstruksi
sebuah kerucut dari juring, silakan memindai kode QR berikut atau
mengunjungi tautan http://ringkas.kemdikbud.
go.id/JaringKerucut untuk meng eksplorasi
aktivitas GeoGebra. Geser slider yang ada di
sana dan perhatikan perubahan yang terjadi
terhadap sudut juring, jari-jari alas, tinggi
kerucut, dan volume kerucut.
Selanjutnya, rekam perubahan sudut juring terhadap volume
kerucut di Desmos Graphing Calculator yang dapat dipindai pada
kode QRberikut atau mengunjungi tautan https://
www.desmos.com/calculator. Isi tabel dan
gambarkan graknya. Kemudian, berdasarkan
grak yang terbentuk coba tuliskan formula yang
menggambarkan hubungan antara ukuran sudut
juring dengan volume kerucut yang terbentuk.
3. Volume Bola
Untuk memahami volume bola, kita akan menggunakan pengetahuan
kita tentang volume kerucut. Selanjutnya, kalian akan bermain di
Eksplorasi 2.19 untuk memahami keterkaitan antara volume kerucut
dan bola untuk menemukan cara bagaimana menentukan volume
sebuah bola.
Eksplorasi
2.19
Menemukan Volume Bola
Di aktivitas Eksplorasi 2.19 ini kalian akan berkelompok dengan
teman-teman kalian untuk melakukan sebuah eksperimen. Untuk
melakukan eksperimen tersebut, siapkan satu bola mainan ukuran
sedang, selembar kertas karton, beras atau butiran stirofoam,
gunting, dan selotip!
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
118
B Ukurlah bola mainan kalian untuk mencari tahu panjang
diameter atau jari-jarinya. Setelah itu, potonglah bola tersebut
menjadi dua bagian yang sama. Kalian mendapatkan dua buah
setengah lingkaran.
C Pada kertas karton, gambarlah jaring-jaring sebuah kerucut
terbuka agar nantinya kerucut tersebut memiliki panjang jari-
jari dan tinggi yang sama dengan panjang jari-jari bola kalian.
D Buatlah kerucut terbuka dengan menggunakan jaring-jaring
yang diperoleh di nomor 2. Kalian telah memiliki kerucut terbuka
yang alasnya sama dengan alas setengah bola dan tingginya
sama dengan panjang jari-jari bola. Perhatikan Gambar 2.71
berikut.
r
t
Gambar 2.71 Setengah Bola dan Kerucut Terbuka
4. Dengan menggunakan kerucut terbuka yang diperoleh,
pindahkan beras atau butiran stirofoam ke dalam setengah
bolanya!Berapakalipemindahan yang kalian lakukan agar
setengah bolanya terisi penuh? Hubungan apa yang kalian
peroleh mengenai volume setengah bola dan kerucut tersebut?
5. Volume sebuah bola sama dengan dua kali volume setengah
bola tersebut. Volume kerucut yang panjang jari-jarinya r dan
tingginya t adalah
rt
3
1
2
r
. Gunakan fakta-fakta ini dan hasil yang
kalian peroleh di nomor 4 untuk menemukan volume bola yang
panjang jari-jarinya r!
6. Bandingkan aktivitas yang kalian lakukan
pada nomor 1–5 dengan eksperimen yang
didemonstrasikan dalam video berikut.
https://s.id/VolumeBola
Video tersebut juga dapat kalian tonton
dengan memindai kode QR di samping!
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
119
Berdasarkan Eksplorasi 2.19, kalian dapat menuliskan rumus
volume bola sebagai berikut.
Sifat
2.15
Volume Bola
Jika diketahui sebuah bola memiliki jari-jari r, maka volume bola tersebut
dapat dicari dengan rumus:
Volume Bola=
3
4
πr
3
r
Gambar 2.72 Ilustrasi Bola
Contoh
2.21
Volume Kerak Bumi
Gambar 2.73 Kerak Bumi
Bumi memiliki lapisan permukaan yang disebut sebagai kerak
bumi. Lapisan kerak bumi kurang lebih memiliki ketebalan 24
km sedangkan diameter bumi sekitar 12.750 km. Tentukan berapa
persen volume bumi yang merupakan kerak bumi.
Alternatif Penyelesaian
Untuk menyelesaikan permasalahan ini, perkirakan terlebih dahulu
volume bumi.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
120
Perkiraan Volume Bumi =
3
4
π(r
bumi
)
3
≈
3
4
(3,14)(
2
1
×12.750)
3
=
3
4
(3,14)(6.375)
3
=
3
4
(3,14)(259.083.984.375)
= 1.084.698.281.250 km
3
Selanjutnya, karena ketebalan kerak bumi sudah diketahui maka
untuk mencari volume kerak bumi, kurangkan volume bumi dengan
volume bumi tanpa kerak.
Estimasi Volume Kerak Bumi = Estimasi volume bumi-Estimasi volume bumi tanpa kerak
. 1.084.698.281.250-
3
4
π(r
bumi tanpa kerak
)
3
. 1.084.698.281.250 -
3
4
(3,14)(6.375-24)
3
= 1.084.698.281.250 -1.072.493.633.693,52
=12.204.647.556,48 km
3
Berdasarkan perhitungan tersebut, dapat dihitung perkiraan
persentase volume kerak bumi terhadap volume bumi sebagai
berikut.
%
....
...,
,%
.100
1084 698 281 250
12 204 647 556 48
113
Volume bumi
Volume kerakbumi
km
km
3
3
#
.
=
Diketahui bahwa planet Mars memiliki diameter yang besarnya
setengah dari diameter dari planet bumi sedangkan kerak
Mars memiliki ketebalan kurang lebih 50 km. Tentukan berapa
persen volume Mars yang merupakan kerak Mars.
4.Pengaruh Perubahan Skala Bangun Ruang Sisi
Lengkung terhadap Volumenya
Sampai di sini kalian telah mengetahui bagaimana menentukan luas
permukaan dan volume bangun datar. Di Contoh 2.22, kalian akan
melihat bagaimana ukuran sebuah bangun ruang mempengaruhi luas
permukaan dan volumenya.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
121
Contoh
2.22
Perubahan Luas Permukaan dan Volume
Bangun Ruang
Sebuah bangun ruang dibentuk dari gabungan kerucut dan setengah
bola. Bentuk dan ukuran bangun ruang tersebut ditunjukkan pada
Gambar 2.74.
16 cm
3,5 cm
Gambar 2.74 Gabungan Kerucut dan Setengah Bola
Jika ukuran bangun ruang tersebut dibuat dua kali dari ukuran
semula, carilah perbandingan antara luas permukaan akhir dan
awalnya serta perbandingan volume akhir dan awalnya!
Alternatif Penyelesaian
Diketahui bahwa panjang jari-jari setengah bola dan alas kerucutnya
adalah r
1
=3,5 cm dan tinggi kerucut tersebut adalah t
1
=16 cm.
Setelah ukurannya menjadi dua kali lipat, maka panjang jari-jarinya
menjadi r
2
=2×3,5=7 cm dan tingginya menjadi t
2
=2×16=32 cm.
Dengan demikian, perbandingan luas permukaan akhir dan awalnya
dapat ditentukan seperti berikut.
Perbandingan luas
,, ,
Perb ganluas
andin
rr tr
rr tr
2
1
4
2
1
4
35 35 16
2
1
43
5
77 32
2
1
47
11
2
1
2
1
2
22
2
2
2
2
2
22 2
22 2
#
#
##
#
##
#
rr
rr
rr
rr
=
++
++
=
++
++
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
122
4
7
1073
4
98
7 107398
4
1
71073 98
7 107398
4
rr
rr
rr
rr
=
+
+
=
+
+
=
^h
Selanjutnya, perbandingan volume akhir dan awalnya dapat
ditentukan seperti berikut.
,,
,
rt r
rt r
3
1
2
1
3
4
3
1
2
1
3
4
3
1
35 16
2
1
3
4
35
3
1
732
2
1
3
4
7
3
28175
3
2254
8
Perbandingan Volume
1
2
11
3
2
2
22
3
23
23
## #
## #
rr
rr
rr
rr
r
r
=
+
+
=
+
+
==
a
a
a
a
k
k
k
k
Sebuah bola awalnya memiliki jari-jari yang panjangnya 10 cm.
Ukuran bola itu kemudian dibuat menjadi setengah kalinya
ukuran awalnya. Tentukan perbandingan luas permukaan
akhir dan awal serta perbandingan volume akhir dan awal bola
tersebut.
Seperti halnya pada Subbab C dan berdasarkan Contoh 2.22,
selidikilah apakah jika sebuah bangun ruang diubah ukurannya dengan
skala k, maka volumenya berubah dengan skala k
3
?
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
123
Latihan
F
Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung
Pemahaman Konsep
B Bagaimana cara menemukan volume sebuah tabung?
C Apa hubungan antara volume kerucut dan tabung yang memiliki
jari-jari dan tinggi yang sama?
D Bagaimana cara menemukan volume sebuah kerucut?
E Apa hubungan antara volume bola, kerucut, dan tabung?
F Bagaimana cara menemukan volume bola?
Penerapan Konsep
G Hitunglah volume dari tiap-tiap bangun pada Gambar 2.75.
a.
80 cm
150 cm
b.
7 m
2m
2m
2m
10 cm
c.
d.
10 inci
12 inci
8,4 m
e.
f.
6 dm
4 dm
Gambar 2.75 Macam Bangun Ruang
H Jika sebuah ring beton dibuat dengan ukuran seperti pada Gambar
2.76, berapa volume ring tersebut?
10 m
3 m
30 cm
30 cm
Gambar 2.76 Ring Beton
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
124
I Berapa liter gas bumi yang dapat ditampung dengan truk yang
memiliki tabung penyimpanan besar seperti Gambar 2.77 dengan
diameter 2 meter dan panjang 12 meter?
Gambar 2.77 Truk Pengangkut Gas Bumi
J Sebuah wadah eskrim berbentuk kerucut diisi penuh es-krim
seperti Gambar 2.78. Jika diameter wadah eskrim adalah 8 cm,
dan tingginya adalah 14 cm, tentukan volume eskrim yang dapat
diisikan pada wadah eskrim tersebut.
Gambar 2.78 Wadah Es Krim
K Sebuah bangunan tangki penyimpanan gas bumi berbentuk bola
yang dapat dilihat pada Gambar 2.79. Jika diameter tangki ini
adalah 20 meter, berapa liter gas yang dapat ditampung oleh satu
tangki?
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
125
Gambar 2.79 Bangunan Tangki Penyimpan Gas Bumi
L Tan memiliki usaha pengemasan garam beryodium. Mulanya, ada
satu kemasan yang berbentuk tabung dengan ukuran diameter 10
cm dan tinggi 10 cm.Akhirnya, Tan menginginkan kemasan lain
yang sedikit lebih kecil sehingga harga jualnya lebih terjangkau.
Dibuatlah kemasan tabung lain yang memiliki ukuran 0,75 dari
ukuran semula. Tentukan berapa volume garam pada kemasan
tabung besar dan tabung kecil. Tentukan pula perbandingan
volume antara keduanya.
Ringkasan
B Kita dapat membagi bangun ruang menjadi dua kategori yakni
bangun ruang sisi datar dan bangun ruang sisi lengkung.
C Jaring-jaring dapat dimaknai sebagai gambar dua dimensi yang
berupa gabungan dari beberapa bangun datar yang dapat disusun
menjadi sebuah bangun ruang.
D Luas permukaan sebuah bangun ruang dapat dipahami sebagai
total luas dari semua sisi bangun ruang tersebut yang dinyatakan
dalam persegi satuan (satuan persegi).
E Volume sebuah bangun ruang adalah suatu ukuran untuk seberapa
banyak ruang yang ditempati oleh bangun ruang tersebut,
dinyatakan dalam kubus satuan (satuan kubik).
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
126
F Konstanta π merupakan nilai perbandingan keliling suatu lingkaran
dengan panjang diameter lingkaran tersebut.
G Luas lingkaran yang memiliki jari-jari r adalah πr
2
.
H Luas juring yang memiliki sudut pusat θ dan luas lingkaran yang
membatasi juring tersebut sebesar Ladalah
L
360
i
.
I Luas permukaan kubus yang memiliki panjang rusuk s adalah 6×s
2
.
J Luas permukaan balok yang memiliki ukuran panjang p, lebar l,
dan tinggi tadalah 2×(p×l+p×t+l×t).
K Luas permukaan prisma yang memiliki luas alas L, keliling alas K,
dan tinggi tadalah 2×L+K×t.
L Luas permukaan tabung yang memiliki jari-jari alas r dan tinggi
tabung t adalah 2(πr
2
)+(2πrt).
M Luas permukaan kerucut yang memiliki jari-jari alas r dan tinggi t
adalah πr(r+
rt
22
+
).
N Luas permukaan bola yang memiliki jari-jari r adalah 4πr
2
.
O Volume kubus yang memiliki panjang rusuk s adalah s
3
.
P Volume balok yang memiliki ukuran anjang p, lebar l, dan tinggi t
adalah p×l×t.
Q Volume prisma yang memiliki luas alas A dan tinggi t adalah A×t.
R Volume limas yang memiliki luas alas A dan tinggi t adalah
.
At
3
1
##
S Volume tabung yang memiliki jari-jari r dan tinggi t adalah πr
2
t.
T Volume kerucut yang memiliki jari-jari r dan tinggi t adalah
.
rt
3
1
2
r
U Volume bola yang memiliki jari-jari r adalah
r
3
4
3
r
Uji Kompetensi
Uji Pemahaman
B Benar atau salah. Volume prisma tegak lebih kecil dari prisma
miring walaupun memiliki luas alas dan tinggi yang sama.
C Benar atau salah. Jika memiliki tinggi dan jari-jari yang sama, maka
volume tabung sama dengan volume bola ditambah dengan volume
kerucut.
D Benar atau salah. Jika memiliki tinggi dan alas yang sama, maka
perbandingan volume kerucut dan prisma adalah 1:3.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
127
E Apabila memiliki jari-jari dan tinggi yang sama, maka perbandingan
antara volume tabung dan volume kerucut adalah ….
Penerapan
F Sebuah bola diletakkan dalam sebuah kubus sehingga seluruh sisi
kubus menempel pada bola (Gambar 2.80). Tentukan perbandingan
antara volume bola dan volume kubus tersebut.
Gambar 2.80 Bola dalam Kubus
G Sebuah kerucut dan prisma persegi memiliki ukuran tinggi yang
sama. Selain itu, panjang sisi alas prisma dan diameter kerucut
memiliki ukuran yang sama.
ⓐ Tentukan perbandingan volume prisma dan kerucut tersebut
ⓑ Tentukan perbandingan luas prisma dan kerucut tersebut
H
Tentukan luas permukaan dan volume setiap bangun pada Gambar
2.81.
10 m
10 m
8 cm
10 cm
a.
b.
c.
9,6 m
d.
e.
4 cm
6 cm
f.
20 cm
60 cm
Gambar 2.81 Berbagai Macam Bangun Ruang
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
128
I Sebuah kolam dibuat dengan desain yang memperhatikan
kedalaman yang berbeda supaya bisa digunakan oleh anak-anak
sampai orang tua seperti ditunjukkan pada Gambar 2.82. Berapa
liter air yang dibutuhkan untuk mengisi penuh kolam tersebut?
2,5 m
20 cm
80 m
1,5
m
2,5 m
30 m
Gambar 2.82 Desain Kolam Renang
J Ka’bah merupakan sebuah bangunan suci umat muslim yang
berada di Saudi Arabia. Ka’bah memiliki tinggi sektar 13,1 m.
Alasnya berbentuk segi empat. Dimensi alasnya kurang lebih
13,16 m×11,20 m×12,84 m×11,53 m.
ⓐ Tentukan perkiraan volume ka’bah.
ⓑ Ka’bah biasanya ditutupi dengan kain hitam yang disebut
dengan kiswah. Jika ia menutupi keempat sisi tegak ka’bah,
tentukan perkiraan total luas kain ini.
K Tempat minum domba di sebuah peternakan di Amerika Serikat
didesain sehingga memiliki bentuk seperti tabung yang dipotong
seperti Gambar 2.83. Diameter tabung tersebut adalah 40 cm
sedangkan panjangnya 5 meter.
Gambar 2.83 Ilustrasi Tempat Minum di Peternakan
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
129
Tentukan volume air yang dapat ditampung oleh satu tempat
minum ini!
L Diketahui dua buah kerucut, A dan B, memiliki volume yang sama
(Gambar 2.84). Jika keliling alas kerucut B adalah 55 cm, tentukan
tinggi dari kerucut B.
Gambar 2.84 Kerucut dengan Volume Sama
M William seorang pengusaha muda yang sedang membuka usaha
kafe kopi. Di kafenya, disediakan dua ukuran kemasan kopi berbetuk
tabung, kecil dan besar. Kemasan besar 1,25 lebihnya dari kemasan
kecil. Jika diameter kemasan kecil adalah 7,5 cm dan tinggi 10 cm,
tentukan volume kedua kemasan serta perbandingannya.
Penalaran
N Kerucut terpancung adalah kerucut yang dipotong ujungnya seperti
tampak pada Gambar 2.85. Diketahui jari-jari kerucut terpancung
adalahr
1
, jari-jari kerucut kecil adalah r
2
, tinggi kerucut besar
adalah h
1
dan tinggi kerucut yang terpotong adalah h
2
.
r
2
r
1
h
2
h
1
Gambar 2.85 Kerucut Terpancung
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
130
ⓐ Tentukan rumus untuk mencari volume kerucut terpancung
dengan informasi yang telah diketahui. Petunjuk: gunakan
r
r
h
h
2
1
2
1
=
ⓑ Jika diketahui s adalah panjang sisi lengkung bukan tinggi
(lihat ilustrasi Gambar 2.86), tentukan luas permukaan kerucut
terpancung tersebut.
Gambar 2.86 Ilustrasi Luas Permukaan Kerucut Terpancung
O Sebuah perusahaan pembuat bola golf, sedang melakukan riset
untuk desain kemasan produk mereka. Dalam riset ini, mereka
akan menentukan wadah yang cocok untuk tiga buah bola golf
yang memiliki jari-jari 2,15 cm.
ⓐ Desain yang pertama adalah dengan menggunakan kotak balok
dengan panjang 12,9 cm, lebar 4,3 cm, dan tinggi 4,3 cm.
Gambar 2.87 Ilustrasi Desain Kemasan Bola Golf 1
ⓑ Desain yang kedua berbentuk prisma segitiga sama sisi dengan
panjang sisi 11,75 cm dan tinggi 4,3 cm.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
131
Gambar 2.88 Ilustrasi Desain Kemasan Bola Golf 2
Selanjutnya, jawablah beberapa pertanyaan berikut.
ⓐ Manakah desain yang memiliki ruang dalam kemasan yang
tidak terisi paling minimum? Jelaskan alasanmu dengan
pengetahuan yang sudah didapat dalam bab ini.
ⓑ Desain kemasanmu sendiri. Lakukan perhitungan berapa ruang
yang tidak terisi. Apakah desainmu lebih baik dari dua desain
yang telah diajukan oleh perusahaan tersebut?
Proyek
Desain Rumah Impian
Rumah adalah tempat dimana kita akan selalu kembali. Desain rumah
menjadi sesuatu yang krusial bagi banyak orang dari masa ke masa.
Bukan hanya secara teknis saja, kadang mendesain rumah juga
melibatkan aspek losos dan estetik.
Pada proyek kali ini, kalian akan mempelajari desain rumah adat
dari pelbagai daerah yang kalian inginkan. Kalian akan meninjaunya
dari segi geometris, losos, dan historis. Berdasarkan pengetahuan
ini, kalian akan diajak untuk merancang rumah yang kalian impikan.
Pertama, buatlah kajian pustaka tentang rumah yang ada di
daerahmu atau daerah yang kalian inginkan. Sebagai contoh, kalian
dapat mengkaji sebuah rumah adat di Nusa Tenggara Timur. Rumah ini
disebut dengan rumah Mbaru Niang yang berada di atas pegunungan
tepatnya di desa Waerebo.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
132
Kedua, dengan bantuan bimbingan dari guru kalian, coba desain
rumah yang memperhatikan kearifan lokal Indonesia yang berdasarkan
geometri, loso, dan histori tapi tanpa menghilangkan aspek modern.
Buatlah rancangan desainmu dalam sebuah portofolio.
Ketiga, untuk tujuan publikasi, kalian dapat menggunakan beberapa
platform yang kalian suka dan bisa. Misalnya, kalian dapat membuat
video yang menjelaskan apa saja yang telah kalian pelajari dari rumah
adat yang kalian kaji, kemudian kalian jelaskan pula bagaimana hal ini
menginspirasi rancangan desain rumah impian kalian. Alternatifnya,
kalian bisa membuat postingan di Facebook, Instagram, Twitter,
maupun platform podcast seperti Anchor.
Pengayaan
B Aplikasi GeoGebra Augmented Reality yang dapat
diunduh di App Storedengan memindai kode QR
berikut. Dengan menggunakan aplikasi ini, kalian
dapat mengeksplorasi matematika melalui
teknologi Augmented Reality. Kalian dapat
mengeksplorasi berbagai bentuk tiga dimensi yang diproyeksikan
di layar gawai kalian.
C Aplikasi lain yang juga didukung dengan
kemampuan Augmented Reality, adalah GeoGebra
3D Graphing Calculator. Kalian dapat memasang
aplikasi ini melalui Google Play Store dengan
memindai kode QR berikut.
D Aktivitas interaktif yang telah kami desain
di Desmos ini dapat digunakan untuk mengkesplorasi materi
lingkaran. Lebih spesiknya, pada aktivitas tersebut, kalian dapat
menyelidiki hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling.
perpuskita/8/2024
Bab II - Bangun Ruang
133
Refleksi
Ingat-ingat kembali pengalaman belajar kalian di Bab 2 Bangun
Ruang. Setelah itu, reeksikan pengalaman belajarmu tersebut dengan
menanggapi pertanyaan atau pernyataan panduan berikut.
B Sejauh mana manfaat yang dapat kalian rasakan setelah
berdinamikadi Bab 2Bangun Ruang? Ceritakan manfaatyang
dapat kalian rasakan.
C Strategi-strategi belajar seperti apa yang kalian gunakan untuk
belajardi Bab 2BangunRuang? Apakahsemuastrategisudah
membantu kalian untuk belajar secara optimal?
D Sekarang, nilailah pembelajaran kalian sendiri di Bab 2 Bangun
Ruang ini dengan mencentang kolom-kolom yang sesuai pada tabel
berikut.
No. TARGET PEMBELAJARAN
Subbab A Klasikasi Bangun Ruang dan Jaring-Jaring
1.
Saya dapat memahami klasikasi dan jenis-
jenis bangun ruang
2.
Saya dapat menggambarkan jaring-jaring
bangun ruang
Subbab B Luas Permukaan Ruang Sisi Datar
3
Saya dapat menentukan luas permukaan
kubus
4.
Saya dapat menentukan luas permukaan
balok
5.
Saya dapat menentukan luas permukaan
prisma
6
Saya dapat menentukan luas permukaan
limas
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
134
No. TARGET PEMBELAJARAN
Subbab C Volume Bangun Ruang Sisi Datar
7 Saya dapat menentukan volume kubus
8 Saya dapat menentukan volume balok
9
Saya dapat menentukan volumeluas
permukaan prisma
10.
Saya dapat menentukan volumeluas
permukaan limas
Subbab D Lingkaran
11 Saya dapat menentukan luas lingkaran
12 Saya dapat menentukan luas juring
Subbab E Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Lengkung
13.
Saya dapat menentukan luas permukaan
tabung
14.
Saya dapat menentukan luas permukaan
kerucut
15.
Saya dapat menentukan luas permukaan
bola
Subbab F Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung
16. Saya dapat menentukan volume tabung
17. Saya dapat menentukan volume kerucut
18. Saya dapat menentukan volume bola
perpuskita/8/2024
Bab III
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, kalian diharapkan mampu mendeskripsikan
transformasi geometri terhadap bidang koordinat dan menerapkannya dalam
permasalahan nyata. Selain itu, kalian juga diharapkan mampu menjelaskan
sifat-sifat kekongruenan bangun datar berdasarkan transformasi geometri.
Transformasi
Geometri
KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI
REPUBLIK INDONESIA, 2022
Matematika
untuk SMP/MTs Kelas IX
Penulis:Yosep Dwi Kristanto, dkk
ISBN:978-602-427-918-9 (jil.3)
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
136
Ayo Bersiap Belajar!
Banyak konsep geometri telah
ditemukan oleh matematikawan, salah
satunya mengenai konsep simetris.
Hampir semua tumbuhan, hewan,
atau bahkan manusia memiliki bentuk
yang simetri. Bentuk simetri tersebut
kemudian banyak diadopsi pada bidang
seni, arsitektur, dan teknologi.
Pada sebuah karya seni, kalian dapat
menjumpai bentuk-bentuk simetri pada
desain batik yang merupakan salah
satu warisan budaya Indonesia. Sebagai
contoh Batik Kawung dari Yogyakarta (Gambar 3.1). Selain batik, kita
juga memiliki warisan budaya lain, salah satunya adalah rumah adat.
Banyak arsitektur rumah adat yang menerapkan konsep simetri. Salah
satunya adalah rumah adat Minangkabau di Padang yang akan kita
bahas pada subbab kekongruenan. Motif batik ataupun bangunan
rumah adat yang terlihat simetris tersebut pada umumnya merupakan
hasil perubahan bentuk-bentuk geometri sederhana. Perubahan
tersebut pada matematika disebut sebagai transformasi geometri.
Di dalam bab ini, kalian akan mempelajari berbagai macam
transformasi geometri pada bidang koordinat, diantaranya translasi
(pergeseran), reeksi (pencerminan) terhadap titik dan garis,rotasi
(perputaran), dan dilatasi. Selain transformasi, kita juga akan
mempelajari tentang bangun kongruen yang dipandang sebagai hasil
dari transformasi geometri.
A. Translasi (Pergeseran)
Pernahkah kalian memperhatikan pergerakan suatu benda di sekitar
kalian? Misalnya pergerakan motor di jalan raya, pergerakan seseorang
yang sedang berjalan, atau pergerakan pion pada permainan catur.
Gambar 3.2 memperlihatkan seorang siswa yang sedang menggeser
bangku. Jika gerakan pada bangku tersebut kita amati, terlihat seluruh
Gambar 3.1 Batik Kawung
Sumber: Afrida Icha Lavira/Duta Museum
DIY (2022)
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
137
bagian pada bangku bergeser dengan
ukuran jarak dan arah tertentu. Aktivitas
dalam menggeser bangku tersebut
merupakan salah satu contoh translasi
(pergeseran).
Untuk memahami lebih dalam
mengenai translasi, ayo lakukan aktivitas
eksplorasi berikut.
Eksplorasi
3.1
Translasi Bangun
Datar
Untuk melakukan aktivitas ekplorasi ini, terlebih dahulu kalian
siapkan kertas berpetak dan gunting. Setelah siap, lakukan langkah-
langkah berikut:
Jiplak layang-layang
ABCD
pada kertas kemudian gunting.
Letakkan potongan tersebut tepat di atas layang-layang
.ABCD
Selanjutnya geser potongan layang-layang mengikuti ruas garis
berarah
)(AE AE
.
.
Gambar 3.3 Translasi layang-layang A ke B
B Apakah ada bagian pada layang-layang
EFGH
yang tidak
tertutup oleh potongan layang-layang
ABCD
?
C Selain
,AE
gambarkan semua ruas garis berarah yang mewakili
pergeseran potongan layang-layang
ABCD
ke layang-layang
!EFGH
Gambar 3.2 Penerapan
Translasi
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
138
D Bagaimana hubungan sisi
AB
pada layang-layang
ABCD
dan
sisi EF pada layang-layang
EFGH
? Bagaimana dengan sisi-sisi
yang lainnya?
E Bagaimana bentuk dan ukuran layang-layang
ABCD
dan
EFGH
?
F Gambarkan layang-layang
PQRS
yang pergeserannya diwakili
oleh
AP
.
Gambar 3.4 Translasi layang-layang A
G Diberikan 2 buah bangun datar seperti terlihat pada Gambar
3.5.
Gambar 3.5 Bangun Datar PQRS dan TUVW
Apakah bangun datar TUVWmerupakan hasil dari translasi
bangun datar PQRS? Jelaskan.
Kalian juga dapat melakukan aktivitas yang sama dengan Eksplorasi
3.1 secara digital melalui Aktivitas Interaktif berikut.
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
139
Aktivitas Interaktif
Untuk membantu pemahaman kalian tentang
translasi, ayo kunjungi tautan:
http://ringkas.kemdikbud.go.id/translasi
atau kalian juga dapat pindai kode QR nya.
Berdasarkan Eksplorasi 3.1, Gambar 3.3 menunjukkan layang-
layang
ABCD
yang terletak pada bidang ditranslasi (digeser) sampai
menempati layang-layang
EFGH
. Dengan demikian, semua titik yang
terdapat pada layang-layang
ABCD
ditranslasi hingga menempati
layang-layang
EFGH
dengan jarak dan arah tertentu. Perpindahan
tersebut diwakili oleh ruas garis berarah
AE
. Panjang
AE
mewakili
besar perpindahan sedangkan arah panahnya menunjukkan arah
perpindahan.
Definisi
3.1
Translasi (Pergeseran)
Translasi (pergeseran) adalah perubahan posisi suatu objek (titik,
garis, atau bangun) dengan jarak dan arah tertentu.
Suatu translasi dapat diwakili oleh sebuah garis berarah.
Selain menggunakan ruas
garis berarah, kita juga dapat
menyatakan suatu translasi sebagai
pasangan bilangan dalam bentuk
b
a
bl
dengan nilai amenyatakan
komponen mendatar (horizontal)
dan nilai bmenyatakan komponen
tegak (vertikal).
Gambar 3.6 Ilustrasi translasi titik A ke
Titik B
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
140
Perhatikan Gambar 3.6.
AB
mewakili translasi
2
4
bl
, artinya
translasi tersebut memindahkan titik pada bidang dengan tahapan
berikut:
4 satuan ke kanan (positif), 2 satuan ke atas (positif).
4 dan 2 adalah komponen translasi dengan 4 sebagai komponen
pertama dan 2 sebagai komponen kedua.
Apabila translasinya kita ubah arah dari titik Bke titik A,
nilai translasinya menjadi
2
4
-
-
bl
yang artinya translasi tersebut
memindahkan titik dengan tahapan 4 satuan ke kiri (negatif) kemudian
2 satuan ke bawah (negatif).
Berdasarkan informasi tersebut, dapat disimpulkan bahwa translasi
b
a
bl
memindahkan titik dengan aturan berikut:
a. asatuan ke kanan jika a>0atauasatuan ke kiri jika a<0.
b. bsatuan ke atas jika b>0 atau bsatuan ke bawah jika b<0.
Selanjutnya, pahamilah Sifat 3.1 untuk menentukan koordinat titik
hasil translasi
b
a
bl
terhadap titik A(x, y).
Sifat
3.1
Translasi sebuah Titik Koordinat
Bayangan titik A(x, y) oleh translasi
b
a
bl
adalah A'(x+a, y+b)
Gambar 3.7 Ilustrasi Translasi Titik A(x, y) oleh
b
a
bl
Untuk memahami translasi pada bidang koordinat, ayo cermati
contoh berikut!
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
141
Contoh
3.1
Mentranslasikan sebuah Bangun Datar
Sebuah persegi ABCDdengan A(1,1), B(3,1), C(3,3), dan D(1,3)
ditranslasikan sejauh 4 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas.
a. Nyatakan kasus di atas dalam bentuk translasi
b
a
bl
!
b. Tentukan bayangan hasil translasi persegi ABCD!
c.
Gambarkan persegi ABCDbeserta bayangannya pada bidang
koordinat!
Alternatif Penyelesaian
a. Translasi sejauh 4 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas dapat
dinyatakan dalam bentuk
2
4
-
bl
.
b. Cara memperoleh hasil translasi persegi ABCDoleh
2
4
-
bl
adalah dengan menentukan hasil translasi titik-titik sudut dari
persegi ABCD.
Titik Awal Translasi Titik Bayangan
A(1,1)
2
4
-
bl
A'(1+(-4),1+2)=A'(-3,3)
B(3,1) B'(3+(-4),1+2)=B'(-1,3)
C(3,3) C'(3+(-4),3+2)=C'(-1,5)
D(1,3) D'(1+(-4),3+2)=D'(-3,5)
c.
Gambar 3.8 Translasi Persegi ABCD
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
142
A(-1,2), B(2,-1), dan C(-2,-2) adalah koordinat titik-titik
sudut ΔABC. Tentukan bayangan ΔABC oleh translasi
1
5
-
bl
!
Gambarkan ΔABC beserta bayangannya!
Setelah kalian memahami bagaimana langkah-langkah dalam
mentranslasikan bangun datar pada bidang koordinat, selanjutnya
cermati Contoh 3.2 untuk melihat bagaimana cara mentranslasikan
sebuah persamaan garis lurus.
Contoh
3.2
Mentranslasikan sebuah Garis Lurus
Tentukan hasil translasi garis lurus 2x+3y=6 oleh
4
3
-
bl
!
Alternatif Penyelesaian
Untuk memperoleh hasil translasi garis lurus 2x+3y=6 oleh
,
4
3
-
bl
kita dapat mengambil terlebih dahulu dua buah titik pada garis
tersebut, misalkan titik potong 2x+3y=6 pada sumbu x dan
sumbu y.
Tabel 3.2 Dua Titik Pada 2x+3y=6
Selanjutnya, dicari hasil translasi
4
3
-
bl
terhadap titik (3,0) dan titik
(0,2), yaitu:
Ayo Mencoba
2x+3y=6
x
3 0
y
0 2
(x, y) (3,0) (0,2)
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
143
Tabel 3.3 Translasi Titik (3,0) dan (0,2) oleh
4
3
-
bl
Titik Awal Translasi Bayangan
(3,0)
4
3
-
bl
(6,-4)
(0,2) (3,-2)
Dari titik bayangan tersebut, dibuat persamaan garis lurusnya, yaitu
y
x
y
x
yx
yx
xy
24
4
36
6
2
4
3
6
34
26
3122 12
230
---
--
=
-
-
+
=
-
-
-+
=-
-- =-
+=
^
^
^
^
^
h
h
h
hh
–1–1
11
22
33
44
55
66
–4–4
–3–3
–2–2
–1–1
11
22
00
Gambar 3.9 Translasi Persamaan Garis 2x+3y=6
Jadi, hasil translasi
4
3
-
bl
pada garis 2x+3y=6 adalah garis
2x+3y=0.
Tentukan hasil translasi garis lurus 3x-2y=12 oleh
3
4
-
bl
!
Latihan
A
Translasi
Pemahaman Konsep
B Tentukan apakah gambar yang berwarna biru merupakan hasil
translasi gambar berwarna merah. Berikan alasanmu.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
144
a. d.
b. e.
c. f.
Gambar 3.10 Pasangan Bangun Datar
C Benar/Salah. Translasi sejauh 4
satuan ke kanan dari 3 satuan ke
bawah dapat dinotasikan sebagai
4
3
eo
.
D Benar/Salah. Bayangan titik A(3,2)
yang ditranslasikan oleh
3
5
-
eo
adalah A'(0,7).
E Translasikan segi empat EFGH
pada Gambar 3.11 sejauh 3 satuan
ke kanan dan 2 satuan ke bawah.
Penerapan Konsep
F Bayangan titik A(-2,5) oleh
4
3
-
eo
adalah …
a. A'(2,2) c. A'(-2,8)
b.
A'(-6,8) d. A'(-6,-8)
Gambar 3.11 Translasi segi empat
EFGH
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
145
G Diketahui titik A(3,-2) dan B(9,11). Arah translasi titik A ke titik
B adalah …
a.
6
13
eo
c.
13
6
-
eo
b.
6
13
-
eo
d.
13
6
-
eo
H Sebuah layang-layang KLMN memiliki koordinat K(8,6), L(10,8),
M(12,6) dan N(10,2). Jika layang-layang tersebut ditranslasikan
oleh
5
1
-
eo
, tentukan koordinat bayangannya dan gambarkan
bayangannya pada bidang koordinat!
I Segitiga PQR ditranslasikan sehingga menghasilkan bayangan
STU. Diketahui P(-1,2), Q(3,-2), S(2,-3), dan U(3,4), tentukan
koordinat Tdan R. Tentukan pula translasinya.
J Diketahui segitiga ABC dengan A(0,-3), B(2,2) dan C(4,5)
ditranslasikan sehingga bayangannya adalah A'(-2,1). Tentukan
translasinya serta koordinat titik B' dan C'.
K Seorang polisi yang berada di titik
Q hendak menangkap seorang
pencuri yang bersembunyi di
komplek perumahan. Berdasarkan
pemantauan, diketahui bahwa
pencuri bersembunyi di titik P
dan hendak kabur menuju titik R
seperti pada Gambar 3.12.
a. Tentukan pasangan bilangan
sebagai translasi perpindahan
pencuri dari titik P menuju titik
R.
b.Jika polisi tersebut mengguna-
kan translasi yang sama dengan translasi kaburnya pencuri,
apakah polisi dapat menangkap pencuri tersebut?
c. Tentukan pasangan bilangan sebagai translasi yang harus
dilakukan polisi tersebut agar dapat menangkap pencuri itu.
Gambar 3.12 Titik Koordinat
Polisi dan Pencuri
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
146
B. Refleksi (Pencerminan)
Kalian tentunya pernah bercermin. Saat
kalian amati bayangan yang ada pada
cermin, kalian akan dapati bayangan
tersebut memiliki orientasi yang
berbeda dengan objek nyatanya. Untuk
membuktikannya, cobalah kalian berdiri
di depan cermin sambil mengangkat
tangan kanan. Apa yang terlihat pada
bayangan? Tangan mana yang terangkat?
Pada bayangan akan terlihat tangan kiri
yang terangkat. Adakah sifat lainnya
yang kalian ketahui?
Pada subbab ini, dengan
menggunakan sifat-sifat pada reeksi
(pencerminan), kalian akan mempelajari
bagaimana cara untuk mereeksikan
suatu objek (titik, garis, atau bangun datar) pada bidang koordinat.
Namun, untuk memahami pengertian reeksi, kalian perlu mengingat
kembali pengertian dari garis sumbu. Apa itu garis sumbu? Ayo
perhatikan Gambar 3.14
!
Pada Gambar 3.14, dapat kita amati
bahwa garis sumbu (l) merupakan garis
yang memotong tegak lurus suatu ruas garis
(AB) menjadi dua bagian yang sama panjang.
Untuk lebih memahami mengenai
garis sumbu dan sifat-sifat reeksi, cobalah
kerjakan Eksplorasi 3.2!
Eksplorasi
3.2
Menentukan Posisi Titik pada Lipatan
Kertas
Siapkan selembar kertas, kemudian lipat menjadi 2 bagian sama
besar. Lukiskan garis pada lipatan dengan pensil/pulpen seperti
terlihat di langkah 1,2, dan 3 pada Gambar 3.15.
Gambar 3.13 Aktivitas Bercermin
Gambar 3.14 Garis Sumbu
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
147
Gambar 3.15 Aktivitas Melipat Kertas
Dalam keadaan terlipat, lubangi kertas tersebut dengan
menggunakan jarum seperti pada langkah (4), kemudian buka
lipatannya. Tandai kedua lubang tersebut dengan menggunakan
pensil/pulpen, misalkan Adan B. Selanjutnya gambarkan ruas garis
yang menghubungkan kedua lubang tersebut.
B Menurut kalian, bagaimana hubungan antara ruas garis AB
dengan garis lipatan?
C Pada ruas garis AB, di mana letak titik potong garis lipatan
dengan ruas garis ABtersebut? Ukurlah jarak masing-masing
titik Adan titik Bterhadap garis lipatan!
D Coba amati 4 (empat) Gambar 3.16. Jika l merupakan garis lipatan
kertas dan titik A, Bmerupakan posisi lubang, menurut kalian,
manakah gambar yang menunjukkan kondisi yang benar?
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
148
Gambar 3.16 Hubungan Titik A dan Titik B Terhadap Garis l.
Dari Eksplorasi 3.2, kalian secara tidak langsung telah mempelajari
sifat-sifat pada pencerminan melalui aktivitas melipat kertas. Kalian
dapat menyatakan garis lipatan lsebagai cermin serta memandang
titik Asebagai titik asal dan titik Bsebagai bayangannya.
Untuk memahami lebih jauh mengenai reeksi, ayo pahami Denisi
3.2 berikut.
Definisi
3.2
Reeksi Titik Terhadap Garis
• Titik A direeksikan terhadap garis l menghasilkan bayangan
B maka garis l tersebut tegak lurus terhadap ruas garis AB dan
membagi ruas garis tersebut menjadi dua bagian yang sama
panjang.
• Untuk selanjutnya garis l disebut garis reeksi.
Cermati Gambar 3.17. Gambar 3.17(i) menunjukkan reeksi titik
A terhadap sebuah cermin dan titik A' merupakan bayangannya.
Sedangkan Gambar 3.17(ii) menunjukkan bentuk abstrak Gambar
3.17(i) dengan garis l merupakan garis reeksi.
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
149
Gambar 3.17 Ilustrasi Reeksi Titik Terhadap Garis (Cermin)
Berdasarkan ilustrasi Gambar 3.17 dan aktivitas pada Eksplorasi 3.2,
diperoleh sifat-sifat pada reeksi titik terhadap garis l sebagai berikut.
Sifat
3.2
Sifat Reeksi Titik Terhadap Garis
1. Jarak titik asal A terhadap garis reeksi sama dengan
jarak bayangan A' terhadap garis reeksi .
2. Garis yang menghubungkan titik asal dan bayangan, yaitu
AA', tegak lurus terhadap g
aris reeksi.
Selanjutnya, bagaimana jika objek yang direeksikan berupa ruas
garis? Perhatikan Gambar 3.18.
Gambar 3.18 Reeksi Garis
Ruas garis AB pada Gambar 3.18(i) akan direeksikan terhadap
garis l. Bayangan ruas garis AB pada reeksi tersebut dapat ditentukan
dengan langkah-langkah sebagai berikut.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
150
B Tentukan bayangan titik A, yaitu A', dan bayangan titik B, yaitu
B' dengan menerapkan Sifat 3.2 seperti yang ditunjukkan pada
Gambar 3.18 (ii).
C Hubungkan titik A' dengan titik B' seperti terlihat pada Gambar
3.18(iii).
Berdasarkan hasil reeksi pada Gambar 3.19, diperoleh sifat-sifat
berikut.
Sifat
3.3
Sifat Reeksi Ruas Garis
1. Panjang ruas garis ABsama dengan panjang A'B'.
2. Ruas garis AA'sejajar dengan garis BB'.
Kalian sudah mempelajari bagaimana mereeksikan sebuah objek
terhadap cermin yang diwakilkan oleh sebuah garis. Bagaimana jika
cermin tersebut diwakilkan oleh sebuah titik? Coba perhatikan gambar
berikut.
Gambar 3.19 Kamera Pinhole
Sumber: Carlo.benini/wikimedia.org
Gambar 3.19 menunjukkan bentuk konkret reeksi terhadap
titik. Celah pada kamera pinholedapat dipandang sebagai sebuah
cermin. Proses yang terjadi pada kamera pinhole Gambar 3.19 dapat
diilustrasikan pada Gambar 3.20.
A P A'
Gambar 3.20 Reeksi Titik A terhadap titik P
Titik P sebagai perwakilan cermin (titik reeksi) akan membagi
ruas garis AA'sama panjang. Setelah kalian memahami pengertian
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
151
reeksi, selanjutnya kalian akan mempelajari bagaimana cara untuk
menentukan koordinat bayangan reeksi terhadap sumbu x, sumbu y,
titik asal O(0,0), y=x, y=-x, x=kdan y=h.
1. Refleksi Terhadap Sumbu x, Sumbu y, dan Titik Asal
(0,0)
Untuk lebih memahami mengenai reeksi terhadap sumbu x, sumbu
y, dan titik O(0,0), cobalah kalian kerjakan aktivitas Eksplorasi 3.3
terlebih dahulu.
Eksplorasi
3.3
Refleksi terhadap Sumbu x, Sumbu y, dan
Titik Asal (0,0)
Salsa diminta oleh gurunya untuk mereeksikan segitiga ABC
terhadap sumbu x lalu bayangan yang dihasilkan direeksikan lagi
terhadap sumbu y. Titik A telah direeksikan seperti terlihat pada
Gambar 3.21.
Gambar 3.21 Reeksi Sumbu x dan Sumbu y
B Salsa mengatakan titik A' merupakan bayangan dari titik A
terhadap sumbu xdan titik A''(dibaca: dobel aksen) merupakan
bayangan dari titik A'terhadap sumbu y. Berdasarkan langkah-
langkah dalam menggambar hasil reeksi, periksa apakah
kedua reeksi yang diperoleh Salsa sudah tepat? Jika ada yang
salah, reeksi mana yang menurut kalian salah? Dan bagaimana
kalian menjelaskannya kepada Salsa?
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
152
C Bantulah Salsa untuk melengkapi bayangan A'B'C' dan A"B"C"
dengan benar! Kemudian tuliskan tiap-tiap koordinatnya pada
Tabel 3.4.
Tabel 3.4 Reeksi Titik A,B, dan C terhadap Sumbu x dan Sumbu y
Titik Awal Reeksi sumbu x Reeksi sumbu y
A(2,1) A'(...,...) A''(...,...)
B(5,2) ... ...
C(3,4) ... ...
D Berdasarkan pengalaman yang telah kalian lakukan, apa yang
dapatkalian simpulkan dari reeksi terhadapsumbux dan
sumbu y? Dapatkah kalian tuliskan hasil reeksi terhadap
sumbu xdan sumbu yuntuk sebarang titik A(x, y)?
E Buatlah garis yang menghubungkan titik A ke A", apa yang
dapat kalian simpulkan? Jika belum dapat menyimpulkan, coba
hubungkan titik B ke B"dan C ke C"kemudian coba simpulkan
kembali.
F Berdasarkan pertanyaan no (4), reeksi segitiga ABC ke segitiga
A"B"C" dapat disebut sebagai reeksi terhadap titik pusat
(0,0). Dapatkah kalian menuliskan cara mereeksikannya? Dan
tuliskan pula hasil reeksinya untuk sebarang titik A(x ,y)!
Berdasarkan kegiatan Eksplorasi 3.3 kalian telah diperkenalkan
3jenisreeksisekaligus,yaitureeksiterhadapsumbux,reeksi
terhadap sumbu y, dan reeksi terhadap titik pusat (0,0). Untuk lebih
memahami ketiga reeksi tersebut pada bidang koordinat, perhatikan
sifat-sifat berikut ini.
Sifat
3.4
Reeksi terhadap Sumbu x, Sumbu y, dan Titik
Asal O(0,0)
a. Bayangan titik P(x, y) yang direeksikan terhadap sumbu x
adalah P'(x,-y).
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
153
b. Bayangan titik P(x, y) yang direeksikan terhadap sumbu y
adalah P'(-x, y).
c. Bayangan titik P(x, y) yang direeksikan terhadap titik pusat
O(0,0) adalah P'(-x,-y).
Kegiatan Eksplorasi 3.3 secara digital dapat kalian lakukan pada
aktivitas interaktif berikut.
Aktivitas Interaktif
Untuk lebih memahami mengenai reeksi terhadap
sumbu x, sumbu y, dan titik asal (0,0), pindai kode
QR atau kunjungi tautan berikut:
http://ringkas.kemdikbud.go.id/reeksi1
Sekarang, perhatikan Contoh 3.3 berikut untuk mempelajari
bagaimana langkah cara mereeksikan sebuah bangun datar terhadap
sumbu y!
Contoh
3.3
Merefleksikan sebuah Bangun Datar
Diketahui ΔABC dengan A(-1,1), B(-5,3) dan C(-3,-2).
Tentukan bayangan ΔABC yang direeksikan terhadap sumbu y!
Gambarkan segitiga tersebut beserta bayangannya pada bidang
koordinat!
Alternatif Penyelesaian
Berdasarkan Sifat 3.4.b, bayangan titik A(-1,1) adalah A'(1,1),
bayangan titik B(-5,3) adalah B'(5,3), dan bayangan titik
C(-3,-2) adalah C'(3,-2) dan diilustrasikan pada Gambar 3.22.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
154
1
2
3
-1
-2
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
5
-5
Gambar 3.22 Ilustrasi Reeksi Bangun Datar terhadap Sumbu y
Diketahui ΔABC dengan A(-2,1), B(-6,4) dan C(-4,-3).
Tentukan bayangan dari ΔABC yang direeksikan terhadap
sumbu y! Gambarkan segitiga tersebut beserta bayangannya
pada bidang koordinat!
Setelah kalian mempelajari langkah-langkah dalam mereeksikan
bangun datar terhadap sumbu y, coba pelajari Contoh 3.4 untuk melihat
langkah-langkah dalam mereeksikan garis terhadap titik pusat O(0,0).
Contoh
3.4
Merefleksikan Sebuah Ruas Garis
Tentukan bayangan ruas garis PQdengan P(-3,1) dan Q(3,3) yang
direeksikan terhadap titik pusat O(0,0)! Gambarkan ruas garis
tersebut beserta bayangannya pada bidang koordinat!
Alternatif Penyelesaian
Berdasarkan Sifat 3.4.c, bayangan titik P(-3,1) adalah P'(3,-1)
dan bayangan titik Q(3,3)adalah Q'(-3,-3). Bayangan ruas garis
PQ terlihat seperti pada Gambar 3.23.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
155
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
-1
-2
-3
0
Gambar 3.23 Ilustrasi Reeksi Sebuah Ruas Garis terhadap Titik Pusat O(0,0)
Tentukan bayangan ruas garis ABdengan A(-2,3) dan
B(-1,-3) yang direeksikan terhadap titik pusat O(0,0)!
Gambarkan ruas garis tersebut beserta bayangannya pada
bidang koordinat!
Pada Contoh 3.5 kalian diperlihatkan langkah-langkah dalam
mereeksikan persamaan garis terhadap sumbu x. Ayo pelajari!
Contoh
3.5
Refleksi Persamaan Garis
Tentukan bayangan dari garis y=2x+5 yang direeksikan terhadap
sumbu x!
Alternatif Penyelesaian
Untukmemperolehhasilreeksisumbux dari garis y=2x+5,
terlebih dahulu kita ambil dua buah titik yang melalui garis tersebut.
Tabel 3.5 Dua Titik pada y=2x+5
x
1 -1
y
7 3
(x,y)
(1,7) (-1,3)
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
156
Berdasarkan Sifat 3.4.a, hasil reeksi titik (1,7) dan titik (-1,3)
terhadap sumbu xadalah (1,-7) dan (-1,-3). Dengan meng-
gunakan sifat persamaan garis lurus diperoleh:
y
x
y
x
yx
yx
xy
xy
37
7
11
1
4
7
2
1
27
41
2144 4
4214 4
42 10
---
--
=
--
-
+
=
-
-
-+
=-
-- =-
-- =-
+=-
^
^
^
^
h
h
hh
Jadi, hasil reeksipersamaan garisy=2x+5 terhadap sumbu x
adalah 4x+2y=-10.
Tentukan hasil reeksi dari persamaan garis y=3x-4 terhadap
sumbu x!
2. Refleksi terhadap Garis y=x dan Garis y=-x
Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari bagaimana langkah-
langkah dalam mereeksikan titik, garis, atau bangun datar terhadap
sumbu x, sumbu y, dan titik pusat O(0,0). Pada topik ini, kalian akan
mempelajari reeksi terhadap garis y=x dan garis y=-x. Untuk
memahaminya, lakukan aktivitas pada Eksplorasi 3.4.
Eksplorasi
3.4
Refleksi terhadap Garis y=x dan Garis
y=-x
Diberikan titik-titik pada bidang koordinat dengan garis y=x dan
y=-x sebagai garis reeksi.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
157
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
5
Gambar 3.24 Ilustrasi pencerminan terhadap garis y=x
B Berdasarkan sifat cermin datar, buktikan bahwa titik A'(1,4)
merupakan bayangan reeksi titik A(4,1) terhadap garis y=x.
C Berdasarkan sifat cermin datar, buktikan bahwa titik A''(-4,-1)
merupakan bayangan reeksi titik A'(1,4) terhadap garis y=-x.
D Lengkapi tabel berikut.
Tabel 3.6 Reeksi Titik A,B, dan C Terhadap Garis y=x dan
y=-x
Titik Asal
Bayangan Reeksi
Garis y=x
Bayangan
Reeksi
Garis y=-x
A(4,1) A'(4,1)
...
B(-2,5)
... ...
C(3,-1)
... ...
Berdasarkan pengalaman di atas, apa yang dapat kalian simpulkan
untuk sebarang titik di koordinat, atau dengan kata lain, apa
bayangan dari sebarang titik P(x,y) yang direeksikan terdapat
garisy=x? Dan apa bayangan dari sebarang titik Q(x,y) yang
direeksikan terhadap garis y=-x?
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
158
Berdasarkan Eksplorasi 3.4, diperoleh sifat-sifat berikut.
Sifat
3.5
Reeksi terhadap Garis y=x dan y=-x
a. Bayangan dari titik P(x,y) yang direeksikan terhadap garis
y=x adalah P'(y,x).
b. Bayangan dari titik P(x,y) yang direeksikan terhadap garis
y=-x adalah P(-y,-x).
Aktivitas Eksplorasi 3.4 secara digital dapat kalian lakukan pada
aktivitas interaktif berikut.
Aktivitas Interaktif
Untuk lebih memahami mengenai reeksi
terhadap garis y=xdan garis y=-xayo pindai
kode QR berikut atau kunjungi tautan berikut:
https://www.desmos.com/calculator/
bpb3obkj?lang=id
Untuklebihmemahamicaramereeksikantitikterhadapgaris
y=x dan y=-x, ayo perhatikan Contoh 3.6 berikut!
Contoh
3.6
Merefleksikan sebuah Titik Koordinat
Diberikan titik T(3,-4) dan U(-4,-3).
a. Tentukan bayangan hasil reeksi titik T terhadap garis y=x.
b. Tentukan bayangan hasil reeksi titik U terhadap garis y=-x.
Alternatif Penyelesaian
a. Berdasarkan Sifat 3.5.a, bayangan titik T(3,-4) yang
direeksikan terhadap garis y=x adalah T'(-4,3).
b. Berdasarkan Sifat 3.5.b, bayangan titik U(-4,-3) yang
direeksikan terhadap garis y=-x adalah U'(3,4).
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
159
TentukanbayanganhasilreeksititikV(2, 5) dan W(-3,7)
terhadapa garis y=xdan y=-x.
3. Refleksi Terhadap Garis x=k dan Garis y=h
Pada topik ini, kalian akan mempelajari langkah-langkah dalam
mereeksikan suatu objek terhadap garis x=k. Untuk itu, ayo lakukan
aktivitas Eksplorasi 3.5.
Eksplorasi
3.5
Refleksi terhadap Garis x=k
Perhatikan gambar-gambar berikut.
1
2
3
4
-1
-2
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-5
5
y
A’ A
B’
CC’
x=0
1
2
3
4
-1
-2
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-5
5
Gambar 3.25 Reeksi segitiga ABC
terhadap x=0
Gambar 3.26 Reeksi segitiga ABC
terhadap x=1
Gambar 3.27 Reeksi Segitiga ABC
terhadap x=2
Gambar 3.28 Reeksi Segitiga
ABC terhadap x=3
1
2
3
4
-1
-2
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-5
5
1
2
3
4
-1
-2
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-5
5
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
160
Gambardiatasmenunjukkanhasilreeksiterhadap x=0 atau
sumbuy, x=1, x=2, dan x=3. Selanjutnya, tuliskan koordinat
bayangan ∆ABCuntuk masing-masing reeksi pada Tabel 3.8.
Tabel 3.8 Reeksi Titik terhadap Garis x=k
Titik sudut
ΔABC
Reeksi
x=0
Reeksi
x=1
Reeksi
x=2
Reeksi
x=3
A(2,-2)
B(5,-1)
C(4,2)
B Berdasarkan pengamatan kalian, nilai apakah yang berubah?
C Tentukan hasil bayangan reeksi untuk A(x, y) terhadap garis
x=k!
D Diberikan titik Z(3,-4), tentukan bayangan hasil reeksi titik Z
terhadap garis x=2!
Berdasarkan Eksplorasi 3.5 dapat diperoleh Sifat 3.6 berikut.
Sifat
3.6
Reeksi terhadap Garis
Bayangan dari titik P(x,y)yang
direeksikan terhadap garis x=k
adalah P'(2k-x,y).
Selanjutnya, bagaimana cara untuk mereeksikan titik terhadap
garis y=h?
0
Gambar 3.29 Ilustrasi Reeksi
terhadap Garis x=k
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
161
Dapatkahkamumenentukan koordinathasilbayanganreeksi
terhadap garis y=h?
Aktivitas Interaktif
Untuk lebih memahami mengenai reeksi terhadap
sembarang garis vertikal, ayo pindai kode QR nya
atau kunjungi tautan berikut:
http://ringkas.kemdikbud.go.id/reeksi4
Untuk lebih memahami langkah-langkah dalam mereeksikan ruas
garis dan garis pada garis x=kdan garis y=h, cermati contoh-contoh
berikut ini!
Contoh
3.7
Merefleksikan sebuah Ruas Garis
Tentukan bayangan ruas garis PQdengan P(-3,2) dan Q(-
4,-1) yang direeksikan terhadap garis x=3! Gambarkan ruas
garis tersebut beserta bayangannya pada bidang koordinat!
Alternatif Penyelesaian
Berdasarkan Sifat 3.6, diperoleh
Tabel 3.9 Reeksi Ruas Garis PQ Terhadap x=3
Titik Awal
Reeksi garis x=3
P(-3, 2) P'(2(3)+3, 2)=P'(9, 2)
Q(4,-1) Q'(2(3)-4,-1)=Q'(2,-1)
Akibatnya, bayangan ruas garis PQdapat kita gambarkan seperti
pada Gambar 3.29.
Ayo Berpikir Kreatif 3.1
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
162
1
2
3
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
0
5
6
7
8
9
Gambar 3.30 Ilustrasi Reeksi Ruas Garis PQ terhadap x=3
Tentukan bayangan ruas garis ABdengan A(-2, 3) dan B(3, 5)
yang direeksikan terhadap garis x=4! Gambarkan ruas garis
tersebut beserta bayangannya pada bidang koordinat!
Pada Contoh 3.7, kalian telah diperlihatkan langkah-langkah
dalam mereeksikan ruas garis terhadap garis x=3. Selanjutnya,
cermati kembali Contoh 3.8 untuk melihat langkah-langkah dalam
mereeksikan ruas garis terhadap garis y=h.
Contoh
3.8
Merefleksikan Sebuah Ruas Garis
Tentukan bayangan dari ruas garis PQdengan P(-3,2) dan Q(4,
-1) yang direeksikan terhadap garis y=3! Gambarkan ruas garis
tersebut beserta bayangannya pada bidang koordinat!
Alternatif Penyelesaian
Tabel 3.10 Reeksi Ruas Garis PQ Terhadap y=3
Reeksi garis y=3
Titik Awal
P'(-3, 2(3)-2)=P'(-3, 4) P(-3, 2)
Q'(4, 2(3)+1)=Q'(4, 7) Q(4,-1)
Akibatnya, bayangan ruas garis PQdapat kita gambarkan seperti
pada Gambar 3.31.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
163
1
2
3
4
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
0
5
7
6
Gambar 3.31 Ilustrasi Reeksi Ruas Garis PQ terhadap y=3
Tentukan bayangan ruas garis ABdengan A(-2,3) dan B(3,5)
yang direeksikan terhadap garis y=4! Gambarkan ruas garis
tersebut beserta bayangannya pada bidang koordinat!
Sebuah ΔPQR akan direeksikan terhadap x=3 dan dilanjutkan
dengan reeksi terhadap y=4. Jika diketahui titik koordinat P(5,6),
Q(10,6), dan R(7,12), maka tentukan koordinat ΔP'Q'R' sebagai
bayangan hasil kedua reeksi berurutan tersebut! Bagaimana jika
∆PQR direeksikan terhadap titik (3,4)? Apakah menghasilkan
bayangan yang sama?
Ayo Mencoba
Ayo Berpikir Kritis 3.1
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
164
Latihan
B
Refleksi
Pemahaman Konsep
B Berdasarkan pengamatan kalian pada Gambar 3.32, apakah gambar
berwarna biru merupakan hasil reeksi dari gambarberwarna
merah? Jika ya, gambarkan garis reeksinya!
a.
b.
c. d.
Gambar 3.32 Pasangan Bangun Datar
C Pasangkan dengan benar, jenis reeksi dengan hasil reeksinya
dari titik(2,-3)!
Sumbu x
Sumbu y
Titik pusat(0,0)
y=x
y=-x
x=3
y=-1
(3,-2)
(4,-3)
(-3,2)
(-2,-3)
(2,3)
(2,1)
(-2,3)
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
165
Penerapan Konsep
D A(5,2), B(8,5), dan C(2,1) adalah titik-titik sudut ∆ABC. Tentukan
koordinat ∆A'B'C' sebagai bayangan reeksi masing-masing
terhadap sumbu x, sumbu y, titik pusat (0,0),y=x, dany=-x!
Gambarkan kelima proses reeksi tersebut!
E Diketahui segi empat KLMN dengan K(1,2), L(6,4), M(8,-3) dan
N(3,-1). Tentukan koordinat segi empat K'L'M'N' sebagai hasil
reeksi segi empat KLMN terhadap x=3 . Gambarkan segi empat
beserta bayangannya pada bidang koordinat.
F Perhatikan Gambar 3.33!
1
2
3
4
-1
-2
1
2
3
4
-1
-2
-3
0
5
6
Gambar 3.33 Reeksi ∆ABC terhadap Garis y=2
Gambarkan bayangan reeksi ∆ABC terhadap y=2.
C. Rotasi (Perputaran)
Pernahkah kalian menaiki bianglala?
Gambar 3.34 menunjukkan perpindahan
posisi awal Ake posisi Bsaat Bianglala
berputar berlawanan dengan arah per-
putaran jarum jam terhadap titik tetap O.
Titik tetap ini disebut pusat rotasi. Rotasi
merupakan salah satu bentuk transformasi
dengan memutarkan suatu objek (titik,
Gambar 3.34 Bianglala
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
166
garis, atau bangun) berdasarkan sudut dan arah tertentu terhadap
pusat rotasinya. Besar sudut dari bayangan objek terhadap posisi
awalnya disebut sudut rotasi. Pada Gambar 3.35, titik A berotasi sejauh
45º berlawanan arah perputaran jarum
jam ke titik A'dengan pusat rotasi O.
Selanjutnya rotasi yang arahnya
berlawanan dengan arah perputaran
jarum jam disebut arah positif, sedangkan
yang searah dengan arah perputaran
jarum jam disebut arah negatif.
Untuk memahami tentang pusat dan arah rotasi, ayo lakukan
aktivitas eksplorasi berikut.
Eksplorasi
3.6
Pusat dan Arah Rotasi
Untuk melakukan aktivitas eksplorasi ini, terlebih dahulu kalian
siapkan busur dan jangka. Setelah siap, lakukan langkah-langkah
berikut. Diberikan dua buah titik Adan titik O.
Gambar 3.35 Titik A dan Titik O
B Tariklah garis yang menghubungkan titik A dan titik O.
C Buatlah sebuah garis l yang membentuk sudut 30º (berlawanan
arah perputaran jarum jam) terhadap garis AOdengan titik O
sebagai pusat rotasi. Gunakan busur untuk menentukan besar
sudutnya!
D Dengan pusat di titik O, buatlah busur lingkaran dari titik A
dengan menggunakan jangka sehingga busur lingkaran tersebut
memotong garis ldi titik A'.
Selanjutnya titik A'dikatakan sebagai hasil rotasi sebesar 30º dari
titik A (berlawanan arah perputaran jarum jam). Dengan langkah
yang sama, tentukan titik A"sebagai hasil rotasi sebesar 60º dari
titik A (berlawanan arah perputaran jarum jam) terhadap pusat
lingkaran O.
Gambar 3.35 Rotasi Titik
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
167
Gambar 3.36 menunjukkan hasil rotasi ∆AOB yang berpusat di O
dengan arah yang berbeda. Bayangan
∆A'OB' merupakan hasil rotasi
sebesar -90º (searah perputaran
jarum jam), sedangkan ∆A"OB"
merupakan hasil rotasi sebesar 90º
(berlawanan arah perputaran jarum
jam). Selanjutnya, bagaimana kita
menentukan titik koordinat hasil
rotasi? Untuk menjawab pertanyaan
tersebut, lakukan kembali aktivitas
ekplorasi berikut.
Eksplorasi
3.7
Rotasi terhadap Titik Pusat (0,0)
Perhatikan dengan saksama
gambar ∆ABC pada Gambar
3.37.
B Jika kita merotasikan
∆ABC sebesar 90º
berlawanan arah jarum
jam terhadap titik asal
O(0,0 ), periksalah dengan
menggunakan penggaris
dan busur, apakah titik
A' dan B' masing-masing
merupakan bayangan dari titik Adan B? Selanjutnya tentukan
hasil rotasi titik Cterhadap titik pusat O(0,0).
C Gambarkan bayangan ∆A'B'C'!
D Gambarkan hasil rotasi ∆ABC sebesar 180º. Berdasarkan
pengalaman kalian tentang materi sebelumnya, adakah jenis
transformasi lain yang sama dengan rotasi sebesar 180º?
Sebutkan!
Gambar 3.37 Ilustrasi Rotasi pada Bidang
Koordinat
1
2
3
4
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
5
-5
Berlawanan
jarum jam
Searah
jarum jam
B"
B
A
A"
B’
A’
O
Gambar 3.36 Arah Rotasi
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
168
E Untuk mempermudah kalian menarik kesimpulan, isilah tabel
berikut.
Tabel 3.11 Hasil Rotasi Titik (x,y)
Titik
Awal
Pusat
Rotasi
Sudut
Rotasi
Arah Rotasi
Bayangan
Hasil Rotasi
(2,3) (0,0) -90° Searah jarum jam
(x,y) (0,0) -90°
(x,y) (0,0) 90°
(-3,2) (0,0) 180°
(x,y) (0,0) -180°
(x,y) (0,0) 180°
(x,y) (0,0) -270°
(x,y) (0,0) 270°
Aktivitas 3.7 secara digital dapat kalian lakukan pada aktivitas interaktif
berikut.
Aktivitas Interaktif
Untuk lebih memahami mengenai rotasi, kalian
dapat memindai kode QR atau mengunjungi
tautan berikut:
http://ringkas.kemdikbud.go.id/rotasi
Cermati Contoh 3.9 untuk melihat langkah-langkah dalam
merotasikan sebuah segitiga terhadap pusat rotasi O(0,0).
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
169
Contoh
3.9
Merotasikan Segitiga
Tentukan bayangan segitiga PQRdengan P(5,-3), Q(4,4) dan
R(-3,1), yang dirotasikan sebesar 90º berlawanan arah jarum
jam terhadap titik pusat (0,0)! Gambarkan segitiga PQRbeserta
bayangannya pada bidang koordinat!
Alternatif Penyelesaian
Tabel 3.12 Rotasi 90° Terhadap O(0,0)
Titik Awal Hasil Rotasi
P(5,-3) P'(3,5)
Q(4,4) Q'(-4,4)
R(-3,1) R'(-1,-3)
1
2
3
4
-1
-2
-3
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
5
5
Gambar 3.38 Ilustrasi Reeksi sebuah Ruas Garis
Tentukan bayangan segitiga KLMpada bidang koordinat
dengan K(2,3), L(4,2) dan M(3,5) yang dirotasikan sebesar
-90º (searahjarum jam)! Gambarkan segitiga KLM beserta
bayangannya!
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
170
Latihan
C
Rotasi
Pemahaman Konsep
B Berdasarkan pengamatan kalian pada Gambar 4.39, jelaskan
apakah gambar berwarna biru merupakan hasil rotasi dari gambar
berwarna merah? Jika ya, tentukan besar dan arah rotasinya.
a.
1
2
3
4
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
0
b.
1
2
3
4
-1
1
2
3
-1
-2
-3
0
c.
1
2
3
4
-1
1
2
3
-1
-2
-3
0
d.
1
2
3
4
-1
-2
-3
1
2
3
-1
-2
-3
0
5
Gambar 3.39 Pasangan Bangun Datar
C Gambarkan hasil rotasi segitiga RST dengan besar sudut 180º
terhadap titik Q.
Gambar 3.40 Rotasi Segitiga RST
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
171
Penerapan Konsep
D A(5,2), B(8,5), dan C(2,1) adalah titik-titik sudut pada ΔABC.
Tentukan bayangan ΔABC dari hasil rotasi sebesar 90º berlawanan
arah jarum jam terhadap titik pusat O(0,0). Gambarkan ΔABC
beserta bayangannya.
E Diketahui segi empat KLMN dengan titik sudutnya di K(1,2),
L(6,4), M(8,-3) dan N(3,-1). Tentukan bayangan hasil rotasi 180º
terhadap titik pusat O(0,0). Gambarkan segi empat KLMNbeserta
bayangannya pada bidang koordinat.
F Gambar bayangan hasil reeksi untuk setiap segitiga berikut pada
garis yang diketahui. Bayangan akhir dari setiap bangun tersebut
juga merupakan hasil rotasi. Tentukan koordinat bayangan dan
sudut rotasinya.
a. ΔABCdengan A(3,0), B(6,0) dan C(5,4) direeksikanpada
sumbu xdilanjutkan sumbu y.
b. ΔHIJ dengan H(2,1), I(7,4), dan J(-1,5) direeksikanpada
garis y=xdilanjutkan sumbu x.
c. ΔKLM dengan K(2,-1), L(4,2), dan M(2,5) direeksikan pada
garis y=x dilanjutkan garis y=-x.
G Diketahui ΔDEF dengan koordinat titik sudut di D(3,2), E(8,1) dan
F(8,5). Gambarlah bayangan hasil transformasi ΔDEF jika:
a. Dicerminkan terhadap sumbu xkemudian dirotasikan 90º
berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasiO(0,0).
b. Dirotasikan 180º dengan pusat rotasi O(0,0) kemudian
ditranslasikan sejauh
3
2
-
a
k
.
c. Dirotasikan 90º searah jarum jam dengan pusat rotasi
O(0,0) kemudian direeksikan terhadap sumbu y setelah itu
ditranslasikan sejauh
3
4
bl
.
D. Kekongruenan
Indonesia memiliki keberagaman budaya yang patut kita ketahui
bersama-sama. Gambar 3.41 berikut ini menunjukkan salah satu
bentuk budaya di Indonesia, yaitu rumah adat Minangkabau.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
172
Gambar 3.41 Rumah Adat Minangkabau
Sumber: Pusat Dokumentasi dan Informasi Kebudayaan Minangkabau/Wikimedia.org
Ada hal menarik yang perlu kita cermati di dalam rumah adat
tersebut, yaitu tentang jendelanya. Hal menarik tersebut akan kita
pelajari di dalam subbab ini dengan menghubungkannya dengan
translasi, reeksi, dan rotasi. Oleh karena itu, ayo kerjakan Eksplorasi
3.8.
Eksplorasi
3.8
Menyelidiki Rangkaian Translasi, Refleksi,
dan Rotasi
Tahukah kalian karakteristik bayangan hasil translasi, reeksi, dan
rotasi? Apakah karakteristik tersebut akan tetap sama jika ketiga
transformasi tersebut dikombinasikan? Ayo kita selidiki!
B Perhatikan Gambar 3.42 berikut! Gambar tersebut menunjukkan
bayangan sebuah objek setelah dilakukan translasi, reeksi
(terhadap sebuah garis), atau rotasi.
Gambar 3.42 Bayangan Hasil Translasi, Reeksi, dan Rotasi
Berdasarkan Gambar 3.42, temukan persamaan dan perbedaan
bayangan hasil translasi, reeksi, dan rotasi!
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
173
C Berdasarkan pengamatan terhadap Gambar 3.42, Sondang
berpendapat bahwa bayangan hasil translasi, reeksi, dan rotasi
memiliki bentuk dan ukuran yang sama terhadap objek aslinya.
Menurut kalian, apa maksud dari pendapat Sondang tersebut?
Apakah kalian setuju? Mengapa?
D Sekarang kalian akan menemukan karakteristik bayangan yang
diperoleh dari rangkaian transformasi.
a. Gambar 3.43 berikut menunjukkan rangkaian transformasi
terhadap suatu objek.
Gambar 3.43 Rangkaian Transformasi Pertama
Transformasi apa saja yang digunakan untuk mengubah
objek asli (gambar paling kiri) menjadi bayangan akhir
(gambar paling kanan)?
b. Perhatikan Gambar 3.44 berikut!
Gambar 3.44 Rangkaian Transformasi Kedua
Transformasi apa saja yang dikenakan pada objek asli untuk
menjadi bayangan akhir?
c. Cermati rangkaian transformasi pada Gambar 3.45 berikut!
Gambar 3.45 Rangkaian Transformasi Ketiga
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
174
Rangkaian transformasi apa saja yang mengubahobjek asli
menjadi bayangan akhir?
d. Menurut kalian, apa karakteristik bayangan hasil rangkaian
translasi, reeksi, dan rotasi?
E Gambar 3.46 menunjukkan dua pasang objek awal (biru) dan
bayangannya (merah) setelah mendapatkan satu atau lebih
transformasi.
83°
83°
56°
56°
41°
41°
8
10
12
b.
8
10
12
83°
56°
41°
41°
56°
83°
8
10
12
a.
12
15
18
Gambar 3.46 Pasangan Objek dan Bayangan
a. Berdasarkan Gambar 3.49 tersebut, apakah ada pasangan
[(a) atau (b)] yang memiliki karakteristik sama dengan
transformasi pada soal nomor 1 dan 3? Mengapa?
b. Jika di bagian 4.a kalian menemukan pasangan yang
diminta, carilah rangkaian translasi,reeksi, atau rotasi
yang mengubah segitiga awal (biru) menjadi bayangannya
(segitiga merah) dalam pasangan itu!
Di dalam Eksplorasi 3.8, kalian telah menemukan karakteristik
penting translasi, reeksi, dan rotasi. Karakteristik tersebut dirangkum
dalam Sifat 3.6 berikut
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
175
Sifat
3.6
Karakteristik Translasi, Reeksi, dan Rotasi
Jika suatu objek dikenakan transformasi tunggal atau rangkaian
transformasi dari translasi, reeksi, atau rotasi, bayangannya
memiliki bentuk dan ukuran yang sama dengan objek aslinya.
Jika dua bangun datar memiliki bentuk dan ukuran yang sama,
terdapat transformasi tunggal atau rangkaian transformasi dari
translasi, reeksi, atau rotasi yang membuat bangun datar pertama
tepat berimpit dengan bangun datar kedua.
Berdasarkan Sifat 3.6 tersebut, translasi, reeksi, dan rotasi tidak
mengubah bentuk dan ukuran objek yang ditransformasikan. Karena
alasan ini, translasi, reeksi, dan rotasi disebut dengan transformasi
kaku.
Untuk lebih mengetahui penggunaan Sifat 3.6, cermati Contoh 3.10
berikut ini.
Contoh
3.10
Menggunakan Karakteristik Transformasi Kaku
Gambar 3.47 berikut memperlihatkan dua pasang bangun datar.
a. b.
Gambar 3.47 Dua Pasang Bangun Datar
Apakah ada suatu transformasi kaku atau rangkaiannya yang
membawa bangun datar pertama (merah) ke bangun datar kedua
(biru)? Jelaskan!
Alternatif Penyelesaian
a. Untuk Gambar 3.47 (a), kedua jajar genjangnya memiliki sudut
dalam yang berbeda. Padahal, transformasi kaku menjaga
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
176
bentuk dan ukuran dari objek dan bayangannya. Dengan
demikian, tidak ada transformasi kaku (atau rangkaiannya) yang
membawa jajar genjang pertama (merah) untuk bisa berimpit
dengan jajar genjang kedua (biru).
b. Pada Gambar 3.47 (b), persegi panjang merah memiliki panjang
dan lebar yang sama dengan persegi panjang biru. Dengan
demikian, kedua persegi panjang tersebut memiliki bentuk
dan ukuran yang sama. Oleh karena itu, dalam kasus ini, ada
rangkaian transformasi kaku yang membawa persegi panjang
kiri untuk berimpit dengan persegi panjang sebelah kanan.
Rangkaian transformasi kaku tersebut diilustrasikan pada
Gambar 3.51 berikut.
a. b.
Gambar 3.48 Rangkaian Transformasi Kaku pada Persegi Panjang
Pada Gambar 3.48, transformasi pertama yang digunakan adalah
translasi yang menggeser persegi panjang ke atas dan ke kanan.
Setelah itu, bayangannya dirotasikan dengan pusat salah satu
titik sudutnya dengan besar sudut 90°. Dengan rangkaian dua
transformasi tersebut, persegi panjang pertama tepat berimpit
persegi panjang yang kedua.
Perhatikan Gambar 3.49!
Gambar 3.49 Dua Bangun Datar
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
177
Apakah ada transformasi kaku (atau rangkaiannya) yang
membawa bangun datar pertama untuk berimpit ke bangun
datar kedua? Jika ada, tunjukkan transformasinya!
Di dalam Eksplorasi 3.8, kalian ditunjukkan
sebuah gambar burung yang disusun oleh
sebuah teka-teki gambar. Teka-teki gambar
tersebut terdiri dari lima segitiga, satu jajar
genjang, dan satu persegi. Teka-teki gambar
semacam ini disebut dengan tangram.
Perhatikan Gambar 3.50.
B Buatlah tangram seperti pada
Gambar 3.50 tersebut pada
selembar kertas karton. Setelah itu,
potonglah dan susunlah potongan-
potongannya sehingga memenuhi
bingkai seperti yang ditunjukkan
pada Gambar 3.51 berikut!
C Buatlah tangram seperti Gambar
3.51 pada kertas karton sebanyak
dua set. Potonglah tangram
tersebut dan gunakan semua
potongannya untuk membuat bentuk yang menyerupai objek-
objek di sekitar kalian.
1. Kekongruenan
Di bagian sebelumnya kalian telah mengetahui bahwa transformasi
kaku (translasi, reeksi, dan rotasi) tidak mengubah bentuk dan ukuran
suatu objek. Dengan kata lain, transformasi tersebut menghasilkan
Gambar 3.50 Tangram
Ayo Berpikir Kreatif 3.2
Gambar 3.51 Bingkai Tangram
Berbentuk Lilin dan Kuda
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
178
bayangan yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dengan
objek aslinya. Selanjutnya, dua bangun datar yang memiliki bentuk
dan ukuran yang sama tersebut dinamakan dua bangun datar yang
kongruen.
Kekongruenan memiliki arti yang sama dengan kesamaan bentuk
dan ukuran oleh karena itu kita dapat mendenisikannya dengan
menggunakan karakteristik transformasi kaku (Sifat 3.6) sebagai
berikut.
Definisi
3.2
Kekongruenan
Dua bangun datar dikatakan kongruen jika terdapat transformasi
kaku (translasi, reeksi, atau rotasi) tunggal atau rangkaian
transformasi kaku yang membuat bangun datar pertama tepat
berimpit dengan bangun datar kedua.
Sekarang, perhatikan Contoh 3.11 berikut untuk melihat bagaimana
penggunaan Denisi 3.2 tersebut.
Contoh
3.11
Menentukan Kekongruenan Dua Bangun Datar
Tentukan apakah pasangan dua bangun datar pada Gambar 3.52 (a)
dan (b) berikut kongruen atau tidak!
a. b.
Gambar 3.52 Dua Pasang Bangun Datar
Alternatif Penyelesaian
a. Di Gambar 3.52 (a) kita mengamati bahwa bangun datar
pertama (warna merah) tampaknya memiliki bentuk dan
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
179
ukuran yang sama dengan bangun datar kedua (warna biru).
Untuk memastikannya, kita akan merotasikan bangun datar
pertama dan melihat apakah hasilnya tepat berimpit dengan
bangun datar kedua, lihat Gambar 3.53.
Gambar 3.53 Rotasi Bangun Datar Terhadap Titik A Sebesar 90º
Untuk melakukan rotasi tersebut, kita jiplak bangun datar
pertama pada kertas lain. Selanjutnya, kita rotasi kertas tersebut
terhadap titik A sebesar 90°. Dari rotasi ini, diperoleh bahwa
hasil rotasinya tepat berimpit dengan bangun datar kedua. Jadi,
kedua bangun datar tersebut kongruen.
Dua bangun datar yang ditunjukkan pada Gambar 3.56 (b)
memiliki bentuk yang berbeda. Bangun datar pertama memiliki
lengkung (kecekungan) yang letaknya tepat di tengah-tengah
sedangkan bangun datar kedua lengkungnya tidak tepat di
tengah-tengah. Dengan demikian, kedua bangun datar tersebut
tidak kongruen.
Alternatif Penyelesaian
Perhatikan Gambar 3.54 berikut!
Tentukan apakah kedua bangun
datar pada Gambar 3.54 tersebut
kongruen atau tidak! Jelaskan
alasannya!
Dari Contoh 3.11, kita memperoleh dua hal penting sebagai berikut.
B Untuk membuktikan bahwa dua bangun datar kongruen, kita harus
menunjukkan bahwa kedua bangun datar tersebut memiliki bentuk
Gambar 3.54 Dua Bangun Datar
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
180
dan ukuran yang sama. Dengan demikian, kita perlu menunjukkan
bahwa terdapat transformasi kaku tunggal atau rangkaiannya yang
membuat bangun datar pertama tepat berimpit dengan bangun
datar kedua.
C Untuk membuktikan bahwa dua bangun datar tidak kongruen, kita
perlu menunjukkan bahwa kedua bangun datar tersebut memiliki
bentuk yang tidak sama atau ukuran yang tidak sama.
Ketika mencermati Gambar 3.52 (a), Ahmad dapat menunjukkan
rangkaian transformasi kaku yang membuat bangun datar pertama
(I) tepat berimpit dengan bangun datar kedua (II). Rangkaian
transformasi kaku tersebut ditunjukkan pada Gambar 3.55.
Gambar 3.55 Rangkaian Transformasi Kaku yang Dilakukan Ahmad
a. Transformasi apa saja yang dilakukan oleh Ahmad? Sebutkan
transformasi tersebut secara terurut!
b. Carilah satu rangkaian transformasi kaku lainnya yang
berbeda dengan Ahmad dan membuat bangun datar pertama
tepat berimpit dengan bangun datar kedua!
2. Kekongruenan pada Segi Banyak
Di bagian sebelumnya, kalian telah belajar kekongruenan untuk
sembarang bangun datar. Sekarang, kalian akan belajar kekongruenan
khusus untuk segi banyak. Sebelum itu, kalian perlu mengenal apa
Ayo Berpikir Kreatif 3.3
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
181
itu titik-titik, sisi-sisi, dan sudut-
sudut yang bersesuaian. Perhatikan
Gambar 3.56!
Segi empat ABCDdan KLMN
pada Gambar 3.56 merupakan dua
bangun datar yang kongruen. Hal ini
dikarenakan terdapat transformasi
kaku, yaitu reeksi terhadap garis
g, yang membuat segi empat ABCD
tepat berimpit dengan segi empat
KLMN.
Dengan melakukan reeksi terhadap garis g, titik A tepat berimpit
dengan titik K, titik Bdengan titik L, titik Cdengan titik M, dan titik
D dengan titik N. Selanjutnya, pasangan titik-titik tersebut disebut
dengan titik-titik yang bersesuaian. Dengan alasan yang sama, kita
dapat menyatakan bahwa sisi ABdan sisi KL, sisi BCdan sisi LM, sisi
CD dan sisi MN, sisi DA dan sisi NK merupakan pasangan sisi-sisi yang
bersesuaian. Terakhir, kita juga dapat menyatakan ∠A dan ∠K, ∠B dan
∠L, ∠C dan ∠M, dan ∠D dan ∠N merupakan pasangan sudut-sudut yang
bersesuaian.
Sekarang, ayo kita selidiki sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian
dari dua segi banyak yang kongruen!
Eksplorasi
3.9
Menyelidiki Sisi-Sisi dan Sudut-Sudut
yang Bersesuaian dari Segi Banyak
Gambar 3.57 berikut memperlihatkan dua segi lima yang kongruen.
Gambar 3.57 Dua Segi Lima yang Kongruen
A
B
C
D
K
L
M
N
Gambar 3.56 Segi Empat ABCD dan
KLMN
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
182
B Dengan menggunakan penggaris, ukurlah panjang setiap sisi
kedua segi lima tersebut dan tuliskan hasilnya pada Tabel 3.13
berikut.
Tabel 3.13 Panjang Sisi Segi Lima yang Diberikan
Segi Lima Pertama Segi Lima Kedua
Sisi Panjang (cm) Sisi Panjang (cm)
C Dengan menggunakan busur derajat, ukurlah setiap sudut dari
dua segi lima pada Gambar 3.60 dan catatlah hasilnya pada
Tabel 3.14 berikut.
Tabel 3.14 Besar Sudut Segi Lima yang Diberikan
Segi Lima Pertama Segi Lima Kedua
Sudut Besar (°) Sudut Besar (°)
D Selidikilah apakah ada rangkaian transformasi kaku yang
membuat bangun datar pertama pada Gambar 3.60 tepat
berimpit dengan bangun datar kedua! Apakah kedua bangun
datar tersebut kongruen?
E Berdasarkan pekerjaan kalian di nomor 1, 2, dan 3, apa yang
dapat kalian simpulkan?
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
183
Dari Eksplorasi 3.9, kalian mendapatkan karakteristik penting dari
dua segi banyak yang kongruen. Karakteristik tersebut dirangkum
dalam Sifat 3.7.
Sifat
3.7
Karakteristik Segi Banyak yang Kongruen
Dua segi banyak dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat
berikut.
• Sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segi banyak tersebut sama
panjang.
• Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua segi banyak tersebut
sama besar.
Ayo cermati Contoh 3.12, agar kalian dapat mengetahui penggunaan
karakterisik segi banyak yang kongruen untuk menyelesaikan masalah!
Contoh
3.12
Memilih Segi Banyak yang Kongruen
Perhatikan persegi panjang I, persegi panjang II, jajar genjang III,
dan persegi panjang IV pada Gambar 3.58 berikut!
I
II
III
IV
6
12
12
6
6
12
9
18
Gambar 3.58 Segi Empat I, II, III, dan IV
Dari segi empat II, III, dan IV tersebut, manakah yang kongruen
dengan persegi panjang I? Jelaskan!
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
184
Alternatif Penyelesaian
Meskipun persegi panjang II besar semua sudut dalamnya sama
dengan sudut-sudut dalam persegi panjang I (mengapa?), tetapi
panjang sisi-sisinya berbeda. Dengan demikian, persegi panjang I
tidak kongruen dengan persegi panjang II.
Panjang sisi-sisi persegi panjang I adalah 6, 12, 6, dan 12. Hal ini
sama dengan panjang sisi-sisi jajar genjang III, yaitu 6, 12, 6, dan
12. Meskipun demikian, besar sudut-sudut dalam persegi panjang
I tidak sama dengan besar sudut-sudut dalam jajar genjang III.
Dengan demikian, persegi panjang I tidak kongruen dengan jajar
genjang III.
Persegi panjang I dan persegi panjang IV memiliki panjang sisi-
sisi yang sama dan dengan urutan yang sama, yaitu 6, 12, 6, dan
12. Selain itu, besar semua sudut dalamnya pun sama. Dengan
demikian, sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua persegi panjang
tersebut sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaiannya sama
besar. (Tunjukkan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaiannya!)
Jadi, kedua persegi panjang tersebut kongruen.
Karena persegi panjang I dan IV kongruen, kita dapat melakukan
rangkaian transformasi kaku yang membuat persegi panjang I
tepat berimpit dengan persegi panjang IV. Rangkaian transformasi
tersebut diilustrasikan pada Gambar 3.59.
Gambar 3.59 Translasi dan Rotasi dari Persegi Panjang I ke Persegi Panjang IV
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
185
Perhatikan jajar genjang I, layang-layang II, dan jajar genjang
III pada Gambar 3.60 berikut!
I II III
75°
105°
Gambar 3.60 Segi Empat I, II, dan III
Dari segi empat II dan III, manakah yang kongruen dengan segi
empat I? Mengapa?
3. Kekongruenan Segitiga
Segitiga merupakan segi banyak sehingga kita dapat menggunakan
Sifat 3.7 untuk memastikan bahwa dua (atau lebih) segitiga merupakan
segitiga-segitiga yang kongruen. Dengan sifat tersebut, kita perlu
memastikan bahwa semua sisi dan sudut yang bersesuaiannya
memiliki ukuran yang sama. Apakah ada cara yang lebih sederhana?
Untuk mengetahuinya, ayo kerjakan Eksplorasi 3.10!
Eksplorasi
3.10
Membuat Segitiga jika Diketahui Dua
Sudut dan Satu Sisi yang Diapitnya
Di aktivitas eksplorasi ini, kalian akan diminta untuk membuat
segitiga. Untuk itu, siapkan alat dan bahan yang diperlukan! Alat
dan bahannya adalah kertas, penggaris, busur derajat, pensil, dan
gunting.
B Pada selembar kertas, lukislah sebuah segitiga yang besar dua
sudut dalamnya adalah 60° dan 75°, serta panjang sisi di antara
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
186
kedua sudut tersebut adalah 25 cm. Informasi yang diketahui
dari soal ini dapat diilustrasikan pada Gambar 3.61.
Dua sudut ini
besarnya diketahui
Sisi ini panjangnya diketahui
Gambar 3.61 Segitiga dengan Dua Sudut dan Satu Sisi yang Diapitnya Diketahui
C Guntinglah segitiga yang telah kalian lukis dan tukarkan segitiga
tersebut dengan segitiga yang diperoleh teman kalian! (Sebelum
ditukar, sebaiknya kalian mencantumkan nama kalian di
segitiga yang kalian buat)
D Koreksilah potongan segitiga milik teman kalian apakah besar
dua sudutnya 60° dan 75°, serta panjang sisi yang diapit kedua
sudut tersebut adalah 25 cm. Jika belum sesuai, bantulah teman
kalian untuk membuat segitiga yang sesuai dengan informasi
yang diberikan!
E Bandingkan segitiga kalian dengan segitiga milik teman-teman
kalian. Apa yang dapat kalian simpulkan?
Di Eksplorasi 3.10, kalian telah menemukan kesimpulan penting
mengenai kekongruenan segitiga. Jika dua segitiga memiliki dua pasang
sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi di antara kedua sudut
tersebut sama panjang maka kedua segitiga tersebut kongruen. Kriteria
kekongruenan segitiga ini selanjutnya disingkat dengan kriteria sudut-
sisi-sudut (Sd-S-Sd).
Selain kriteria Sd.S.Sd, ada dua kriteria kekongruenan segitiga
lainnya. Dua kriteria tersebut dinamakan kriteria sisi-sudut-sisi (S.Sd.S)
dan sisi-sisi-sisi (S.S.S).
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
187
Sifat
3.8
Kriteria Kekongruenan Segitiga
Kriteria Sd.S.Sd. Jika dua sudut segitiga pertama dan kedua sama
besar dan sisi di antara kedua sudut tersebut sama panjang, maka
dua segitiga tersebut kongruen. Perhatikan Gambar 3.62 (a)!
Kriteria S.Sd.S. Jika dua sisi segitiga pertama dan kedua sama
panjang dan sudut yang diapit kedua sisi tersebut sama besar,
maka kedua segitiga tersebut kongruen. Perhatikan Gambar 3.62
(b)!
Kriteria S.S.S. Jika tiga sisi segitiga pertama sama panjang dengan
tiga sisi segitiga kedua, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Perhatikan Gambar 3.62 (c)!
a. b. c.
Gambar 3.62 Kriteria Kekongruenan Segitiga Sd.S.Sd, S.Sd.S, dan S.S.S
Untuk mengetahui bagaimana penggunaan kriteria kekongruenan
segitiga, ayo cermati Contoh 3.16 berikut!
Contoh
3.13
Menggunakan Kriteria Kekongruenan Segitiga
Perhatikan Gambar 3.63!
A
BC
D
Gambar 3.63 Segitiga ABC
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
188
Jika
AD
membagi ∠BACmenjadi dua sama besar dan tegak lurus
dengan
BC
, buktikan bahwa segitiga ABCmerupakan segitiga
sama kaki!
Alternatif Penyelesaian
Karena
AD
membagi ∠BACsama besar, maka ∠BAD = ∠CAD.
Karena
AD
tegak lurus dengan
BC
, maka besar ∠ADBdan ∠ADC
adalah 90°. Dengan demikian ∠ADB = ∠ADC. Selanjutnya, jelas
bahwa AD = AD. Dengan menggunakan kriteria Sd.S.Sd, segitiga
ADB kongruen dengan segitiga ADC atau dapat dinotasikan ΔADB ≅
ΔADC. Akibatnya, AB = AC. Jadi, terbukti bahwa ΔABC merupakan
segitiga sama kaki.
Segitiga KLM pada Gambar 3.67 berikut merupakan segitiga
sama kaki dan
KN
membagi ∠LKMsama besar.
K
L
M
N
Gambar 3.64 Segitiga KLM
Buktikan bahwa ΔKNL ≅ΔKNM!
Sebagai catatan, Contoh 3.16 memperkenalkan notasi untuk
menyatakan bahwa suatu segitiga kongruen dengan segitiga lainnya.
Notasi yang digunakan adalah notasi kongruen, yaitu “≅”. Selain itu,
penulisan penamaan segitiga juga memperhatikan urutan sudut-sudut
bersesuaiannya. Sebagai contoh, perhatikan Gambar 3.65 berikut!
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
189
T
DR
S
BW
Gambar 3.65 Dua Segitiga yang Kongruen
Gambar 3.65 tersebut menunjukkan dua segitiga yang kongruen.
Pasangan sudut-sudut yang bersesuaiannya adalah ∠Tdengan ∠S,
∠D dengan ∠B, dan ∠R dengan ∠W. Dengan demikian, kita dapat
menyatakan kekongruenan segitiga TDRdengan segitiga SBWdengan
notasi ΔTDR ≅ΔSBW.
Dhien mengamati ΔABC dan ΔPQR pada Gambar 3.66!
30°
30°
5
5
10
10
A
B
C
P
Q
R
Gambar 3.66 Dua Segitiga yang Memenuhi S.S.Sd
Dengan melakukan translasi, Dhien dapat membuat ΔABC tepat
berimpitdengan ΔPQR. Dengan demikian, Dhien memiliki tiga
pendapat sebagai berikut.
B Segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR.
C Karena ΔABC dan ΔPQR memiliki dua sisi dan satu sudut yang
ukurannya sama maka kedua segitiga tersebut memenuhi
S.S.Sd.
Ayo Berpikir Kritis 3.4
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
190
D Dua segitiga yang memenuhi S.S.Sd selalu kongruen.
Apakah kalian setuju dengan semua pendapatnya Dhien? Jelaskan
alasannya!
Latihan
D
Kekongruenan
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tepat!
Pemahaman Konsep
B Benar atau Salah. Suatu bangun datar dan bayangannya akibat
rotasi merupakan dua bangun datar yang kongruen.
C Benar atau Salah. Dua bangun datar yang kongruen memiliki luas
dan keliling yang sama.
D Benar atau Salah. Untuk menentukan kekongruenan dua bangun
datar, kita selalu harus menguji apakah semua sisi dan sudut yang
bersesuainnya memiliki ukuran yang sama.
E Jika dua segitiga memiliki dua pasang sisi yang sama panjang dan
sudut yang diapit sisi-sisi tersebut sama besar, maka kedua segitiga
tersebut kongruen. Pernyataan tersebut merupakan bunyi kriteria
_____.
F Jika ΔMDN ≅ ΔKPG, maka MN = _____.
Penerapan Konsep
G Perhatikan bangun datar dan
bayangannya pada Gambar 3.67!
Tunjukkan rangkaian transformasi
kaku yang membawa bangun datar
AMBON menuju bayangannya,
yaitu A’M’B’O’N’!
x
y
A
M
B
O
N
A’
M’
B’
O’
N’
2
2
0
Gambar 3.67 Bangun Datar
dan Bayangannya pada Bidang
Koordinat
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
191
H Perhatikan empat bangun datar
pada Gambar 3.68!
Pilihlah bangun datar yang
kongruen dengan bangun datar
I! Tunjukkan mengapa bangun
datar yang kalian pilih kongruen
dengan bangun datar I!
I Dua bangun datar pada Gambar
3.69 merupakan segi enam
beraturan.
Apakah kedua segi enam tersebut
kongruen? Mengapa?
J Paulina menggambar segitiga sama sisi
ABC. Tepat di tengah-tengah sisi
,
AC
,
AB
dan
BC
secara berturut-turut dia
menggambar titik K, L, dan M. Perhatikan
Gambar 3.70.
Berdasarkan pengamatannya, Paulina
menduga bahwa segitiga KLMmerupakan
segitiga sama sisi. Apakah kalian setuju?
Mengapa?
K Pada Gambar 3.71, AC = BC, ∠A =
∠B, dan ∠ACG = ∠BCH.
Tunjukkan bahwa ΔACH ≅ ΔBCG
dan ΔDFG ≅ΔEFH!
Gambar 3.69 Dua Segi Enam
Beraturan
A
BC
K L
M
Gambar 3.70 Segitiga
Sama Sisi ABC
A B
C
D E
F
G H
Gambar 3.71 Segi Banyak
III
III
IV
0
2
2
x
y
Gambar 3.68 Empat Bangun Datar
pada Bidang Koordinat
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
192
L Sebuah segitiga titik-titik sudutnya memiliki koordinat (0, 2), (4, 1),
dan (2, 4). Sebuah segitiga yang lain, dua titik sudutnya mempunyai
koordinat (-4,1) dan (-2,-1). Agar kedua segitiga tersebut
kongruen, di mana posisi koordinat titik sudut yang tidak diketahui
dari segitiga kedua?
E. Dilatasi
Di kelas VII kalian sudah mengenai istilah kesebangunan. Salah satu
contoh kesebangunan adalah pas foto. Pas foto dapat dicetak dengan
ukuran yang berbeda-beda namun memiliki bentuk yang sama.
Perhatikan Gambar 3.72.
Gambar 3.72 Dilatasi
Gambar 3.75 menunjukkan pembesaran 2 kali bangun (i) menjadi
bangun (ii). Pada pembesaran tersebut terdapat hubungan berikut:
2.
O
OA
A
O
OB
B
==
ll
Oleh karena bangun (i) diperbesar menjadi 2 kali, maka 2 merupakan
faktor skala dengan O sebagai pusat pembesarannya. Pembesaran atau
pengecilan suatu bangun selanjutnya kita sebut dengan dilatasi. Untuk
lebih memahami mengenai dilatasi, terlebih dahulu kalian dapat
mengawali dengan Eksplorasi 3.311 mengenai faktor skala.
Eksplorasi
3.11
Faktor Skala
Perhatikan dengan saksama gambar segitiga ABCpada bidang
koordinat yang didilatasikan terhadap pusat dilatasi titik asal O(0,0)
sehingga menghasilkan segitiga A'B'C'dan segitiga A''B''C''.
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
193
Perhatikan Gambar 3.73 dan jawablah pertanyaan di bawah ini.
1
2
3
4
1
2
3
4
0
5
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
Gambar 3.73 Ilustrasi Dilatasi
Segitiga ABC
B Tuliskan koordinat titik A,B,C,A',B',C',A'',B'', dan C''?
C Perhatikan segitiga ABC dan segitiga A'B'C'. Berapakah
perbandingan panjang |OA| dan |OA'|? Bagaimana dengan
perbandingan kedua sisi lainnya? Apakah memiliki perbandingan
yang sama?
D Untuk memudahkan kalian melihat hubungan segitiga ABC dan
segitiga A'B'C', lengkapi isian kosong berikut
|OB'|= ... ×|OB|
|OC'|= ... ×|OC|
Nilai yang kalian isikan selanjutnya disebut dengan faktor skala
E Berapa besarnya faktor skala segitiga A'B'C' yang merupakan
bayangan dilatasi dari segitiga ABC?
F Dengan cara yang sama, berapakah faktor skala segitiga A''B''C''
yang merupakan bayangan dilatasi dari segitiga ABC?
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
194
Setelah melakukan aktivitas Eksplorasi 3.11 pahami Sifat 3.9.
Sifat
3.9
Faktor Skala k dan Notasi Dilatasi
Setiap titik Ayang didilatasikan pada pusat Odan faktor skala k
berlaku
'.AO kOA
=
Faktor skala =
'
AO
AO
dn
Faktor skala dapat bernilai negatif jika
'AO
berlawanan arah
dengan
AO
.
Dilatasi dengan pusat Odan faktor skala kdapat dinotasikan
dengan [O,k].
Selanjutnya, bagaimana cara kita menggambar bayangan hasil
dilatasi? Untuk itu lakukan aktivitas Eksplorasi 3.11.
Eksplorasi
3.12
Menggambar Bayangan Hasil Dilatasi
Diketahui ΔPQR dengan titik-titik sudutnya berada di P(6,8),
Q(-2,4), dan R(4,-2). Pada eksplorasi ini, kalian diminta untuk
menggambarkan ΔPQR beserta bayangannya setelah didilatasikan
dengan [O,2] mengikuti langkah-langkah yang diberikan.
Langkah 1 : Gambar ΔPQR sesuai koordinatnya.
Langkah 2 : Tentukan titik P' sehingga OP'=2×OP, titik
Q' sehingga OQ'=2×OQ, dan titik R' sehingga
OR'=2×OR.
Langkah 3 : HubungkantitikP', Q', dan R', sehingga menjadi
segitiga P'Q'R'.
Untuk membantu kalian menentukan koordinat titik P', Q', dan
R', coba lengkapi bagian kosong pada Tabel 3.15 berikut ini.
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
195
Tabel 3.15 Dilatasi Titik P,Q, dan R dengan Faktor Skala 2
Titik awal
Dilatasi dengan
pusat dilatasi
O(0,0) dan faktor
skala 2
Bayangan
P(6,8) P'(2×...,2×...) P'(...,...)
Q(-2,4) Q'(2×...,2×...) Q'(...,...)
R(4,-2) R'(2×...,2×...) R'(...,...)
Gambarlah ΔPQRdan ΔP'Q'R' sesuai dengan koordinat pada Tabel
3.15. Kemudian cobalah menjawab pertanyaan di bawah ini.
B Apa saja faktor yang menentukan dalam proses dilatasi?
C Jika titik A(x,y) didilatasikan terhadap [O,k], bagaimana
koordinat bayangannya? Tuliskan pada Tabel 3.16.
Tabel 3.16 Hasil Dilatasi Titik A(x,y) terhadap [O,k]
Titik awal
A(x,y)
Pusat dilatasi O(0,0)
Faktor skala k
Bayangan
A'(...,...)
D Untuk nilai k berapakah agar ukuran bangun dapat diperbesar?
Sebaliknya, untuk nilai kberapakah agar ukuran bangun dapat
diperkecil?
E Tentukan koordinat dan gambarkan kembali bayangan dilatasi
ΔPQR jika faktor skala k=-2. Apakah yang dapat kalian
simpulkan?
Pada aktivitas Eksplorasi 3.12, kalian telah mempelajari bagaimana
cara menentukan koordinat bayangan hasil dilatasi terhadap pusat
dilatasi di O(0,0), hanya dengan mengalikan titik koordinat awal
dengan faktor skalanya.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
196
Dilatasi [O,k]
Bayangan dari titik A(x,y) yang didilatasikan terhadap pusat
O(0,0) dengan faktor skala k adalah A'(kx, ky).
Pada aktivitas Eksplorasi 3.14, kalian telah mempelajari bagaimana
langkah-langkah dalam menggambar bayangan hasil dilatasi. Untuk
lebih menguatkan pemahaman kalian mengenai dilatasi, selanjutnya
cermati Contoh 3.17 berikut.
Contoh
3.14
Dilatasi terhadap [O,k]
Diketahui ΔABC dengan A(-2,1), B(2,2) dan C(1,4). Tentukan
bayangannya jika segitiga tersebut didilatasikan dengan [O,2]!
Gambarkan segitiga tersebut beserta bayangannya pada bidang
koordinat!
Alternatif Penyelesaian
Tabel 3. 17 Dilatasi ∆ABC Terhadap [O,2]
Titik sudut
ABC
(2x, 2y) Bayangan
A(-2, 1) (2×(-2), 2×1) A'(-4, 2)
B(2, 2) (2×2, 2×2) B'(4, 4)
C(1, 4) (2×1, 2×4) C'(2, 8)
1
2
3
4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
5
6
7
8
Gambar 3.74 Ilustrasi Dilatasi Segitiga ABC terhadap [O,k]
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
197
Diketahui ΔABC dengan A(-3,-2), B(6,4) dan C(1,-2).
Tentukan bayangan ΔABC yang didilatasikan terhadap [O,
2
1
]!
Gambarkan segitiga tersebut beserta bayangannya pada bidang
koordinat!
Setelah kalian paham mengenai dilatasi [O,k], selanjutnya cermati
Contoh 3.15 untuk memahami langkah-langkah dilatasi terhadap
sebarang pusat.
Contoh
3.15
Dilatasi terhadap [P(a,b), k]
Diketahui persegi panjang EFGH dengan E(1,0), F(3,0), G(3,1)
dan H(1,1). Tentukan bayangan persegi panjang EFGH yang
didilatasikan terhadap [P(2,3), 2]! Gambarkan segitiga tersebut
beserta bayangannya pada bidang koordinat!
Alternatif Penyelesaian
Untuk memperoleh bayangan dari hasil dilatasi persegi panjang
EFGH kalian dapat mengikuti langkah-langkah berikut.
Langkah 1 Gambarkan titik P(2,3) dan persegi panjang EFGH
pada bidang koordinat.
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
4
0
Gambar 3.75 Persegi Panjang EFGH dan Titik P
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
198
Langkah2 Tariklah garis PE'melalui titik EsehinggaPE'=2×PE,
garis PF' melalui titik F sehingga PF'=2×PF, garis
PG' melalui titik G sehingga PG'=2×PG, dan garis
PH' melalui titik H sehingga PH'=2×PH.
Langkah 3 Diperoleh titik E'(0,-3), F'(4,-3), G'(4,-1), dan
H'(0,-1). Hubungkan ke empat titik tersebut sehingga
terbentuk persegi panjang E'F'G'H'.
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
4
0
Gambar 3.76 Hasil Dilatasi EFGH terhadap Titik P
Dengan demikian diperoleh hubungan koordinat titik sudut EFGH
dan koordinat titik sudut E'F'G'H' yang merupakan hasil dilatasi
dengan pusat dilatasi P(2,3) dan faktor skala 2.
Diketahui persegi panjang KLMNdengan K(4,-2), L(4,-4),
M(4,6) dan N(2,4). Tentukan bayangan persegi panjang tersebut
yang didilatasikan terhadap [P(2,2), -2]! Gambarkan segi
empat tersebut beserta bayangannya pada bidang koordinat!
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
199
Uraian contoh 3.15 menunjukkan titik A(x,y) didilatasikan dengan
[P(a,b),k] menghasilkan bayangan A'(k(x-a)+a,k(y-b)+b))
Sifat
3.11
Dilatasi [P(a,b),k]
Bayangan dari titik A(x,y) yang didilatasikan terhadap pusat P(a,b)
dan faktor skala kadalah A'(k(x-a)+a,k(y-b)+b).
Latihan
E
Dilatasi
Pemahaman Konsep
B Berdasarkan pengamatan kalian pada Gambar 3.77, jelaskan
apakah gambar berwarna biru merupakan hasil dilatasi dari
gambar berwarna merah? Berikan alasanmu.
a.
b.
c. d.
e.
75˚
44˚
75˚
56˚
f.
90˚
116˚
72˚
82˚
116˚
72˚
82˚
90˚
Gambar 3.77 Pasangan Bangun Datar
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
200
C Gambar yang berwarna biru merupakan hasil dilatasi dari gambar
berwarna merah. Tentukan faktor skalanya!
a.
1
2
3
4
1
2
3
4
0
Gambar 3.78 Dilatasi Ruas
Garis AB
b.
Gambar 3.79 Dilatasi Segitiga
ABC
1
2
3
4
-1
-2
-3
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-4
-5
-5
c.
Gambar 3.80 Dilatasi
Segiempat ABCD
1
2
3
4
-1
-2
-3
1
2
3
-1
-2
0
d.
Gambar 3.81 Dilatasi Segitiga
63°
63°
45°
45°
D Perhatikan Gambar 3.82!
(i)
(ii)
(iii)
Gambar 3.82 Dilatasi [O,
1
2
1
]
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
201
Salinlah bangun datar pada gambar tersebut, kemudian gambarlah
bayangan hasil dilatasi dengan pusat Odan faktor skala
1
2
1
.
Penerapan Konsep
E Salinlah Gambar 3.83 berikut, kemudian gambarkan bayangan
dilatasi dengan berpusat di Odan faktor skala 2!
1
2
3
4
1
2
3
4
0
5
6
5
6
7
8
Gambar 3.83 Segitiga ABC
a. Hitunglah luas bangun awal dan bayangannya!
b. Berapakah perbandingan luas bangun awal dan bayangannya?
F Gambarlah ΔOVW dengan O(0,0), V(-4,0), dan W(0,6).
a. Gambarkan ΔOV'W' dengan dilatasi [O,-
1
2
1
]! Gambarkan
juga ΔOV''W'' dengan dilatasi [O,
1
2
1
]!
b. Tuliskan koordinat V',W',V'' dan W''!
c. Tentukan faktor skala dilatasi ΔOV'W'ke ΔOV''W''!
G Suatu segitiga ABC siku-siku di titik B memiliki panjang AB=8 cm,
BC=15 cm, dan AC=17 cm. Jika ΔA'B'C' merupakan hasil dilatasi
dari ΔABC dengan faktor skala 3, maka luas ΔA'B'C' adalah…
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
202
Ringkasan
B Transformasi geometri merupakan perubahan suatu bentuk
geometri menjadi bentuk geometri yang lain, baik dengan cara
digeser, diputar, dicerminkan, didilatasikan atau cara lainnya.
C Translasi (pergeseran)
a. Translasi adalah perubahan posisi suatu objek (titik, garis, atau
bangun) dengan ukuran jarak dan arah yang sama.
b. Bayangan titik A(x,y) oleh translasi
b
a
`j
adalah A'(x+a,y+b).
D Reeksi (Pencerminan)
a. Reeksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik
pada suatu objek dengan menggunakan sifat pada cermin datar.
b. Bayangan titik P(x,y) yang direeksikan terhadap sumbu x
adalah P'(x,-y).
c. Bayangan dari titik P(x,y) yang direeksikan terhadap sumbu y
adalah P'(-x, y).
d. Bayangan dari titik P(x,y) yang direeksikan terhadap titik
pusat O(0,0) adalah P'(-x,-y).
e. Bayangan titik P(x,y) yang direeksikan terhadap garis y=x
adalah P'(y, x).
f. Bayangan titik P(x,y) yang direeksikan terhadap garis y=-x
adalah P(-y,-x).
g. Bayangan titik P(x, y) yang direeksikan terhadap garis x=k
adalah P'(2k-x,y).
h. Bayangan titik P(x,y) yang direeksikan terhadap garis y=h
adalah P'(x, 2h-y).
E Rotasi (Perputaran)
a. Rotasi adalah transformasi dengan memutar suatu objek
sampai sudut dan arah tertentu terhadap titik yang tetap/titik
pusat rotasi.
b. Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh pusat rotasi, besar
sudut rotasi, dan arah rotasi.
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
203
Tabel 3.19 Bayangan Hasil Rotasi Titik
Titik
Awal
Pusat
Rotasi
Sudut
Rotasi
Arah Rotasi
Bayangan
Hasil
Rotasi
(x, y) (0,0) 90° Searah jarum jam (y,-x)
(x, y) (0,0) 90°
Berlawanan arah
jarum jam
(-y, x)
(x, y) (0,0) 180°
Searah jarum jam/
berlawanan arah
jarum jam
(-x,-y)
(x, y) (0,0) 270° Searah jarum jam (-y, x)
(x, y) (0,0) 270°
Berlawanan arah
jarum jam
(y,-x)
F Kekongrunenan
a. Suatu bangun dikatakan kongruen dengan bangun yang lain
jika dapat dipindahkan dengan melakukan translasi, reeksi,
atau rotasi agar kedua bangun tepat saling berimpit.
b. Dua buah segi banyak dikatakan saling kongruen jika memenuhi
syarat berikut.
1) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dan
2) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
c.Dua segitiga akan kongruen jika memenuhi salah satu dari
kriteria berikut.
1) Ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang (S-S-S)
2) Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sebuah sudut
yang diapit sama besar (S-Sd-S)
2) Satu sisi yang bersesuaian sama panjang dan dua sudut
sama besar (Sd-S-Sd)
G Dilatasi (Pembesaran)
a. Setiap titik Ayang didilatasikan pada pusat Odan faktor skala
k berlaku
'AO kOA
=
.
A
A
Faktorskala
jarakdaripusat dilatasi
ke titik
jarakdaripusat dilatasi ke titik
l
=
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
204
b. Dilatasi dengan pusat O dan faktor skala k dapat dinotasikan
dengan [O,k].
c. Bayangan dari titik A(x,y) yang didilatasikan terhadap pusat
O(0,0) dan faktor skala k adalah A'(kx,ky).
d. Bayangan dari titik A(x,y) yang didilatasikan terhadap pusat
P(a,b) dan faktor skala k adalah A'(k(x-a)+a,k(y-b)+b).
Uji Kompetensi
Jawablah pertanyaan berikut dengan tepat dan jelas!
Uji Pemahaman
Benar atau Salah. Untuk soal nomor 1–10, tentukan apakah
pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah.
B Jenis transformasi yang tidak mengalami perubahan ukuran pada
bangun datar adalah translasi dan dilatasi.
C Transformasi yang bayangannya memiliki orientasi berlawanan
dengan bentuk awal adalah reeksi.
D Suatu titik yang ditranslasikan oleh
4
5
a
k
dilanjutkan translasi oleh
6
8
-
-
bl
akan menghasilkan koordinat yang sama dengan koordinat
awal jika ditranslasikan oleh
2
3
-
-
bl
.
E Suatu titik dirotasikan sebesar 140º yang diikuti dengan rotasi
sebesar 260º dengan arah yang sama akan menghasilkan bayangan
yang sama jika titik tersebut dirotasikan sebesar 40º.
F Titik A(3,4) direeksikan terhadap titik pusat (0,0) akan
menghasilkan bayangan yang sama dengan translasi oleh
8
6
-
-
bl
.
G Dua bangun yang memiliki sudut yang bersesuaian sama besar
akan kongruen jika terdapat satu sisi yang bersesuaian sama besar.
H Bangun A dikatakan kongruen dengan bangun B jika dapat
ditunjukkan bahwa bangun Amerupakan hasil transformasi dari
bangun B.
I Jika suatu persegi didilatasikan dengan faktor skala 2 maka luas
bayangan menjadi 2 kali dari luas persegi awal.
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
205
J Segitiga ABC dengan A(-2,3), B(4,1), C(-2,1) yang didilatasikan
terhadap
,O
2
1
:
D
akan menghasilkan bayangan A'B'C'dengan
',
A 1
2
3
-
a
k
,
,B 2
2
1
l
a
k
,
,C 1
2
1
-
a
k
.
K Gambar B merupakan hasil dilatasi dari gambar A dengan faktor
skala 2 dan pusat dilatasi O(0,0)
1
2
3
4
-1
-2
-3
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
6
5
-4
Gambar 3.84 Hasil Dilatasi Bangun Datar A
Menggambar. Untuk soal nomor 11–13, salinlah gambar pada kertas
berpetak dan lakukan transformasinya.
L Reeksikan bangun datar berikut terhadap garis reeksi l.
Gambar 3.85 Hasil Reeksi Terhadap Garis Reeksi l
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
206
M Rotasikan bangun datar berikut sebesar 180º terhadap pusat rotasi
O.
Gambar 3.86 Hasil Rotasi Titik Pusat O
N Translasikan bangun datar berikut berdasarkan arah translasi yang
diberikan
Gambar 3.87 Hasil Translasi Segi Empat
Untuk nomor 14–15, salinlah bangun datar berikut dan gambarkan
bayangan sesuai dengan aturan yang diberikan. Selanjutnya identikasi
jenis transformasinya.
O (x, y)"(x+3, y)
Gambar 3.88 Transformasi (x, y)"(x+3, y)
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
207
P (x, y)"(-x, y)
y
x
Gambar 3.89 Transformasi (x, y)"(-x, y)
Isian Singkat. Untuk no 18–22, isilah titik-titik pada pernyataan berikut
sehingga menjadi pernyataan lengkap dan benar.
Q Pencerminan terhadap titik pusat (0,0) akan menghasilkan
bayangan yang sama dengan jika dirotasikan sebesar …terhadap
titik pusat (0,0).
R Titik A(3,-4) yang direeksikan terhadap sumbu x memiliki
bayangan di ….
S Hasil bayangan titik (x,y) yang dirotasikan sebesar 90º berlawanan
arah jarum jam terhadap titik pusat(0,0) adalah ….
T Titik P(-3,2) dicerminkan terhadap sumbu y akan menghasilkan
bayangan di titik ….
U Garis 3x+y=3 di translasikan sebesar
3
4
-
bl
. Bayangannya adalah
….
V Titik M'(-5,-4) merupakan hasil rotasi sebesar 180º terhadap titik
pusat (0,0). Titik awalnya adalah ….
W Diketahui titik W(u,v) dicerminkan terhadap garis y=3
menghasilkan bayangan di titik W'(-3,2), maka nilai u+v adalah
….
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
208
Penerapan
Permainan Golf. Untuk soal 23-24. Dimulai dari titik V, tentukan titik
sasaran pada dinding agar bola golf tepat memantul hanya satu kali
dari dinding dan masuk ke lubang W.
X
V
W
Gambar 3.90 Bentuk Lapangan Golf I
Y
V
W
Gambar 3.91 Bentuk Lapangan Golf II
Penalaran
Z Jalan raya sedang dibangun dekat dengan dua desa yaitu Desa
Warnasari dan Desa Lebakdenok. Dari kedua desa akan dibangun
jalan menuju satu titik persimpangan jalan raya. Tentukan letak
titik persimpangan sehingga jarak dari Desa Warnasari ke Desa
Lebakdenok terpendek. Berikan alasanmu!
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
209
Gambar 3.92 Menemukan Persimpangan Terdekat
8 Perhatikan gambar 3.93.
B
C
D
A
E
Gambar 3.93 Segitiga ABC
∆ABC siku-siku di B. CD adalah garis bagi ∠BCA dan panjang
AB=BC. Tunjukkan bahwa AC=BC+DE!
Proyek
Desain Batik Kamu Sendiri
Sekarang kalian akan belajar menjadi seorang Seniman Batik! Di
aktivitas ini, kalian akan membuat desain batik yang indah dengan
menggunakan aplikasi Geometry. Untuk itu, siapkan terlebih dahulu
aplikasi GeoGebra secara online melalui link berikut: www.geogebra.
org/download. Selanjutnya pilih aplikasi Geometry dengan mengklik
START.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
210
Untuk mengoptimalkan aplikasi Geometry secara online, kalian
dapat Sign In dengan menggunakan akun masing-masing. Untuk yang
belum mempunyai akun di GeoGebra, kalian dapat langsung Sign In
menggunakan akun Google, Microsoft Oce 365, Facebook, atau Twitter.
Setelah kalian siap menggunakan aplikasi Geometry, lakukan
langkah-langkah berikut bersama dengan 2 – 3 teman kalian.
B Klik menu Tools
, kemudian pada Basic Tools klik Polygon .
C Buatlah bangun datar/poligon sebagai pola awal. Sebagai inspirasi
kalian dapat membuat bangun ABCDEFpada bidang koordinat
seperti terlihat pada Gambar 3.94.
1
2
3
4
-1
-2
-3
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
6
5
-4
-5
Gambar 3.94 Contoh bangun datar awal
D Selanjutnya lakukan transformasi geometri pada bangun yang
kalian buat dengan memilih menu Transform pada menu Tools.
: Translasi sejauh garis vector.
: Reeksi terhadap garis.
: Rotasi terhadap titik pusat.
: Reeksi terhadap titik.
: Dilatasi terhadap titik dilatasi.
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
211
E Proses transformasi dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.
a. Setelah dilakukan
beberapa transformasi
1
2
3
4
-1
-2
-3
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
6
5
-4
-5
Gambar 3.95 Transformasi I
b. Mengambil pola yang
diinginkan
1
2
3
4
-1
-2
-3
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
6
5
-4
-5
Gambar 3.96 Transformasi II
c. Pola yang diinginkan
1
2
3
4
-1
-2
-3
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
5
-4
-5
Gambar 3.97 Transformasi III
d. Melakukan proses dilatasi
1
2
3
4
-1
-2
-3
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-4
0
Gambar 3.98 Transformasi IV
e. Pewarnaan
Gambar 3.99 Transformasi V
f. Desain akhir batik
Gambar 3.100 Transformasi VI
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
212
F Hasil desain batik yang diperoleh sekali lagi hanya sebagai inspirasi.
Ayo kembangkan kreativitas kalian untuk membuat desain batik
kalian sendiri! Kemudianpresentasikan hasil desain batik kalian di
depan kelas.
G Catat berapa banyak kalian melakukan transformasi geometri
dalam membuat desain batik.
H Berapa banyak bangun yang kongruen yang sudah kalian buat?
Sumber Belajar Lanjutan
Berikut ini adalah beberapa sumber belajar lain yang dapat kalian
gunakan untuk memperdalam atau memperluas pengetahuan kalian
mengenai transformasi geometri.
Laman ini merupakan geogebra book sebagai
aktivitas interaktif untuk mempelajari langkah-
langkah dalam melakukan transformasi geometri.
http://ringkas.kemdikbud.go.id/TransGeo
Kalian dapat mempelajari konsep-konsep
transformasi pada Unit 1. Rigid Transformations
and Congruence dan Unit 2. Dilations, Similarity,
and Introducing Slope.
http://ringkas.kemdikbud.go.id/TransKongruen
Refleksi
Kalian telah menyelesaikan pembelajaran Bab 3 Transformasi
Geometri. Untuk itu, ayo bereeksi dengan menanggapi pertanyaan
atau pernyataan berikut!
B Manfaat apa saja yang kalian rasakan dan pikirkan mengenai
transformasi geometri?
C Bagaimana cara belajar kalian selama mempelajari transformasi
geometri? Apakah sudah berhasil atau belum?
perpuskita/8/2024
Bab III - Transformasi Geometri
213
D Sekarang, nilailah diri kalian sendiri dengan mencentang bagian
yang sesuai pada tabel berikut.
No. TARGET PEMBELAJARAN
Translasi
1.
Aku dapat memahami pengertian translasi
dengan baik.
2.
Aku dapat menunjukkan bentuk bangun
hasil translasi.
3.
Aku dapat menentukan koordinat hasil
translasi pada bidang koordinat.
Reeksi
4.
Aku dapat memahami pengertian reeksi
dengan baik.
5.
Aku mengetahui cara mereeksikan
bangun pada bidang koordinat.
6.
Aku dapat menentukan koordinat hasil
reeksi pada bidang koordinat.
Rotasi
7.
Aku dapat memahami pengertian rotasi
dengan baik.
8.
Aku mengetahui cara merotasikan bangun
pada bidang koordinat.
9.
Aku dapat menentukan koordinat hasil
rotasi pada bidang koordinat.
Kekongruenan
10.
Aku dapat memahami pengertian kongruen
dengan baik.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
214
No. TARGET PEMBELAJARAN
11.
Aku mengetahui ciri-ciri bangun yang
saling kongruen.
Dilatasi
12.
Aku dapat memahami pengertian dilatasi
dengan baik.
13.
Aku mengetahui cara mendilatasikan
bangun pada bidang koordinat.
14.
Aku dapat menentukan koordinat hasil
dilatasi pada bidang koordinat.
perpuskita/8/2024
Bab IV
Tujuan Pembelajaran
Di dalam bab ini, kalian akan belajar bagaimana menentukan peluang suatu
kejadian, baik peluang teoretis maupun empiris. Selain itu, kalian juga akan
belajar bagaimana menentukan frekuensi harapan suatu kejadian dan memilih
sampel dari suatu populasi.
Peluang dan
Pemilihan Sampel
KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI
REPUBLIK INDONESIA, 2022
Matematika
untuk SMP/MTs Kelas IX
Penulis:Yosep Dwi Kristanto, dkk
ISBN:978-602-427-918-9 (jil.3)
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
216
Ayo Bersiap Belajar!
Hampir semua orang suka
bermain gim! Ketika memainkan
sebuah gim atau permainan,
apakah kalian ingin menang?
Iya, tentu saja! Di beberapa gim,
kalian dapat mengetahui seberapa
besar kemungkinan atau peluang
memenangkannya. Peluang inilah
yang akan kalian pelajari di dalam
bab ini.
Pada bab ini, kalian akan diajak untuk memilih gim yang paling
menguntungkan bagi kalian. Bahkan, di akhir Subbab C kalian diajak
untuk bermain Gim Koin bersama dengan teman kalian.
Tak hanya itu, kalian juga akan belajar tentang pemilihan sampel.
Di bagian akhir bab ini kalian juga diberi kesempatan untuk berkreasi
melalui aktivitas proyek, lihat halaman 277. Di dalam proyek itu, kalian
bersama dengan teman-teman kalian akan membuat ketapel yang
akurat. Tidak sabar memulainya? Ayo pelajari bab ini dengan penuh
semangat!
A. Peluang
Apakah kalian pernah menebak kemungkinan suatu kejadian akan
terjadi? Di aktivitas Eksplorasi 4.1 berikut ini, kalian akan mencoba
melakukannya.
Eksplorasi
4.1
Menjadi Negara Maju di Tahun 2045
Pada tahun 2045, usia negara Indonesia tepat 100 tahun. Coba tebak
seberapa mungkin Indonesia menjadi negara maju pada tahun itu!
(Centanglah (
)pilihan yang sesuai dengan tebakan kalian!)
Tidak
mungkin
Kecil
kemungkinannya
Mungkin iya,
mungkin tidak
Sangat
mungkin
Pasti
Gambar 4.1 Salah Satu Contoh Gim
Gambar: Peggychoucair/Pixabay
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
217
1. Apakah jawaban kalian sama dengan jawaban teman kalian?
Mengapa?
2. Indeks Pembangunan Manusia (IPM) merupakan salah satu
kriteria utama untuk menentukan apakah suatu negara
masuk negara maju atau tidak. Diagram pada Gambar 4.2 ini
menunjukkan IPM Indonesia mulai tahun 1990 sampai 2019.
2000
0,2
0,4
0,6
0,8
2005
2010
2015
1995
Indeks Pembangungan
Manusia
Gambar 4.2 IPM Indonesia 1990–2019
Semua negara maju memiliki IPM yang sangat tinggi, yaitu lebih
dari 0,8. Rata-rata IPM negara maju adalah sekitar 0,907. Fakta-
fakta ini apakah mengubah tebakan kalian apakah Indonesia
menjadi negara maju di tahun 2045? Mengapa?
Yang kalian lakukan di aktivitas eksplorasi sebelumnya adalah
menduga kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Dugaan kalian
tersebut sifatnya subjektif. Artinya, dugaan kalian kemungkinan akan
berbeda dengan dugaan teman-teman kalian, tergantung pertimbangan-
pertimbangan yang kalian gunakan sebagai dasarnya.
Berikut ini contoh-contoh pertanyaan mengenai dugaan
kemungkinan suatu kejadian secara subjektif.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
218
Seberapa mungkin
sebuah helikopter
akan mendarat di
halaman sekolahmu
besok?
Seberapa mungkin
kalian akan masuk
ke SMA idaman
kalian?
Seberapa
mungkin kalian
akan menikmati
pembelajaran
Matematika hari ini?
Di aktivitas eksplorasi selanjutnya, kalian diajak untuk membuat
sebuah keputusan berdasarkan besarnya kemungkinan beberapa
kejadian akan terjadi.
Eksplorasi
4.2
Memenangkan Sebuah Gim
Ketika mengikuti sebuah gim atau permainan, seringkali kalian
perlu membuat pilihan yang tepat untuk memenangkannya.
Perhatikan aturan-aturan gim pada tiap-tiap nomor berikut!
B Di dalam gim lempar undi sebuah dadu, kalian diberi kesempatan
untuk memilih salah satu aturan berikut. Aturan mana yang
kalian pilih? Mengapa?
ⓐ Kalian akan menang jika mendapatkan mata dadu 2.
ⓑ Kalian akan menang jika mendapatkan mata dadu bilangan
genap.
ⓒ Kalian akan menang jika memperoleh mata dadu 1 atau 5.
C Gim kedua adalah melempar dua koin yang masing-masing
punya dua sisi, yaitu sisi angka dan sisi gambar. Dari aturan-
aturan berikut ini, mana yang akan kalian pilih?
ⓐ Kalian akan menang jika memperoleh satu sisi angka dan
satu sisi gambar.
ⓑ Kalian akan menang jika kedua koinnya muncul sisi gambar.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
219
D Gim ketiga adalah lempar undi dua buah dadu. Urutkan aturan-
aturan berikut ini dari yang paling kalian pilih sampai yang
paling kalian hindari!
ⓐ Kalian akan menang jika mata dadu pertama dan kedua
yang muncul jumlahnya 11.
ⓑ Kalian akan menang jika mata dadu pertama dan kedua
yang muncul jumlahnya 1.
ⓒ Kalian akan menang jika mata dadu pertama dan kedua
yang muncul jumlahnya 7.
1. Dasar-Dasar Peluang
Di dalam aktivitas Eksplorasi 4.2, bagaimana cara kalian menentukan
pilihan? Bandingkan cara kalian dengan cara yang dilakukan oleh Abel
berikut.
Eksplorasi
4.3
Mencermati Cara Abel
Di aktivitas ini, silakan cermati cara Abel dalam menjawab soal
nomor 3 pada aktivitas Eksplorasi 4.2!
B Pertama, Abel mendaftar semua kemungkinan hasil yang
diperoleh jika dia melempar undi dua buah dadu. Semua
kemungkinan hasilnya itu ditunjukkan pada Tabel 4.1 berikut.
Tabel 4.1 Daftar Kemungkinan Kemunculan Mata Dadu
Mata Dadu Kedua
1 2 3 4 5 6
Mata Dadu Pertama
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
220
Apakah Abel sudah mendaftar semua kemungkinannya?
C Berikutnya, Abel menjumlahkan dua bilangan yang mungkin
muncul pada mata dadu pertama dan kedua. Pekerjaannya
disajikan pada Tabel 4.2 berikut.
Tabel 4.2 Daftar Jumlah Mata Dadu
Mata Dadu Kedua
1 2 3 4 5 6
Mata Dadu Pertama
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Oleh karena itu, dia mendapatkan semua kemungkinan
munculnya dua mata dadu yang jika dijumlahkan hasilnya 11,
1, dan 7 sebagai berikut.
Jumlahnya 11
: (5, 6) dan (6, 5)
Jumlahnya 1
: tidak ada
Jumlahnya 7 : (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)
Apakah menurut kalian pekerjaan Abel tersebut sudah tepat?
D Abel mengamati dan membandingkan bahwa banyaknya
kemungkinan munculnya dua mata dadu yang jika dijumlahkan
hasilnya 11, 1, dan 7 adalah sebagai berikut.
Jumlahnya 11 :2 kemungkinan
Jumlahnya 1 :0 kemungkinan
Jumlahnya 7 :6 kemungkinan
Dengan demikian, dia memilih aturan yang ketiga (dia akan
menang jika mendapatkan mata dadu-mata dadu yang
jumlahnya 7) dan menghindari gim dengan aturan yang kedua
(dia akan menang jika memperoleh mata dadu-mata dadu
dengan jumlah 1).
Apakah kalian setuju dengan pilihannya Abel? Mengapa?
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
221
Di eksplorasi sebelumnya, Abel menyelidiki kegiatan lempar undi
dadu. Lempar undi dadu tersebut dinamakan percobaan. Untuk
menyelidikinya, di langkah pertama dia mendaftar semua kemungkinan
hasil percobaan tersebut. Langkah tersebut menghasilkan suatu ruang
sampel. Kemudian, dia mendaftar kemungkinan-kemungkinan hasil
dari kejadian mendapatkan mata dadu dengan kriteria tertentu, yaitu
yang jumlahnya 11, 1, dan 7. Lalu, apa itu percobaan, ruang sampel,
dan kejadian? Perhatikan denisi berikut ini.
Definisi
4.1
Percobaan, Hasil, Ruang Sampel, dan Kejadian
•
Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan satu atau lebih
hasil.
• Hasil percobaan adalah luaran yang dapat terjadi di dalam
suatu percobaan.
•
Ruang sampel adalah himpunan yang memuat semua
kemungkinan hasil dari suatu pecobaan. Anggota ruang sampel
dinamakan titik sampel.
•
Kejadian adalah himpunan yang memuat hasil percobaan
dengan kriteria tertentu.
Salah satu hal penting untuk menyelidiki peluang adalah
menentukan ruang sampelnya. Ruang sampel ini disimbolkan dengan
S. Untuk memahaminya, perhatikan Contoh 4.1 berikut.
Contoh
4.1
Menentukan Ruang Sampel
Kalian akan melakukan percobaan pelemparan dua koin seperti
pada Gambar 4.3. Tentukan ruang sampelnya.
Gambar 4.3 Percobaan Pelemparan Dua Koin
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
222
Alternatif Penyelesaian
Semua kemungkinan hasil percobaan pelemparan dua koin mudah
dilakukan dengan menggunakan tabel, seperti yang dilakukan Abel
pada aktivitas eksplorasi sebelumnya. Misalkan A dan G secara
berturut-turut merupakan simbol munculnya permukaan angka dan
permukaan gambar. Tabel 4.3 menyajikan semua kemungkinannya.
Tabel 4.3 Penentuan Ruang Sampel dengan Tabel
Koin Kedua
A G
Koin
Pertama
A (A, A) (A, G)
G (G, A) (G, G)
Cara berikutnya yang dapat dilakukan untuk menentukan ruang
sampel adalah dengan menggunakan diagram pohon seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 4.4 berikut.
Koin
Pertama
Koin
Kedua
Hasil
A
G
A
G
A
G
(A, A)
(A, G)
(G, A)
(G, G)
Gambar 4.4 Penentuan Ruang Sampel dengan Diagram Pohon
Cara terakhir adalah dengan mendaftar seluruh kemungkinan
kejadian. Jika didaftar, ruang sampel dari percobaan tersebut
adalah sebagai berikut.
S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)}
Tentukan ruang sampel dari percobaan pelemparan tiga buah
koin.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
223
Di Contoh 4.1 kalian telah mengetahui semua anggota ruang sampel
dari percobaan pelemparan dua koin. Banyak anggota ruang sampel
tersebut adalah 4. Banyak anggota ruang sampel disimbolkan dengan
n(S). Dengan demikian, ruang sampel di Contoh 4.1 memiliki banyak
anggota n(S)= 4.
Tentukan ruang sampel dari percobaan pelemparan satu atau
lebih koin! Setelah itu, tentukan banyak anggota ruang sampel itu
di dalam Tabel 4.4 berikut!
Tabel 4.4 Banyaknya Anggota Ruang Sampel
Banyak Koin 1 2 3 4
n(S)
Temukan pola n(S)dalam tabel itu dan jawablah pertanyaan-
pertanyaan berikut ini.
ⓐ Tentukan banyaknya anggota ruang sampel pelemparan 6 dan
10 buah koin.
ⓑ Berapakah banyaknya anggota ruang sampel pelemparan n
buah koin?
2. Nilai Peluang
Di dua aktivitas eksplorasi sebelumnya kalian diajak untuk memilih
gim yang menguntungkan. Di aktivitas eksplorasi ini kalian juga akan
melakukan aktivitas yang serupa.
Eksplorasi
4.4
Memilih Gim
Di aktivitas eksplorasi ini, kalian akan diajak untuk mengamati dan
memilih dua buah gim.
Ayo Berpikir Kreatif 4.1
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
224
B Dari dua gim pada Gambar 4.5 ini, gim mana yang kalian pilih?
Mengapa?
Dalam lempar undi sebuah
koin, kalian menang jika
mendapat sisi gambar.
Dalam lempar undi sebuah
dadu, kalian menang jika
mendapat mata dadu 1 atau 5.
Gambar 4.5 Dua Jenis Gim
C Ketika diberi pilihan di nomor 1, Sondang memilih gim pertama.
Alasannya, di gim pertama dia memiliki dua kemungkinan untuk
menang, yaitu ketika dia mendapatkan 1 atau 5. Hal tersebut
lebih banyak daripada di gim kedua yang memungkinkan dia
menang ketika mendapatkan sisi gambar saja.
Apakah kalian setuju dengan Sondang? Mengapa?
Setelah menyelesaikan aktivitas eksplorasi sebelumnya, kalian
diajak untuk memikirkan tentang peluangsuatu kejadian. Untuk
menentukan peluang suatu kejadian, kalian tidak cukup hanya
memperhatikan banyaknya anggota kejadiannya tetapi juga perlu
mempertimbangkan banyaknya ruang sampelnya. Perhatikan denisi
berikut!
Definisi
4.2
Peluang Suatu Kejadian
Peluang suatu kejadian adalah suatu bilangan yang menunjukkan
seberapa mungkin kejadian tersebut terjadi.
Jika semua hasil suatu percobaan memiliki kemungkinan yang
sama untuk terjadi, peluang kejadian A, yang disimbolkan dengan
P(A), ditentukan dengan rumus sebagai berikut.
PA
nS
nA
=
^
^
^
h
h
h
dengan n(A) adalah banyaknya anggota kejadian A dan n(S) adalah
banyaknya anggota ruang sampel S.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
225
Peluang yang didenisikan dalam Denisi 4.2 disebut dengan
peluang teoretis. Untuk lebih memahami perhitungan peluang seperti
ini, perhatikan Contoh 4.2 berikut ini.
Contoh
4.2
Menentukan Peluang Suatu Kejadian
Sebuah tas berisi lima bola bergambar burung maleo dan tiga
bola bergambar komodo. Jika kalian akan mengambil satu bola
dari tas tersebut secara acak, berapakah peluang terambilnya bola
bergambar komodo?
Alternatif Penyelesaian
Percobaan dalam soal ini adalah pengambilan satu bola secara acak
dari sebuah tas yang memuat lima bola bergambar burung maleo
dan tiga bola bergambar komodo, perhatikan Gambar 4.6.
Gambar 4.6 Percobaan Pengambilan Bola
Banyaknya anggota ruang sampel percobaan ini adalah n(S)= 8
karena banyaknya bola dalam tas tersebut adalah 5 + 3 = 8. Jika
dirinci, anggota ruang sampelnya adalah sebagai berikut.
S = {M
1
, M
2
, M
3
, M
4
, M
5
, K
1
, K
2
, K
3
}
dengan M
1
, M
2
, M
3
, M
4
, dan M
5
adalah bola pertama sampai kelima
yang bergambar burung maleo dan K
1
, K
2
, dan K
3
adalah bola
pertama sampai ketiga yang bergambar komodo.
A adalah kejadian terambilnya bola bergambar komodo. Banyaknya
kejadian terambilnya bola bergambar komodo adalah n(A)= 3
karena banyaknya bola bergambar komodo dalam tas tersebut
adalah 3. Rincian anggota kejadian tersebut adalah sebagai berikut.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
226
A = {K
1
, K
2
, K
3
}
Dengan demikian, peluang kejadian terambilnya bola bergambar
komodo adalah:
PA
nS
nA
8
3
==
^
^
^
h
h
h
Nilai peluang tersebut dapat dinyatakan ke dalam pecahan desimal
menjadi 0,375 atau ke dalam persentase menjadi 37,5%.
Satu pak kartu terdiri dari kartu-kartu yang diberi nomor
berurutan, mulai dari 10 sampai 20. Jika kalian mengambil
satu kartu secara acak, tentukan peluang kalian mendapatkan
kartu bernomor genap. Tuliskan hasilnya dalam pecahan biasa,
pecahan desimal, dan persentase.
Di sebuah kelas akan dilakukan pemilihan seorang ketua kelas.
Karena siswa-siswa dalam kelas tersebut berjenis kelamin laki-laki
atau perempuan, peluang terpilihnya ketua kelas yang berjenis
kelamin perempuan adalah 50%.
Apakah kalian setuju dengan perhitungan peluang seperti ini?
Mengapa?
Di kegiatan-kegiatan sebelumnya kalian telah memahami peluang
dan berlatih bagaimana menentukan peluang. Di aktivitas eksplorasi
berikutnya, kalian akan menyelidiki rentang nilai peluang.
Eksplorasi
4.5
Rentang Nilai Peluang
Berapa sajakah nilai-nilai yang mungkin dari peluang suatu
kejadian? Untuk menjawab pertanyaan ini, kerjakan langkah-
langkah berikut ini.
Ayo Mencoba
Ayo Berpikir Kritis 4.1
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
227
B Paulina akan melempar undi sebuah dadu yang mempunyai
enam sisi. Tuliskan ruang sampelnya.
C Daftarlah semua anggota kejadian-kejadian berikut.
ⓐ Paulina mendapatkan mata dadu 7.
ⓑ Dia memperoleh mata dadu bilangan prima.
ⓒ Dia mendapatkan mata dadu yang lebih dari 0.
D Dari langkah-langkah sebelumnya, hubungan apa yang dapat
kalian peroleh dari ruang sampel dan kejadian? Bandingkan
banyaknya anggota ruang sampel percobaan tersebut dengan
banyaknya anggota kejadian.
E Dengan menggunakan rumus peluang di Denisi 4.2 dan
hasil yang kalian peroleh di langkah 3, apa yang dapat kalian
simpulkan mengenai rentang nilai peluang?
Di aktivitas eksplorasi sebelumnya, kalian telah menemukan
rentang nilai peluang suatu kejadian. Rentang nilai itu disajikan dalam
Sifat 4.1 berikut.
Sifat
4.1
Rentang Nilai Peluang
Peluang suatu kejadian memiliki nilai mulai dari 0 sampai dengan 1.
Kejadian yang peluangnya 0 disebut dengan kejadian yang
mustahil, sedangkan kejadian yang peluangnya 1 disebut dengan
kejadian pasti.
Untuk lebih memahami kejadian yang mustahil dan pasti, silakan
perhatikan Contoh 4.3 berikut.
Contoh
4.3
Menentukan Kejadian yang Mustahil dan Pasti
Manakah di antara kejadian-kejadian berikut yang merupakan
kejadian yang mustahil atau pasti?
ⓐ Dalam pengambilan satu bola secara acak dari sebuah tas yang
berisi satu bola merah dan tiga bola hijau, diperoleh bola merah
atau hijau.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
228
ⓑ Dalam pengambilan satu kartu secara acak dari satu pak
kartu yang berisi kartu-kartu bernomor 1–10, diperoleh kartu
bernomor bilangan yang lebih dari 10.
ⓒ Dalam lempar undi sebuah koin sebanyak tiga kali, diperoleh
minimal dua sisi gambar.
Alternatif Penyelesaian
ⓐ Kejadian di poin ⓐ merupakan kejadian pasti. Ketika kita
mengambil satu bola dari tas itu, bola yang kita dapatkan pasti
berwarna merah atau hijau.
ⓑ Kejadian di poin ⓑ adalah kejadian yang mustahil karena tidak
ada kartu di dalam pak kartu tersebut yang nomornya lebih dari
10.
ⓒ Untuk kejadian di poin ⓒ ini, kalian mungkin menduga bahwa
kejadiannya tidak mustahil dan juga tidak pasti. Untuk melihat
dugaan itu benar atau salah, kita tentukan peluang kejadian
tersebut.
Pertama, kita tentukan anggota-anggota ruang sampelnya
dengan diagram pohon. Perhatikan Gambar 4.7.
A
G
A
G
A
G
A
G
A
G
A
G
A
G
(A, A, A)
(A, A, G)
(A, G, A)
(A, G, G)
(G, A, A)
(G, A, G)
(G, G, A)
(G, G, G)
Koin
Pertama
Koin
Kedua
Koin
Ketiga
Hasil
Gambar 4.7 Diagram Pohon Pelemparan Satu Koin Tiga Kali
Dari Gambar 4.7 tersebut, kita mendapatkan ruang sampelnya
adalah sebagai berikut.
S ={(A, A, A), (A, A, G), (A, G, A), (A, G, G), (G, A, A), (G, A, G),
(G, G, A), (G, G, G)}
Dengan demikian, n(S)= 8.
Dari ruang sampel tersebut, kejadian diperoleh minimal dua sisi
gambar (kita misalkan B) adalah sebagai berikut.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
229
B = {(A, G, G), (G, A, G), (G, G, A), (G, G, G)}
Dengan demikian, n(B)= 4.
Oleh karena itu, peluang kejadian tersebut adalah:
Karena nilai peluangnya bukan 0 ataupun 1, maka dugaan tadi
benar. Kejadian tersebut bukan kejadian yang mustahil ataupun
kejadian pasti.
Tentukan apakah kejadian-kejadian berikut ini merupakan
kejadian yang mustahil atau kejadian pasti.
ⓐ Dalam pengambilan satu buah kartu secara acak dari satu
pak kartu remi, didapatkan kartu Queen (lihat Gambar 4.8).
Gambar 4.8 Satu Pak Kartu Remi
ⓑ Dalam pelemparan satu buah dadu, diperoleh mata dadu
bilangan asli.
ⓒ Dalam pengambilan satu bola secara acak dari sebuah tas
yang berisi 17 bola putih, diperoleh bola merah.
Di aktivitas ini, kalian akan menemukan hubungan antara peluang
suatu kejadian dengan peluang komplemennya. Untuk itu, ayo
kerjakan masalah-masalah berikut!
Ayo Mencoba
Ayo Berpikir Kreatif 4.2
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
230
B Perhatikan Tabel 4.5 berikut ini!
Tabel 4.5 Kejadian 1 dan 2
Kejadian 1 Kejadian 2
Dalam pelemparan satu koin,
diperoleh sisi angka.
Dalam pelemparan satu koin,
diperoleh sisi gambar.
Dalam lempar undi sebuah
dadu, diperoleh mata dadu 1
atau 6.
Dalam lempar undi sebuah
dadu, diperoleh mata dadu 2,
3, 4, dan 5.
Dalam pemilihan 1 kartu
remi secara acak, diperoleh
kartu King.
Dalam pemilihan 1 kartu
remi secara acak, diperoleh
kartu yang bukan King.
Dalam lempar undi dua
buah koin, diperoleh sisinya
semuanya gambar.
ⓐ Temukan pola di setiap barisnya untuk mengisi sel yang
kosong!
ⓑ Di baris pertama sampai ketiga di Tabel 4.5, kejadian 2
merupakan komplemen dari kejadian 1. Berdasarkan hal
ini, menurut kalian, apa yang dimaksud komplemen suatu
kejadian?
C Untuk tiap-tiap kejadian berikut, tentukan peluangnya,
komplemennya, dan peluang komplemennya.
ⓐ Dalam lempar undi sebuah dadu, diperoleh mata dadu 1.
ⓑ Dalam pengambilan satu kartu remi secara acak,
didapatkan kartu As.
ⓒ Apakah ada hubungan antara peluang suatu kejadian
dengan peluang komplemen kejadian tersebut?
D Jika peluang kejadian A adalah P(A), tentukan peluang
terjadinya komplemen A (atau disimbolkan dengan A
c
).
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
231
Latihan
A
Peluang
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tepat dan jelas!
Pemahaman Konsep
B Benar atau Salah. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang
sampel.
C Peluang kejadian A merupakan hasil pembagian _____ oleh _____.
D Nilai peluang kejadian A merentang mulai dari _____ sampai dengan
_____.
Penerapan Konsep
E Tentukan ruang sampel tiap-tiap percobaan berikut.
ⓐ Pemilihan satu bulan dalam setahun secara acak.
ⓑ Pemilihan satu huruf vokal secara acak.
ⓒ Lempar undi satu buah dadu sebanyak dua kali.
F Tentukan banyaknya anggota ruang sampel percobaan-percobaan
berikut.
ⓐ Pemilihan satu kartu secara acak dari satu pak kartu remi.
ⓑ Pemilihan satu tanggal secara acak dalam satu tahun.
ⓒ Jenis kelamin dari seorang siswa yang pertama kali ditunjuk
oleh seorang guru dalam kelas yang terdiri dari 12 siswa laki-
laki dan 18 siswa perempuan.
G Tentukan peluang tiap-tiap kejadian berikut ini dan nyatakan
nilainya ke dalam pecahan biasa, pecahan desimal, dan persentase.
ⓐ Ketika memilih satu huruf dalam alfabet secara acak, kalian
mendapatkan huruf yang termuat dalam nama lengkap kalian.
ⓑ Dalam pemilihan satu hari dalam seminggu secara acak, kalian
mendapatkan hari lahir kalian atau hari lahir dua teman
terdekat kalian.
ⓒ Sebuah kotak berisi enam bola merah, dua bola kuning, dan
empat bola hijau. Dalam pengambilan satu bola dari kotak
tersebut secara acak, kalian mendapatkan bola yang bukan
merah.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
232
H Sebuah tas berisi empat kartu yang diberi nomor 1–4. Teman kalian
akan mengambil satu kartu secara acak dari tas tersebut. Jika dia tidak
mendapatkan kartu bernomor tiga, dia mengembalikan kartunya
dan mengambil satu kartu lagi secara acak. Demikian seterusnya
sampai dia mendapatkan kartu bernomor tiga. Di pengambilan
ke berapa, teman kalian berpeluang besar mendapatkan kartu
bernomor tiga?
B. Peluang Empiris
Untuk mengawali peluang empiris, ayo kerjakan aktivitas eksplorasi
berikut ini!
Eksplorasi
4.6
Memposisikan Pecahan pada Garis
Bilangan
Gambar 4.9 berikut memperlihatkan beberapa tempat kosong pada
garis bilangan dan beberapa pecahan.
0,275
0 1
18%
3
4
3
5
Gambar 4.9 Pecahan dan Garis Bilangan
Tanpa menggunakan kertas, pensil, dan alat bantu hitung, pasangkan
pecahan-pecahan pada Gambar 4.9 tersebut dengan posisinya yang
paling tepat!
Di Subbab A, kalian telah belajar bagaimana menentukan peluang
suatu kejadian setelah kalian mengetahui ruang sampelnya. Lalu,
bagaimana jika kalian belum mengetahui ruang sampelnya? Ayo
kerjakan aktivitas eksplorasi berikut ini!
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
233
Eksplorasi
4.7
Menduga Nilai Peluang
Di aktivitas ini kalian akan dipandu untuk menduga peluang suatu
kejadian yang belum diketahui ruang sampelnya.
B Guru kalian telah menyiapkan sebuah tas yang berisi banyak
kartu. Tiap-tiap kartu tersebut hanya mempunyai satu warna.
Guru kalian merahasiakan banyak kartunya dan apa saja
warnanya.
Dengan informasi ini, apakah kalian dapat menduga kartu apa
yang akan terambil jika kalian mengambil satu kartu secara
acak dari tas itu? Mengapa?
C Meskipun guru kalian merahasiakan banyak dan warna
kartunya, tetapi guru kalian memberi kesempatan kepada
salah satu dari kalian untuk mengambil satu kartu secara acak
dari tas tersebut, mencatat apa warnanya di papan tulis, dan
mengembalikan kartu tersebut ke dalam tas. Hal ini dilakukan
sebanyak 5 kali.
ⓐ Berdasarkan catatan di papan tulis tersebut, kartu warna
apa yang kalian duga berpeluang besar akan diperoleh jika
kalian diminta untuk mengambil satu kartu secara acak dari
tas itu?
ⓑ Apa yang akan kalian usulkan ke guru kalian agar dugaan
kalian semakin akurat? (Kalian tidak dapat mengusulkan
guru untuk memberitahu rahasia isi tasnya!)
Catatan: Langkah kedua ini perlu dilakukan di dalam
pembelajaran di kelas yang disertai dengan persiapan guru.
D Misalkan tiga teman kalian secara bergiliran melakukan
pengambilan kartu seperti aktivitas pada nomor 2. Banyaknya
pengambilan kartu yang dilakukan tiga teman kalian tersebut
berbeda-beda dan hasilnya disajikan sebagai berikut.
Teman 1 : M, P, P, P, P, M, P
Teman 2 : K, M, P, P, P, M, M, M, K, P, M, P, K
Teman 3 : K, P, M, K, M, P, P, M, P, P, P, M, M, P, M, P, P, M, P, M
dengan M, P, dan K secara berturut adalah kartu warna merah,
putih, dan kuning.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
234
Berdasarkan hasil teman-teman kalian tersebut, kartu warna
apa yang berpeluang besar akan kalian dapatkan jika kalian
mengambil satu kartu secara acak dari tas itu? Mengapa?
Jika kalian memiliki koneksi internet, kalian dapat melakukan
Aktivitas Interaktif berikut ini sebagai pengganti Eksplorasi 4.7.
Aktivitas Interaktif
Pindailah kode QR di samping atau kunjungi
tautan https://s.id/TebakKartu untuk melakukan
simulasi pengambilan kartu warna dari dalam
tas secara acak. Video tutorial tentang simulasi
tersebut dapat ditonton pada tautan berikut.
https://youtu.be/ai1BZJO-300
Pada aktivitas Eksplorasi 4.7 kalian perlu memperhatikan dua hal.
Pertama, soal nomor 2 dan 3 dalam eksplorasi tersebut melibatkan
percobaan pengambilan kartu secara berulang. Kumpulan percobaan
seperti itu selanjutnya kita sebut dengan eksperimen.
Kedua, dalam memilih kartu warna apa yang memiliki peluang
paling besar untuk muncul, kalian dapat membandingkan frekuensi
relatif kejadian terambilnya kartu warna merah, putih, atau kuning.
Apa itu frekuensi relatif? Mari cermati Denisi 4.3.
Definisi
4.3
Frekuensi Relatif
Frekuensi relatif suatu kejadian adalah proporsi banyaknya hasil
yang memenuhi kejadian tersebut terhadap total banyaknya
percobaan. Frekuensi relatif juga disebut dengan peluang empiris.
Untuk lebih memahami frekuensi relatif, cermati Contoh 4.4.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
235
Contoh
4.4
Menentukan Frekuensi Relatif
Dalam suatu eksperimen, sebuah roda bernomor diputar berkali-
kali. Banyaknya jarum menunjuk masing-masing nomor pada roda
tersebut disajikan pada Gambar 4.10.
1 2 3 4 5
0
Frekuensi
Nomor
2
4
6
8
10
12
Gambar 4.10 Pemutaran Roda Bernomor dan Hasilnya
Tentukan frekuensi relatif jarum tersebut menunjuk nomor 5.
Alternatif Penyelesaian
Banyak diperolehnya nomor 5 adalah 11. Total banyaknya percobaan
adalah
n = 7 + 6 + 11 + 5 + 11 = 40
Dengan demikian, frekuensi relatif diperoleh nomor 5 adalah
f
40
11
=
r
Frekuensi relatif tersebut dapat dinyatakan ke dalam 0,275 atau
27,5%.
Sebuah dadu dilempar undi berkali-kali. Hasil lempar undi
dadu tersebut ditunjukkan pada Gambar 4.11.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
236
1
0
1
2
6
8
10
12
2 3 4 5 6
Mata Dadu
Frekuensi
Gambar 4.11 Hasil Lempar Undi Sebuah Dadu
Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu bilangan ganjil.
Bagaimana hubungan antara frekuensi relatif dan peluang teoretis?
Ayo kita cari tahu di aktivitas eksplorasi berikut ini!
Eksplorasi
4.8
Menemukan Hubungan Antara Frekuensi
Relatif dan Peluang Teoretis
Di aktivitas ini kalian akan menemukan apa yang terjadi dengan
frekuensi relatif suatu kejadian ketika banyaknya percobaan
semakin besar.
B Ahmad melempar sebuah koin berkali-kali dan mencatat
hasilnya ke dalam Tabel 4.6.
Tabel 4.6 Frekuensi Relatif Muncul Angka
Nomor
Lemparan
Hasil
Frekuensi Relatif
Muncul Angka (A)
1 G
1
0
2 A
2
1
3 A
3
2
4 A
4
3
5 G
5
3
Selain tabel, Ahmad juga menggambarkan hasil setiap
percobaannya ke dalam grak seperti Gambar 4.12.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
237
1
0
0,2
0,4
Frekuensi Relatif
Muncul Angka
0,6
0,8
1
2 3
Banyak Lemparan
4 5
Gambar 4.12 Frekuensi Relatif Muncul Sisi Angka
Menurut kalian, bagaimana Ahmad membuat Tabel 4.6 dan
menggambar grak pada Gambar 4.12? Jelaskan makna tabel
dan grak tersebut.
C Carilah sebuah koin. Lakukan seperti yang telah dilakukan oleh
Ahmad dan lemparlah koin sebanyak minimal 20 kali!
D Ahmad melanjutkan percobaan dengan melempar koinnya
sampai 200 kali dan hasilnya dibuatkedalam grak seperti
Gambar 4.13.
25
0
1
0,2
0,4
0,6
0,8
Frekuensi Relatif
Muncul Angka
50 75 100
Banyak Lemparan
125 150 175
Gambar 4.13 Frekuensi Relatif Muncul Sisi Angka dengan 200 Pelemparan
Apa yang dapat kalian amati dari grak tersebut? Bagaimana
kira-kira graknya jika Ahmad melanjutkan percobaannya
secara terus menerus?
E Tiga teman Ahmad juga melakukan eksperimen yang sama
dengan Ahmad. Frekuensi relatif munculnya sisi angka dari
eksperimen Ahmad dan ketiga temannya disajikan dalam
Gambar 4.14.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
238
25
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0,1
50 75 100
Banyak Lemparan
Frekuensi Relatif
Muncul Angka
125 150 175
Gambar 4.14 Hasil Percobaan Ahmad dan Ketiga Temannya
Apa yang dapat kalian simpulkan dari grak tersebut? Apakah
grak-grakfrekuensi relatiftersebut adahubungannya dengan
peluang diperolehnya sisi angka dalam pelemparan sebuah koin?
Sebagai penunjang atau pengganti aktivitas Eksplorasi 4.8, kalian
dapat melakukan kegiatan-kegiatan di dalam Aktivitas Interaktif
berikut.
Aktivitas Interaktif
Kegiatan 1. Unduhlah dokumen pada tautan
http://ringkas.kemdikbud.go.id/SimulasiFrekRel
atau pindailah kode QR di samping! Dengan
menggunakan dokumen tersebut, simulasikan
eksperimennya dan cermati apa yang terjadi
dengan frekuensi relatifnya. Panduan
simulasinya dapat ditonton melalui video
dengan tautan sebagai berikut.
https://youtu.be/J_ZyZsbF7eY
Kegiatan 2. Kegiatan 2 ini merupakan pengganti aktivitas
Eksplorasi 4.8. Di kegiatan ini, kalian akan mengakses internet
untuk melakukan aktivitas pembelajaran yang berjudul “Mencari
Hubungan dalam Percobaan Berulang”. Untuk itu, silakan kunjungi
https://student.desmos.com/ dan masukkan kode kelas yang
diberikan oleh guru kalian.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
239
Di aktivitas eksplorasi sebelumnya, kalian telah menemukan
hubungan antara frekuensi relatif suatu kejadian dan peluang teoretis
kejadian tersebut. hubungan tersebut dinyatakan dalam Sifat 4.2.
Sifat
4.2
Hubungan Antara Frekuensi Relatif dan Peluang
Teoretis
Jika banyaknya percobaan yang dilakukan secara acak semakin
besar, frekuensi relatif suatu kejadian nilainya mendekati peluang
teoretis kejadian tersebut.
Apakah kalian sudah memahami hubungan antara frekuensi relatif
dan peluang teoretis? Silakan cermati Contoh 4.5.
Contoh
4.5
Memilih Kejadian yang Tepat
Dari kejadian-kejadian berikut, mana yang paling tepat untuk
memiliki frekuensi relatif yang ditunjukkan pada Gambar 4.15 jika
percobaannya diulang-ulang?
ⓐ Ketika teman kalian diminta untuk memilih bilangan 1–4 secara
acak, didapatkan bilangan yang lebih dari 1.
ⓑ Dalam pelemparan dua koin, diperoleh dua sisi gambar.
ⓒ Dalam lempar undi sebuah dadu, diperoleh mata dadu bilangan
prima.
50 100 150 200
Banyak Percobaan
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
Frekuensi Relatif
Gambar 4.15 Frekuensi Relatif Suatu Kejadian pada Percobaan Berulang
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
240
Alternatif Penyelesaian
Kejadian a, b, dan c secara berturut-turut memiliki peluang teoretis
sebagai berikut. (Mengapa?)
4
3
,
4
1
, dan
2
1
Frekuensi relatif yang ditunjukkan pada Gambar 4.15 semakin lama
semakin mendekati suatu bilangan di antara 0,2 dan 0,3. Dengan
demikian, gambar tersebut paling tepat untuk menggambarkan
frekuensi relatif kejadian b.
Pertanyaansamaseperti Contoh4.5, tetapi grakfrekuensi
relatifnya seperti ditunjukkan pada Gambar 4.16 berikut.
50 100 150 200
Banyak Percobaan
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
Frekuensi Relatif
Gambar 4.16 Frekuensi Relatif Suatu Kejadian dalam Percobaan Berulang
Di aktivitas eksplorasi berikutnya kalian akan dipandu untuk
menebak ruang sampel.
Eksplorasi
4.9
Menebak Muka Roda Putar
Dhien akan memutar sebuah roda putar. Kalian tidak dapat melihat
muka roda putar tersebut. Akan tetapi, Dhien memberitahu bahwa
mukanya terbagi menjadi 5 juring yang sama dan tiap juring tersebut
berwarna hijau (H) atau jingga (J).
B Dhien memutar roda tersebut sebanyak 10 kali dan jarum roda
itu menunjuk juring-juring dengan warna berikut.
J, J, J, J, H, J, J, H, J, J
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
241
Coba kalian tebak,berapa juring yang berwarna hijau pada roda
putarnya Dhien?
C Sekarang Dhien memutar roda tersebut sebanyak 100 kali dan
diperoleh hasil pada Gambar 4.17 berikut.
Hijau
Frekuensi
Warna Juring
Jingga
0
10
20
30
40
42
58
50
60
70
Gambar 4.17 Hasil Percobaan 100 Kali
Sekarang coba kalian tebak lagi, berapa juring warna hijau pada
muka roda putar tersebut?
D Salah satu roda putar yang ditunjukkan pada Gambar 4.18
merupakan roda putar Dhien.
Gambar 4.18 Kemungkinan Roda Putar Dhien
Menurutmu, manakah yang kemungkinan besar merupakan
roda putar Dhien? Mengapa?
Aktivitas interaktif berikut ini mengajak kalian untuk melakukan
simulasi pemutaran roda putarnya Dhien.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
242
Aktivitas Interaktif
Pindailah kode QR di samping atau kunjungi
tautan http://ringkas.kemdikbud.go.id/
TebakMukaRoda untuk mensimulasikan
pemutaran roda seperti dalam Eksplorasi 4.9.
Untuk lebih terampil dalam menebak ruang sampel, perhatikan
contoh berikut dengan cermat.
Contoh
4.6
Menebak Ruang Sampel
Sebuah tas berisi 10 bola berwarna merah, kuning, dan hijau.
Setelah dilakukan percobaan pengambilan satu bola secara acak
dengan pengembalian sebanyak 200 kali, hasilnya ditunjukkan
pada Gambar 4.19.
Merah Kuning
Frekuensi
Warna Bola
Hijau
0
20
40
60
80
36
62
102
100
120
Gambar 4.19 Frekuensi Munculnya Bola Merah, Kuning, dan Hijau
Dugalah berapa banyak bola merah, kuning, dan hijau dalam tas
tersebut.
Alternatif Penyelesaian
Di dalam soal diketahui bahwa banyaknya bola dalam tas tersebut
adalah 10, sehingga n(S) = 10. Misalkan kejadian-kejadian berikut.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
243
A : Kejadian terambil bola merah
B : Kejadian terambil bola kuning
C : Kejadian terambil bola hijau
Berdasarkan Sifat 4.2, frekuensi relatif kejadian A, B, dan C
mendekati peluang teoretisnya. Dengan demikian,
%
%
%
PA fA
PB fB
PC fC
200
36
18
200
62
31
200
102
51
R
R
R
.
.
.
==
==
==
^
^
^^
^
^
h
h
h
h
h
h
Untuk menentukan banyaknya bola warna merah, kita gunakan
rumus P(A) = n(A)/n(S) sehingga n(A) = P(A) $ n(S).
n(A) = 18%$10 = 1,8
Dengan cara yang serupa, kita mendapatkan n(B) = 3,1 dan n(C) =
5,1. Setelah dibulatkan, banyaknya bola warna merah, kuning, dan
hijau kemungkinan besar adalah 2, 3, dan 5.
Seperangkat kartu berisi 5 kartu yang masing-masing
bergambar lingkaran atau bintang. Setelah dilakukan 500
percobaan pengambilan satu kartu secara acak, diperoleh hasil
pada Gambar 4.20.
Lingkaran
Frekuensi
Gambar yang Muncul
Bintang
0
50
100
150
200
93
407
250
300
350
400
450
Gambar 4.20 Frekuensi Munculnya Kartu Bergambar Lingkaran dan Bintang
Tentukan banyaknya kartu bergambar lingkaran dan bintang
dalam seperangkat kartu tersebut.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
244
Lakukan kegiatan berikut dengan satu orang teman kalian!
B Potonglah secarik kertas menjadi 10 bagian yang ukurannya
kurang lebih sama. Mintalah seorang teman kalian untuk
menuliskan huruf A, B, atau C pada tiap-tiap potongan kertas
tersebut, kemudian melipat dan memasukkannya ke dalam
sebuah wadah.
C Ambilah satu potongan kertas dari wadah tersebut, catat huruf
apa yang tertulis di potongan kertas tersebut, dan kembalikan
ke dalam wadah.
D Ulangi langkah 2 berkali-kali sampai kalian merasa yakin
datanya cukup untuk menebak berapa kartu yang bertuliskan
huruf A, B, atau C.
E Berdasarkan data yang diperoleh, tebaklah berapa banyak
potongan kertas yang bertuliskan huruf A, B, atau C.
F Konrmasikan tebakan kalian dengan membuka semua
potongan kertasnya. Apakah tebakan kalian tepat? Mengapa?
Latihan
B
Peluang Empiris
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tepat dan jelas!
Pemahaman Konsep
B Sebuah dadu dilempar undi m kali dan muncul mata dadu 6
sebanyak n kali. Frekuensi relatif munculnya mata dadu 6 dalam
percobaan tersebut adalah _____.
C Benar atau Salah. Frekuensi relatif suatu kejadian sama dengan
peluang teoretis kejadian tersebut.
D Benar atau Salah. Jika suatu kejadian memiliki frekuensi relatif nol,
maka kejadian itu merupakan kejadian yang mustahil.
Ayo Bekerja Sama 4.1
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
245
Penerapan Konsep
E Sebuah program komputer digunakan untuk menampilkan 12
bilangan 0–3 secara acak. Hasilnya adalah sebagai berikut.
1, 3, 3, 0, 1, 3, 3, 0, 3, 2, 1, 3
Tentukan frekuensi relatif munculnya bilangan 0.
F Gambar 4.21 ini adalah grak fungsi relatif dari beberapa kejadian
dalam 500 kali percobaan.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
i ii
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Gambar 4.21 Frekuensi Relatif Dua Kejadian dalam 500 Percobaan
Pasangkah grak tersebut dengan kejadian-kejadian berikut yang
paling tepat. Jelaskan juga alasannya!
ⓐ Dalam pengambilan satu kartu dari seperangkat kartu remi
secara acak, didapatkan kartu hati.
ⓑ Sebuah kotak berisi 3 bola bergambar segitiga dan 12 bola
bergambar segi empat. Ketika dari kotak tersebut diambil satu
bola secara acak, diperoleh bola bergambar segi empat.
G Di atas meja berserakan 20 kartu yang masing-masing bergambar
tabung, kerucut, atau bola. Ada 50 anak dengan mata tertutup
diminta untuk menunjuk satu kartu di atas meja tersebut secara
bergiliran. Hasilnya ditunjukkan pada Gambar 4.20.
Tabung Kerucut
Frekuensi
Gambar Kartu
Bola
0
5
10
15
20
5
14
31
25
30
35
Gambar 4.22 Frekuensi Terpilihnya Kartu Bergambar Tabung, Kerucut, dan Bola
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
246
Perkirakan banyaknya kartu bergambar tabung, kerucut, dan bola
di atas meja tersebut.
H Sebuah roda putar memiliki juring yang warnanya macam-macam.
Setelah dilakukan 60 putaran, frekuensi relatif jarumnya menunjuk
warna ungu disajikan pada Gambar 4.23.
Frekuensi Relatif
10 20
Banyak Percobaan
30 40 50
60
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Gambar 4.23 Frekuensi Relatif Terpilihnya Juring Warna Ungu
Berdasarkan Gambar 4.23, perkirakan peluang jarum roda tersebut
menunjuk juring warna ungu!
I Putu dan Sondang melakukan lempar undi sebuah koin sebanyak
lima kali. Mereka menyajikan frekuensi relatif munculnya gambar
dari pelemparan pertama sampai kelima ke dalam sebuah grak,
seperti ditunjukkan pada Gambar 4.24. Grak pada Gambar 4.22 (a)
dan (b) secara berturut-turut merupakan grak Putu dan Sondang.
0
1 2 3
a b
4 5
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1 2 3 4 5
Gambar 4.24 Hasil Percobaan Putu dan Sondang
Salah satu dari Putu atau Sondang mengalami kekeliruan. Siapa
yang keliru? Di mana letak kekeliruannya?
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
247
C. Frekuensi Harapan
Untuk memahami ide tentang frekuensi harapan, ayo kerjakan aktivitas
eksplorasi berikut.
Eksplorasi
4.10
Menebak Munculnya Sisi Angka Sebuah
Koin
Di aktivitas eksplorasi ini kalian akan menebak berapa kali muncul
sisi angka ketika sebuah koin dilempar sebanyak 10 kali.
B Coba tebak, jika kalian melempar sebuah koin sebanyak 10 kali,
berapa kali muncul sisi angka? Mengapa?
C Lakukan eksperimen berikut.
Lemparlah sebuah koin sebanyak 10 kali dan catatlah berapa
kali sisi angkanya muncul.
Ulangi eksperimen tersebut sebanyak 20 kali dan catatlah
hasilnya dalam tabel berikut.
Tabel 4.7 Frekuensi Hasil pada Pelemparan Koin 10 Kali
Banyak Kemunculan Sisi Angka Frekuensi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dari tabel tersebut, apa yang kalian dapatkan? Dalam pelemparan
koin 10 kali, sisi angka berpeluang paling besar akan muncul
berapa kali?
D Putu melempar sebuah koin sebanyak 10 kali dan mencatat
berapa kali sisi angka muncul. Dia melakukan eksperimen
tersebut sebanyak 300 kali dan hasilnya ditampilkan pada
Gambar 4.25.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
248
0
0
1 2 3 4 5
Banyaknya Sisi Angka Muncul
6 7 8 9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Frekuensi
Gambar 4.25 Banyaknya Kemunculan Sisi Angka dalam 10 Percobaan
ⓐ Apa makna dari Gambar 4.25?
ⓑ Setelah melakukan kegiatan di nomor 2 dan melihat hasil
Putu ini, apakah tebakan kalian di nomor 1 tetap atau
berubah? Mengapa?
Jika kalian ingin mensimulasikan eksperimen Putu dalam Eksplorasi
4.10, lakukan Aktivitas Interaktif berikut.
Aktivitas Interaktif
Kegiatan 1. Kalian dapat melakukan simulasi
seperti yang dilakukan Putu melalui CODAP
(https://codap. concord.org/app/). Tutorial
simulasinya dapat ditonton melalui video di
tautan berikut atau pindai kode QR di samping.
https://youtu.be/bUN6Y1vd3vM
Kegiatan 2. Kegiatan ini merupakan pengganti untuk aktivitas
Eksplorasi 4.10. Di Kegiatan 2 ini, kalian akan melakukan aktivitas
pembelajaran yang berjudul “Menemukan Harapan di dalam (Per)
cobaan”. Untuk melakukannya, kalian akan mendapatkan kode
kelas dari guru kalian. Kode tersebut selanjutnya kalian masukkan
ke dalam situs web https://student.desmos.com/.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
249
Pertanyaan utama di kegiatan Eksplorasi 4.10 dapat dijawab dengan
menggunakan frekuensi harapan. Apa itu frekuensi harapan? Silakan
baca denisi berikut ini.
Definisi
4.4
Frekuensi Harapan
•
Frekuensi harapan suatu kejadian adalah harapan berapa kali
terjadinya kejadian tersebut dalam beberapa kali percobaan.
Dari aktivitas eksplorasi sebelumnya, kalian memperoleh
bahwa frekuensi harapan suatu kejadian dapat ditentukan dengan
mengalikan peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan
yang dilakukan
Untuk lebih memahami bagaimana menentukan frekuensi harapan,
cermati contoh berikut.
Contoh
4.7
Menentukan Frekuensi Harapan
Sebuah roda putar juring-juring diberi warna merah, kuning, dan
hijau seperti pada Gambar 4.26.
Gambar 4.26 Roda Putar dan Jarum Penunjuk
Jika roda tersebut diputar sebanyak 60 kali, berapa frekuensi
harapan diperoleh warna kuning?
Alternatif Penyelesaian
Banyaknya juring warna kuning adalah 2 dan banyaknya
keseluruhan juring adalah 6. Karena ukuran semua juring tersebut
sama, maka peluang diperoleh juring warna kuning adalah
PA
nS
nA
6
2
3
1
===
^
^
^
h
h
h
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
250
Dengan demikian, frekuensi harapan diperoleh juring warna kuning
adalah sebagai berikut.
3
1
60 20$
=
Sebuah dadu dilempar undi sebanyak 300 kali. Tentukan
frekuensi harapan diperoleh mata dadu bilangan-bilangan
yang lebih dari tiga.
Di aktivitas ini, kalian akan memainkan “Gim Koin”. Gim ini
memerlukan papan main, sebuah koin, dan delapan pion untuk
setiap pemain. Pion-pion pemain 1 dan 2 perlu dibuat berbeda.
Misalnya, pion-pion pemain 1 berwarna hitam sedangkan pion-
pion pemain 2 berwarna putih. Papan main gim ini ditunjukkan
Gambar 4.27.
P1
Mulai
P2
Mulai
A
B
C
D
E
Angka
Gambar
Angka
Gambar
Gambar 4.27 Papan Gim Koin
Aturan gimnya adalah sebagai berikut.
• Pion pemain 1 dimulai dari salah satu pojok. Kemudian, pemain
1 melempar undi koin. Jika muncul angka, pindahkan pion satu
langkah ke kanan. Jika muncul gambar, pindahkan pion satu
langkah ke bawah.
Ayo Mencoba
Ayo Bekerja Sama 4.2
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
251
• Pion pemain 2 dimulai dari pojok yang berseberangan. Kemudian,
pemain 2 melempar undi koin. Jika muncul angka, pindahkan
pion satu langkah ke kiri. Jika muncul gambar, pindahkan pion
satu langkah ke atas.
• Giliran melempar undi koin pemain 1 dan 2 dibuat bergantian.
• Jika pion sudah mencapai persegi-persegi tujuan akhir, yaitu
A, B, C, D, atau E, giliran pion berikutnya dijalankan. Lakukan
hal ini sampai semua pionnya berada di persegi-persegi tujuan
akhir.
• Pemenang gim ini ditentukan dengan membandingkan
banyaknya pion yang berada di persegi A atau E. Jika seri,
bandingkan banyaknya pion yang ada di persegi B atau D.
Mudah bukan aturan gimnya? Sekarang, ayo mainkan gim itu
dengan satu teman kalian dan amati hasilnya! Setelah itu, kerjakan
masalah-masalah berikut bersama teman mainmu tadi.
B Untuk pemain 1, hanya ada satu cara agar pionnya sampai di
persegi A, yaitu ketika dia memperoleh sisi gambar empat kali
secara berturut-turut. Apakah hal tersebut benar? Mengapa?
C Karuna berpikiran seperti ini: Ada empat cara pion pemain
1 sampai ke persegi B, yaitu ketika dia memperoleh sisi koin
sebagai berikut.
(G, G, G, A)
(G, G, A, G)
(G, A, G, G)
(A, G, G, G)
Apakah kalian setuju dengan pemikiran Karuna? Jelaskan!
D Carilah banyaknya cara pion pemain 1 dapat sampai ke persegi-
persegi A, B, C, D, dan E dengan melengkapi Tabel 4.7.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
252
Tabel 4.7 Banyak Cara Pion Menuju Tujuan Akhir
Tujuan
Akhir
Kemungkinan Kemunculan
Sisi-Sisi Koin
Banyak Cara
A (G, G, G, G) 1
B
(G, G, G, A)
(G, G, A, G)
(G, A, G, G)
(A, G, G, G)
4
C
D
E
Berdasarkan tabel tersebut, berapa banyaknya semua cara
pion pemain 1 untuk sampai ke tujuan akhir?
E Tentukan peluang pion pemain 1 sampai ke tujuan akhir
berikut.
ⓐ Persegi A atau E
ⓑ Persegi B atau D
ⓒ Persegi C
F Dalam menjalankan delapan pionnya, berapakah frekuensi
harapan pion pemain 1 sampai ke persegi A atau E?
Latihan
C
Frekuensi Harapan
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tepat dan jelas!
Pemahaman Konsep
B Percobaan dilakukan sebanyak k kali. Frekuensi harapan kejadian
A yang memiliki peluang teoretis P(A) adalah _____.
C Benar atau Salah. Frekuensi harapan suatu kejadian nilainya selalu
kurang dari banyaknya percobaan yang dilakukan.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
253
Penerapan Konsep
D Tentukan frekuensi harapan setiap kejadian berikut jika dilakukan
100 kali percobaan.
a. Dalam lempar undi tiga koin, diperoleh dua sisi angka.
b. Dalam pengambilan satu kartu secara acak dari seperangkat
kartu remi, tidak didapatkan kartu hati.
E Di sebuah kota, persentase penduduknya yang masuk Generasi
Z adalah 28%. Jika kalian memilih 75 penduduk kota itu secara
acak, tentukan frekuensi harapan kalian mendapatkan penduduk
Generasi Z.
F Bentang, Uleng, dan Duma mengaku telah melakukan lempar undi
sebuah koin sebanyak 50 kali. Hasilnya mereka laporkan sebagai
berikut. Dari laporan tersebut, ada yang hasilnya tidak biasa.
Bentang
AAAGAAAGAAGAGGGAGAGG
GAGAGAGAGGGGAAGGAGGA
Uleng
AGAGAAGGAAAGGAAAGGAA
GAGAGGAGAAAGAAAAGAAA
Duma
GAAGAGAAAGAGAAAGGGGG
GAGGAGAGAAAGGAGAAAGA
Menurut kalian, siapa yang memiliki hasil yang tidak biasa?
Mengapa?
D. Pemilihan Sampel
Sebelum mempelajari pemilihan sampel, ayo kerjakan eksplorasi
berikut!
Eksplorasi
4.11
Penyajian Data Mana yang Paling
Berbeda?
Perhatikan keempat penyajian data dalam diagram batang yang
ditunjukkan pada Gambar 4.28!
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
254
0 2 4
Nilai Nilai
Nilai Nilai
a b
6 8 10
100
0
200
300
Frekuensi
Frekuensi
Frekuensi
Frekuensi
400
500
0 2 4 6 8 10
5
0
10
15
20
0 2 4 6 8 10
5
0
10
15
20
c d
0 2 4 6 8 10
5
0
10
15
20
Gambar 4.28 Penyajian Data dalam Diagram Batang
Carilah satu diagram batang yang menurut kalian paling berbeda!
Jelaskan alasan pilihan kalian?
Sekarang kalian siap untuk mempelajari pemilihan sampel. Untuk
memulainya, ayo lakukan aktivitas eksplorasi berikut!
Eksplorasi
4.12
Menemukan Cara untuk Menjawab
Seringkali, kita mendapatkan pertanyaan yang mudah untuk
dijawab. Seringkali kita juga menghadapi pertanyaan yang sukar.
Dari dua pertanyaan berikut, menurut kalian, mana yang lebih
mudah? Mana yang lebih sukar? Jelaskan alasannya.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
255
Di antara semua peserta didik di
sekolah kalian, manakah yang
lebih banyak menghabiskan waktu
untuk belajar setiap minggunya,
laki-laki atau perempuan?
Di antara teman-teman sekelas
kalian yang laki-laki dan
perempuan, manakah yang lebih
banyak menghabiskan waktu
untuk belajar setiap minggunya?
Bagaimana cara kalian menjawab pertanyaan pertama dan kedua
tersebut? Jelaskan secara rinci.
Salah satu cara untuk menjawab sebuah pertanyaan adalah dengan
mengumpulkan data. Data yang terkumpul bisa jadi memuat seluruh
anggota populasi atau hanya berupa data sampel. Apa itu populasi dan
sampel? Perhatikan Denisi 4.5 berikut.
Definisi
4.5
Populasi dan Sampel
•
Populasi adalah kumpulan semua orang atau objek yang akan
dipelajari atau diteliti.
• Sampel adalah kumpulan orang atau objek yang merupakan
bagian dari populasi. Dengan demikian sampel merupakan
himpunan bagian dari suatu populasi.
• Ukuran suatu populasi atau sampel adalah banyaknya
anggota yang dimuat oleh populasi atau sampel tersebut.
Untuk lebih mengerti tentang populasi dan sampel, perhatikan
Contoh 4.8.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
256
Contoh
4.8
Menentukan Populasi dan Sampel
Tentukan populasi dan sampel yang mungkin untuk menjawab
pertanyaan berikut.
Di sekolah kalian, berapa jamkah rata-rata peserta didik
mengakses media sosial setiap harinya?
Alternatif Penyelesaian
Pertanyaan tersebut menanyakan rata-rata lamanya peserta didik
di sekolah kalian dalam mengakses media sosial setiap harinya.
Dengan demikian, populasinya adalah seluruh siswa di sekolah
kalian, sedangkan sampel yang mungkin adalah seluruh siswa di
kelas kalian.
Seorang peneliti ingin mengetahui rata-rata tinggi badan
anak berusia 15 tahun di Indonesia. Tentukan populasi dan
kemungkinan sampelnya.
Ketika kita akan mengumpulkan data untuk menjawab sebuah
pertanyaan, seringkali kita menghadapi kesulitan untuk mengumpulkan
data populasi. Bahkan, terkadang kita tidak mungkin mengumpulkan
data populasinya. Oleh karena itu, kita cukup mengumpulkan data
sampelnya. Apakah kalian dapat secara bebas memilih sampel? Mari
selidiki pertanyaan ini dengan melakukan aktivitas eksplorasi berikut.
Eksplorasi
4.13
Memilih Sampel
Ahmad, Paulina, dan Sondang ingin mengetahui jarak antara rumah
tinggal dengan sekolah siswa-siswa di sekolahnya.
B Tentukan populasi dari masalah yang ingin dijawab Ahmad,
Paulina, dan Sondang tersebut.
C
Karena Ahmad, Paulina, dan Sondang kesulitan mengumpulkan
data populasinya, mereka memutuskan untuk mengambil data
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
257
sampelnya saja. Sebelum mereka bertiga memilih siswa-siswa
di sekolahnya untuk menjadi sampel mereka, berikan pesan-
pesan kepada mereka tentang bagaimana pemilihan sampel
yang baik.
D Data sampel yang diperoleh Ahmad disajikan oleh diagram
batang pada Gambar 4.29.
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
Jarak (km)
Frekuensi
1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2
Gambar 4.29 Data Sampel Ahmad
ⓐ Berdasarkan Gambar 4.29, batang yang posisinya di 2,0
tingginya 2. Apa artinya?
ⓑ Ada berapa siswa yang menjadi sampel Ahmad?
ⓒ Berapakah rata-rata data sampel Ahmad? Apa makna nilai
rata-rata ini?
E Gambar 4.30 berikut menyajikan data sampel yang didapatkan
oleh Paulina.
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
Jarak (km)
Frekuensi
1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2
Gambar 4.30 Data Sampel Paulina
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
258
ⓐ Berapa siswa yang masuk sampel Paulina?
ⓑ Berapa rata-rata data sampel Paulina? Apa maknanya?
F Data sampel yang didapatkan oleh Sondang ditampilkan pada
Gambar 4.31.
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
Jarak (km)
Frekuensi
1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2
Gambar 4.31 Data Sampel Sondang
ⓐ Berapa banyak siswa yang menjadi sampel Sondang?
ⓑ Tentukan rata-rata data sampel Sondang! Apa maknanya?
6. Populasi dari sampel-sampelnya Ahmad, Paulina, dan Sondang
ditunjukkan pada Gambar 4.32.
0,2
0
5
10
15
20
25
30
35
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
Jarak (km)
Frekuensi
1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2
Gambar 4.32 Data Populasi
Ternyata, berdasarkan Gambar 4.32 tersebut, banyaknya siswa di
sekolah tersebut adalah 450 dan rata-rata jarak rumah tinggalnya ke
sekolah adalah sekitar 1,36 km. (Ayo buktikan!)
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
259
Berdasarkan informasi tersebut, menurutmu sampel siapakah yang
paling baik? Mengapa?
Di aktivitas Eksplorasi 4.13, kalian telah mendapatkan ide tentang
sampel yang baik. Sampel yang baik adalah sampel yang representatif.
Apa itu sampel yang representatif? Cermati Denisi 4.6 berikut ini.
Definisi
4.6
Sampel Representatif
Suatu sampel dikatakan representatif terhadap populasinya jika
distribusi sampel tersebut menyerupai sifat populasinya dalam hal
bentuk, pusat, dan sebarannya.
Masih penasaran dengan sampel yang representatif? Ayo cermati
contoh soal berikut ini!
Contoh
4.9
Memilih Sampel Representatif
Berat semua buah mangga yang berhasil dipanen oleh seorang
petani ditunjukkan pada Gambar 4.33.
0
20
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
40
60
80
100
120
Berat (kg)
Frekuensi
Gambar 4.33 Berat Setiap Buah Mangga yang Dipanen
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
260
Sampel mangga-mangga tersebut akan dikirim ke distributor untuk
diperkirakan harganya. Dari sampel a dan b pada Gambar 4.34,
manakah sampel yang representatif?
0,4
0
5
10
Berat (kg)
a b
Berat (kg)
15
20
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
Frekuensi
Frekuensi
0,4
0
5
10
15
20
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
Gambar 4.34 Sampel-Sampel Buah Mangga
Alternatif Penyelesaian
Bentuk, pusat, dan sebaran sampel a tidak menyerupai populasinya.
Sampel ini bukanlah sampel yang representatif. Sampel b memiliki
bentuk, pusat, dan sebaran yang menyerupai populasinya. Dengan
demikian, sampel b ini merupakan sampel yang representatif.
Gambar 4.35 berikut menyajikan banyaknya panggilan telepon
per hari yang dilakukan oleh para siswa di suatu sekolah.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Banyak Panggilan Per Hari
Frekuensi
Gambar 4.35 Banyak Panggilan Telepon Per Hari
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
261
Dari sampel-sampel a dan b pada Gambar 4.36, pilihlah sampel
yang representatif dan jelaskan alasannya.
0
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Banyak Panggilan Per Hari
a b
Frekuensi
0
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Banyak Panggilan Per Hari
Frekuensi
Gambar 4.36 Sampel-Sampel Banyaknya Panggilan Telepon Per Hari
Mulai dari awal Subbab D sampai dengan Contoh 4.9 kalian telah
melihat penggunaan diagram batang untuk menyajikan sebuah data.
Diagram-diagram batang tersebut menunjukkan berapa banyak
(frekuensi) nilai pada tiap-tiap kategorinya. Selain diagram batang,
data seperti itu dapat disajikan dengan menggunakan diagram titik.
Sebagai ilustrasi, data yang disajikan dengan diagram-diagram
batang pada Gambar 4.34 a dan b juga dapat disajikan dengan
menggunakan diagram titik seperti yang ditunjukkan pada Gambar
4.37.
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
Gambar 4.37 Diagram Titik Sampel-Sampel Buah Mangga
Banyaknya titik di setiap kategori pada diagram titik tersebut
menunjukkan frekuensi data di kategori tersebut. Misalnya, diagram
titik Gambar 4.37 (a), kategori 0,9 memiliki dua titik. Artinya, ada dua
buah mangga yang beratnya 0,9 kg.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
262
Sampai di sini kalian telah memahami sampel-sampel yang
representatif dan juga diagram titik. Bagaimana cara mendapatkan
sampel-sampel seperti itu? Ayo ikuti aktivitas eksplorasi berikut!
Eksplorasi
4.14
Membandingkan Cara Pemilihan Sampel
Guru kalian membariskan semua siswanya. Siswa yang paling
pendek berbaris paling depan dan demikian seterusnya sampai
yang paling tinggi berbaris paling belakang. Setelah itu, siswa paling
depan diberi kartu nomor 1, di belakangnya diberi kartu nomor
2, dan seterusnya sampai semua siswa mendapatkan nomor yang
berurutan.
B Kalian akan mengambil sampel teman-teman kalian tersebut
untuk diukur tinggi badannya. Berikut ini adalah beberapa
kemungkinan caranya.
ⓐ Kalian memilih 5 orang teman kalian yang berbaris paling
depan.
ⓑ Semua kartu teman-teman kalian dikumpulkan di dalam
kotak tertutup kemudian kotak tersebut dikocok berkali-
kali. Setelah itu, kalian mengambil 5 kartu sekaligus. Teman-
teman kalian yang memiliki urutan seperti kartu yang
terpilih kemudian dipilih sebagai sampel.
ⓒ Caranya seperti bagian b, tetapi hanya satu kartu yang
diambil dari kotak. Empat nomor lainnya adalah empat
nomor terurut setelah nomor yang terambil. Misalnya, jika
terambil nomor 11, maka empat nomor berikutnya adalah
12, 13, 14, dan 15.
Dari ketiga cara pemilihan sampel tersebut, cara manakah yang
berpeluang besar mendapatkan sampel yang representatif?
C Guru kalian memiliki cara lain untuk memilih sampel. Caranya
adalah dengan menggunakan sebuah roda putar yang banyak
juringnya sejumlah siswa yang berbaris. Untuk memilih sampel,
roda tersebut diputar sebanyak 5 kali.
ⓐ Apakah sampel yang akan terpilih oleh guru kalian ini
menjadi sampel yang representatif?
ⓑ Apakah cara guru kalian tersebut serupa dengan cara kalian
di bagian 1b? Mengapa?
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
263
Dari aktivitas Eksplorasi 4.14, kalian mendapatkan dua hal. Pertama,
pemilihan sampel secara acak berpeluang besar akan menghasilkan
sampel yang representatif. Kedua, pemilihan sampel dapat dilakukan
dengan pengembalian atau tanpa pengembalian.
Definisi
4.7
Sampel Acak
Suatu sampel dipilih secara acak jika terpilihnya sampel tersebut
memiliki peluang yang sama dengan semua kemungkinan sampel
lain yang berukuran sama (banyak anggotanya sama).
Ingin tahu lebih lanjut tentang cara pemilihan sampel? Cermati
contoh soal berikut.
Contoh
4.10
Membaca Kritis
Silakan baca berita pada Gambar 4.38.
Koran Sekolah
4 dari 5 teman kita memilih
pembelajaran daring!
Sampel
diperoleh dari
120 orang yang
mengikuti
survei Twitter
sekolah kita, 97
di antaranya
lebih memilih
pembelajaran
daring
daripada tatap
muka.
Hal. 2
Koran Sekolah
73% teman kita setuju rapot
diambil orang tua/wali!
Dari 54 yang
siswa dipilih
secara acak
oleh komputer
TU, 39 setuju
bahwa
pengambilan
rapot perlu
dilakukan oleh
orang tua/wali
siswa.
Hal. 6
Setuju
Tidak Setuju
Gambar 4.38 Berita di Koran Sekolah
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
264
Dari dua berita tersebut, manakah yang lebih dapat dipercaya?
Alternatif Penyelesaian
Berita pertama sampelnya diperoleh melalui Twittersekolah. Sampel
seperti itu kemungkinan besar tidak mewakili opini populasi siswa
sekolah tersebut. (Mengapa?) Berita kedua sampelnya adalah sampel
acak. Dengan demikian, meskipun ukuran sampelnya lebih kecil,
sampel ini kemungkinan besar merepresentasikan populasi siswa
di sekolah tersebut. Jadi, berita kedua yang lebih dapat dipercaya.
Berikut ini beberapa kemungkinan cara pemilihan sampel untuk
mengetahui rata-rata tinggi badan teman-teman di sekolahmu.
ⓐ Bertanya kepada semua pemain bola basket sekolahmu.
ⓑ Bertanya kepada 20 temanmu di kelas IX yang dipilih secara
acak.
ⓒ Bertanya kepada 25 adik kelasmu di kelas VIII yang dipilih
secara acak.
Urutkan dari yang paling representatif ke yang paling tidak
representatif.
Ayo lakukan Aktivitas Interaktif berikut ini untuk melakukan
simulasi pemilihan sampel secara acak.
Aktivitas Interaktif
Ayo pindai kode QR di samping atau kunjungi
tautanhttp://ringkas.kemdikbud.go.id/
SampelAcak untuk melakukan simulasi pemilihan
sampel acak dari populasi ikan trout coklat.
Ayo Mencoba
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
265
Di kegiatan Ayo Mengomunikasikan 4.1 kalian akan diajak untuk
berlatih mengumpulkan dan mengolah data serta mengomunikasikan
hasil pengolahan data tersebut.
Di tugas ini, kalian akan menjadi seorang jurnalis! Kumpulkan
data sampel dari lingkungan sekitar kalian yang menurut kalian
menarik bagi orang lain. Setelah itu, analisislah data tersebut dan
laporkan hasilnya ke dalam berbagai macam media. Media yang
dapat kalian gunakan antara lain poster (cetak ataupun elektronik),
video pendek, koran sekolah, dan lain-lain.
Di dalam laporan tersebut, kalian perlu mencantumkan apa berita
utamanya dan bagaimana kalian mendapatkan sampelnya. Kalian
juga dapat menambahkan informasi lain yang berkaitan. Selamat
berburu berita!
Latihan
D
Pemilihan Sampel
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tepat dan jelas!
Pemahaman Konsep
B Himpunan bagian dari populasi disebut dengan __________.
C Distribusi suatu sampel memiliki bentuk, pusat, dan sebaran yang
menyerupai distribusi populasinya. Sampel tersebut merupakan
sampel yang __________.
D Benar atau Salah. Jika pemilihan sampel dilakukan secara acak,
pasti diperoleh sampel yang representatif.
Penerapan Konsep
E Seorang peneliti ingin mengetahui persentase penduduk Indonesia
usia 12 tahun ke atas yang masih buta huruf. Tentukan populasi
dan kemungkinan sampelnya.
F Gambar 4.39 menyajikan data populasi tekanan darah 50 orang
remaja.
Ayo Mengomunikasikan 4.1
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
266
100 105 110 115 120
Gambar 4.39 Tekanan Darah 50 Orang Remaja
Gambar 4.40 menunjukkan dua data sampel yang diperoleh
dari populasi remaja tersebut (digambar sehingga menimpa
populasinya). Manakah sampel yang representatif? Mengapa?
100 105 110 115 120
100 105 110 115 120
100 105 110 115 120
100 105 110 115 120
Gambar 4.40 Dua Data Sampel dari Populasi Remaja
G Dhien adalah calon ketua OSIS. Dia ingin mengetahui persentase
teman-teman di sekolahnya yang akan memilihnya. Dari tiga
kemungkinan cara pemilihan sampel berikut, mana yang
seharusnya dipilih Dhien? Mengapa?
ⓐ Dia bertanya kepada semua teman sekelasnya.
ⓑ Dia menyurvei anak yang menempati urutan ke-3, 6, dan 9 di
setiap barisan ketika upacara bendera.
ⓒ Dia melakukan survei melalui media sosial terhadap teman-
teman sekolahnya.
H Ahmad memiliki 10 buku teks pelajaran. Berat setiap buku yang
dibawa Ahmad pada hari Senin, Selasa, dan Rabu ditunjukkan oleh
Gambar 4.41.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
267
2 2,5 3
Berat Buku Hari Senin (Ons)
3,5 4
2 2,5 3
Berat Buku Hari Selasa (Ons)
3,5 4
2 2,5 3
Berat Buku Hari Rabu (Ons)
3,5 4
Gambar 4.41 Berat Buku Ahmad di hari Senin, Selasa, dan Rabu
Dari ketiga sampel tersebut, perkirakan populasinya seperti apa!
Jelaskan juga alasannya!
I Putu memiliki roda putar yang terbagi menjadi lima juring yang
sama besar, masing-masing ditulis angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Dia akan
memilih sampel dengan memutar roda tersebut sebanyak tiga kali.
Tentukan peluang dia mendapatkan sampel yang rata-ratanya
kurang dari 2.
Ringkasan
B Terdapat beberapa istilah penting dalam menentukan peluang.
Percobaan adalah kegiatan yang memiliki satu atau lebih hasil.
Hasil percobaan adalah luaran yang dapat terjadi di dalam suatu
percobaan. Ruang sampel adalah himpunan yang memuat semua
kemungkinan hasil percobaan. Titik sampel adalah anggota ruang
sampel. Kejadianadalah himpunan bagian dari ruang sampel.
C Ruang sampel suatu percobaan dapat ditentukan dengan cara
mendaftar, menggunakan tabel, dan menggunakan diagram pohon.
D Peluang suatu kejadian ditentukan dengan membagi banyaknya
semua anggota kejadian tersebut dengan banyaknya anggota ruang
sampelnya, yaitu:
PA
nS
nA
=
^
^
^
h
h
h
Peluang seperti ini disebut dengan peluang teoretis atau peluang
klasik.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
268
E Nilai peluang suatu kejadian merentang dari 0 sampai dengan 1,
yaitu0 ≤ P ( A )≤1. Kejadian yang memiliki peluang nol disebut
dengan kejadian yang mustahil, sedangkan kejadian yang memiliki
peluang sama dengan satu disebut dengan kejadian pasti.
F Selain menggunakan peluang teoretis, peluang suatu kejadian
dapat ditentukan dengan frekuensi relatif. Frekuensi relatif suatu
kejadian adalah proporsi banyaknya hasil yang memenuhi kejadian
tersebut terhadap total banyaknya percobaan. Frekuensi relatif ini
disebut juga dengan peluang empiris.
G Frekuensi relatif suatu kejadian memiliki hubungan dengan peluang
teoretisnya, yaitu jika banyaknya percobaan yang dilakukan secara
acak semakin besar, frekuensi relatif kejadian tersebut nilainya
mendekati peluang teoretis kejadian tersebut.
H Frekuensi harapan suatu kejadian adalah harapan berapa kali
terjadinya kejadian tersebut dalam beberapa kali percobaan.
I Sebuah masalah biasanya melibatkan populasi dan sampel.
Populasi adalah kumpulan semua orang atau objek yang akan
dipelajari atau diteliti. Sampel adalah kumpulan orang atau objek
yang merupakan bagian dari suatu populasi. Banyaknya anggota
populasi atau sampel menunjukkan ukuran populasi atau sampel
tersebut.
J Suatu sampel dikatakan representatif terhadap populasinya jika
distribusi sampel tersebut menyerupai distribusi populasinya
dalam hal bentuk, pusat, dan sebarannya.
K Cara yang digunakan untuk mendapatkan sampel yang representatif
adalah dengan menggunakan pemilihan secara acak. Suatu sampel
dipilih secara acak jika terpilihnya sampel tersebut memiliki
peluang yang sama dengan semua kemungkinan sampel lain yang
berukuran sama (banyak anggotanya sama).
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
269
Uji Kompetensi
Jawablah pertanyaan berikut dengan tepat dan jelas!
Uji Pemahaman
Benar atau Salah. Untuk soal nomor 1–3, tentukan apakah pernyataan-
pernyataan berikut benar atau salah.
B Ada kejadian yang tidak memiliki anggota.
C Tidak ada kejadian yang pasti.
D Jika sebuah dadu dilempar undi sebanyak 60 kali, kita pasti
mendapatkan mata dadu 6 sebanyak 10 kali.
Isian Singkat. Isilah bagian yang kosong di soal nomor 4–6.
E Jika n(A) adalah banyaknya anggota kejadian A dan n(S) adalah
banyaknya anggota ruang sampel, maka n(A)_____ n(S).
F A adalah suatu kejadian dengan banyak anggota n(A) dan banyak
anggota ruang sampelnya n(S), maka P(A)= _____.
G Kejadian B peluangnya P(B). Peluang komplemen B adalah _____.
7–9 Ruang Sampel, Kejadian, dan Peluang. Daftarlah semua anggota
ruang sampel dan kejadian yang diberikan, kemudian tentukan nilai
peluangnya.
H Dalam lempar undi sebuah dadu, diperoleh mata dadu kurang dari 7.
I Dalam pelemparan tiga koin, diperoleh maksimal satu sisi gambar.
J Sebuah tas berisi lima kartu bernomor 1–5. Dua kartu diambil
secara acak sekaligus dari tas tersebut dan diperoleh kartu yang
nomornya berjumlah 6.
10–12 Kejadian Pasti dan Mustahil. Dari kejadian-kejadian berikut,
tentukan apakah kejadian pasti atau mustahil.
K Dalam lempar undi dua dadu, diperoleh mata dadu-mata dadu yang
jumlahnya 1.
L Sebuah kotak berisi 25 bola warna merah. Satu bola diambil secara
acak dan diperoleh bola warna merah.
M Dalam pengambilan satu kartu dari seperangkat kartu remi secara
acak, didapatkan kartu yang bukan kartu King.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
270
13–14 Frekuensi Relatif. Tentukan frekuensi relatif setiap kejadian
berikut.
N Ketika melempar sebuah koin berkali-kali, hasilnya seperti berikut.
Kejadiannya adalah kejadian muncul sisi gambar (G).
G, A, G, A, A, A, G, G, A, G, G, G
O Gambar 4.42 menunjukkan hasil pemutaran roda yang dilakukan
berulang-ulang. Kejadian yang dimaksud adalah diperolehnya
warna hijau.
13
0
10
20
Merah Hijau
30
40
37
Warna Juring Roda
Frekuensi
Gambar 4.42 Frekuensi Diperoleh Juring Warna Merah dan Hijau
15–16 Frekuensi Relatif dan Peluang Teoretis. Pasangkan diagram
garis a dan b pada Gambar 4.43 dengan kejadian yang sesuai di nomor
15 dan 16. Jelaskan juga alasannya!
20
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
40 60
Banyak Percobaan
Frekuensi Relatif
80 100
20
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
40 60
Banyak Percobaan
Frekuensi Relatif
80 100
Gambar 4.43 Frekuensi Relatif Kejadian pada Percobaan Berulang
P Dalam pemilihan satu huruf dari A sampai J, diperoleh huruf
konsonan.
Q Ketika komputer diprogram untuk memilih satu bilangan mulai
dari 1 sampai dengan 10, diperoleh bilangan yang tidak habis dibagi
enam.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
271
17–18 Prediksi Ruang Sampel. Sebuah kotak terdiri dari 20 bola.
setiap bola memiliki satu warna. Dugalah banyaknya bola untuk setiap
warnanya. Jelaskan alasannya.
R Setelah dilakukan percobaan yang sangat banyak, diperoleh hasil
yang disajikan pada Gambar 4.44.
26%
9%
65%
Merah
Kuning
Hijau
Gambar 4.44 Persentase Kemunculan Bola Merah, Kuning, dan Hijau
S Gambar 4.45 menyajikan hasil percobaan beberapa kali.
Biru
0
10
20
30
40
50
Warna Bola
Frekuensi
Ungu
43
17
Gambar 4.45 Frekuensi Diperoleh Bola Biru dan Ungu
19–20 Frekuensi Harapan. Tentukan frekuensi harapan setiap kejadian
yang diberikan.
T Dalam pelemparan sebuah dadu sebanyak 60 kali, diperoleh mata
dadu yang kurang dari 5.
U Sebuah roda putar terbagi menjadi delapan juring yang sama, diberi
nomor 1–8. Roda tersebut diputar sebanyak 100 kali, didapatkan
bilangan prima.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
272
21–22 Populasi dan Sampel. Tentukan populasi dan sampel yang
mungkin untuk menjawab pertanyaan berikut.
V Berapa persenkah penduduk Indonesia yang tinggal di perkotaan?
W Pada tahun 2022, berapakah rata-rata volume sampah yang berhasil
diolah oleh Bu Lestari setiap harinya?
23–24 Sampel Representatif. Untuk nomor 23 dan 24, pilihlah sampel
yang representatif terhadap populasinya.
X Gambar 4.46 menyajikan distribusi suatu populasi.
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Nilai
Frekuensi
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
0
5
10
15
20
25
30
35
Gambar 4.46 Distribusi Populasi untuk Soal Nomor 23
Dua sampel yang mungkin untuk populasi tersebut ditunjukkan
oleh Gambar 4.47.
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Nilai
a
Frekuensi
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
0
5
10
15
20
25
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Nilai
b
Frekuensi
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
0
5
10
15
20
25
Gambar 4.47 Distribusi Dua Data Sampel Soal Nomor 23
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
273
Y Distribusi dua sampel yang digambar bersamaan dengan distribusi
populasinya ditunjukkan pada Gambar 4.48.
60 65 70 75
Nilai
80 85 90
60 65 70 75
Nilai
80 85 90
a
b
60 65 70 75
Nilai
80 85 90
60 65 70 75
Nilai
80 85 90
a
b
Gambar 4.48 Distribusi Dua Sampel dan Populasinya untuk Soal Nomor 24
25–26Sampel Acak. Untuk masalah-masalah di nomor 25 dan 26,
carilah cara bagaimana pemilihan sampelnya agar acak.
Z
Dari 27 orang siswa, seorang guru akan memilih tiga orang untuk
mempresentasikan hasil pekerjaannya.
8 Karuna melakukan survei di situs jual beli ponsel bekas untuk
menentukan rata-rata harganya. Dalam laman pencariannya, dia
mendapatkan 23 halaman yang masing-masing memuat 20 ponsel.
Dia akan mencari sampel yang ukurannya 40.
Penerapan
9 Geogra. Pada tahun 2021, Provinsi Kepulauan Riau memiliki 364
desa/kelurahan yang letaknya di tepi laut dan 64 desa/kelurahan
bukan tepi laut. Jika kalian memilih satu desa/kelurahan di provinsi
tersebut secara acak untuk dikunjungi, berapa persenkah peluang
kalian mendapatkan desa/kelurahan di tepi laut?
: Bahan bakar. Pada tahun 2021, bahan bakar utama memasak
sebagian besar rumah tangga di Nusa Tenggara Timur adalah
kayu. Perbandingan banyaknya rumah tangga yang bahan bakar
memasaknya kayu dengan yang bukan kayu adalah 7 : 3. Jika kalian
berkunjung ke satu rumah tangga di provinsi tersebut secara acak,
tentukan peluang kalian memperoleh rumah tangga yang bahan
bakar utama memasaknya bukan kayu.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
274
; Transportasi udara. Tabel 4.8 menyajikan data banyaknya
penerbangan kelas ekonomi dari Medan ke Palembang pada tanggal
tertentu.
Tabel 4.8 Banyaknya Penerbangan Medan-Palembang
Transit
Tidak
Transit
Transit di
Batam
Transit di
Jakarta
Perlu Lapor
Masuk
Ulang?
Perlu 0 6 28
Tidak Perlu 1 1 18
ⓐ Pada sel perpotongan antara baris “Perlu” dan kolom “Transit
di Batam” berisi bilangan 6. Apa makna bilangan tersebut?
ⓑ Jika kalian memilih satu penerbangan dari Medan ke Palembang
secara acak, berapakah peluang memperoleh penerbangan
yang transit di Batam?
ⓒ Dari Medan ke Palembang, Sondang ingin transit ke Jakarta.
Jika dia memilih satu penerbangan secara acak yang sesuai
dengan keingingannya tersebut, berapakah peluang dia perlu
lapor masuk ulang?
< Transportasi darat. Banyaknya jenis tiket kereta api dari Bandung
ke Surabaya pada tanggal tertentu ditunjukkan oleh Tabel 4.9.
Tabel 4.9 Banyak Jenis Tiket Kereta Api Bandung-Surabaya
Waktu Perjalanan
Siang Malam
Kelas
Eksekutif 5 10
Ekonomi 0 5
ⓐ Jika kalian memilih satu jenis tiket secara acak, tentukan
peluang kalian mendapatkan tiket kereta malam.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
275
ⓑ Carilah peluang kalian memperoleh satu jenis tiket kereta api
siang kelas eksekutif jika pemilihannya secara acak.
= Survei harga. Abel akan membeli sebuah laptop yang harganya
maksimal lima juta rupiah. Untuk itu, dia melakukan percobaan
pencarian informasi harga laptop di sebuah situs web secara acak
dan berulang-ulang sebanyak 20 kali. Hasilnya (dalam juta rupiah)
adalah sebagai berikut.
4,699 9,499 2,899 2,1 8,85
8,299 5,99 4,449 2,98 2,375
4,529 4,6 10,64 8,199 11,199
4,199 3,15 15,699 3,825 8,699
ⓐ Tentukan rata-rata harga laptop tersebut.
ⓑ Tentukan frekuensi relatif Abel mendapatkan laptop yang
harganya sesuai dengan rencananya.
a Golongan darah. Cermati berita dari situs resmi Ditjen Dukcapil
Kementerian Dalam Negeri yang ditunjukkan Gambar 4.49.
Gambar 4.49 Tangkapan Layar Berita dari Situs Resmi Ditjen Dukcapil
Berdasarkan berita tersebut, tentukan frekuensi relatif penduduk
yang melaporkan golongan darahnya AB.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
276
Penalaran
b Empat anak memiliki tinggi badan 155 cm, 140 cm, 161 cm, dan
144 cm. Jika dari empat anak tersebut dipilih tiga anak sekaligus
secara acak, tentukan peluang diperoleh anak-anak dengan rata-
rata tinggi badannya lebih dari 152 cm. Jelaskan alasannya!
c Teman kalian melempar undi sebuah dadu sebanyak 5 kali. Di
setiap pelemparannya, dia selalu mendapatkan mata dadu dua.
Di lemparan keenam, kemungkinan besar dia akan mendapatkan
mata dadu yang mana? Mengapa?
d Kalian mengikuti sebuah kuis berhadiah. Aturan kuis tersebut
adalah sebagai berikut.
• Kalian diminta oleh pewara (pembawa acara) untuk memilih
satu dari tiga tirai tertutup. Salah satu tirai tersebut berisi
hadiah, lainnya kosong.
• Setelah kalian memilih, pewara akan membuka satu tirai
kosong yang tidak kalian pilih. Dengan demikian, tinggal dua
tirai tertutup.
• Setelah itu, pewara akan memberi penawaran kepada kalian
untuk berganti pilihan tirai atau tetap.
Menanggapi tawaran pewara tersebut, keputusan apa yang akan
kalian pilih? Mengapa?
e Putu adalah calon ketua kelas. Untuk mengetahui dukungan yang
dia terima, dia bertanya kepada teman-teman sekelasnya sebelum
hari pemilihan. Dia berpikir bahwa dia akan mendapatkan sampel
yang representatif jika dia bertanya kepada 50% lebih temannya.
Apakah kalian setuju? Mengapa?
f Gambar 4.50 menyajikan distribusi tiga sampel serta posisi nilai
terkecil, rata-rata, dan nilai terbesar populasinya.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
277
Sampel 1
Sampel 2
Sampel 3
Nilai terkecil
populasi
Rata-rata
populasi
Nilai terbesar
populasi
Gambar 4.50 Distribusi Tiga Data Sampel dan Parameter Populasinya
Dari ketiga sampel tersebut, manakah sampel yang representatif?
Mengapa?
Proyek
Seberapa Akurat Ketapelmu?
Sekarang kalian akan belajar menjadi seorang insinyur! Di aktivitas ini,
kalian akan membuat ketapel yang akurat. Untuk itu, siapkan alat dan
bahan seperti berikut.
• 20 stik es krim
• 20 gelang karet
• 1 sendok plastik
• 1 bola pingpong
Setelah alat dan bahannya tersedia, lakukan langkah-langkah berikut
bersama dengan 2–3 teman kalian.
B Buatlah sebuah ketapel dengan hanya menggunakan alat dan
bahan yang tersedia. Sebagai inspirasi, ketapel tersebut mungkin
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.51.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
278
Gambar 4.51 Contoh Ketapel dari Stik Es Krim
Apakah hanya boleh seperti itu ketapelnya? Jelas tidak! Ayo
kembangkan kreativitas kalian!
C Ketapel kalian bagus atau tidak? Untuk menjawab ini, kalian perlu
menentukan kriteria. Salah satu kriterianya adalah akurasi ketapel
tersebut. Silakan kalian membuat kriteria keakuratan ketapel
tersebut!
Berikut contoh cara untuk mengetahui akurasi ketapel kalian.
ⓐ Buatlah sebuah target berupa lingkaran berjari-jari 5 cm.
ⓑ Posisikan ketapel kalian 3 meter dari pusat target tersebut.
ⓒ Luncurkan bola pingpong dari ketapel kalian ke arah target
tersebut berkali-kali dan catatlah persentase lemparan yang
masuk atau mengenai daerah target.
ⓓ Ketapel kalian dikatakan akurat jika peluang mengenai
targetnya lebih dari 80%.
D Apakah ketapel kalian sudah akurat? Jika belum akurat, silakan
perbaiki lagi ketapel tersebut dan lakukan percobaan lagi! Jika
sudah akurat, kalian dapat mengubah desain ketapelnya sehingga
tampak lebih indah, tetapi tetap akurat.
E Karuna dan Paulina telah menyelesaikan pembuatan ketapelnya.
Setelah diujicoba dengan 54 pelemparan bola, ketapel Karuna
berhasil tepat sasaran 44 kali. Paulina melakukan 18 pelemparan
dan 15 di antaranya tepat sasaran. Menurutmu, ketapelnya siapa
yang lebih baik? Jelaskan!
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
279
Pengayaan
Pemecahan Masalah
Karuna mempunyai stan sebuah gim di pasar malam. Dia menyediakan
ember berisi air dan 10 boneka bebek dari karet. Tiga dari 10 bebek itu
diberi tanda warna merah di bawahnya. Aturan main gimnya adalah
sebagai berikut.
• Bagi orang yang ingin memainkan gim itu, dia harus membayar
Rp10.000,00.
• Karuna kemudian mengacak posisi bebek-bebek karetnya di dalam
ember, kemudian mempersilakan pemain memilih tiga bebek
sekaligus.
• Untuk setiap bebek bertanda merah yang terpilih, pemain
tersebut mendapatkan hadiah Rp10.000,00. Misal, jika seorang
pemain mendapatkan dua bebek yang bertanda merah, dia akan
mendapatkan hadiah sebesar Rp20.000,00.
Dengan permainan seperti itu, apakah Karuna bisa untung?
Mengapa? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kerjakan soal-soal
berikut.
ⓑ Tentukan ruang sampel gim itu. Dari ruang sampel tersebut,
tentukan apakah Karuna untung atau tidak.
ⓒ Dengan menggunakan CODAP di tautan http://ringkas.kemdikbud.
go.id/GimPasarMalam, simulasikan permainan itu sampai 50
pemain. Dari simulasi tersebut, apakah Karuna untung?
ⓓ Berdasarkan hasil tersebut, apakah kalian punya saran kepada
Karuna?
Sumber Belajar Lanjutan
Berikut ini adalah beberapa sumber belajar lain yang dapat kalian
gunakan untuk memperdalam atau memperluas pengetahuan kalian
mengenai peluang.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
280
Sumber belajar ini berupa buku teks pelaja-
ran alternatif. Untuk mempelajari peluang,
silakan baca bab keenam.
Sumber belajar ini berupa video yang men-
jelaskan tentang bagaimana menentukan
ruang sampel suatu percobaan, yaitu dengan
mendaftar, menggunakan tabel, dan diagram
pohon.
Sumber belajar berbasis situs web ini berisi
materi tentang pengertian ruang sampel dan
bagaimana menentukan ruang sampel suatu
percobaan.
Video pembelajaran ini menjelaskan
bagaimana menentukan peluang empiris
suatu percobaan.
Sumber belajar ini merupakan sebuah vid-
eo yang menjelaskan bagaimana menentu-
kan peluang empiris suatu percobaan dan
menyelesaikan masalah dengan menggu-
nakan peluang empiris.
perpuskita/8/2024
Bab IV - Peluang dan Pemilihan Sampel
281
Sumber belajar ini merupakan sebuah situs
web yang menyediakan materi tentang pelu-
ang empiris dan teoretis.
Refleksi
Kalian telah menyelesaikan pembelajaran Bab 4 Peluang. Untuk itu, ayo
bereeksi dengan menanggapi pertanyaan atau pernyataan berikut!
B Manfaat apa saja yang kalian rasakan dan pikirkan mengenai
peluang?
C Bagaimana cara belajar kalian selama mempelajari peluang?
Apakah sudah berhasil atau belum?
D Sekarang, nilailah diri kalian sendiri dengan mencentang gambar
ekspresi yang sesuai dengan yang kalian rasakan pada tabel berikut.
No. TARGET PEMBELAJARAN
Peluang
1.
Aku dapat menentukan ruang sampel
suatu kejadian, baik dengan mendaftar,
tabel, ataupun diagram pohon.
2.
Aku dapat menentukan nilai peluang
suatu kejadian.
3.
Aku mengetahui rentang nilai peluang, ke-
jadian pasti, dan kejadian yang mustahil.
Peluang Empiris
4.
Aku dapat menentukan frekuensi relatif
suatu kejadian.
perpuskita/8/2024
Matematika untuk SMP/MTs Kelas IXMatematika untuk SMP/MTs Kelas IX
282
No. TARGET PEMBELAJARAN
5.
Aku mengetahui hubungan antara
frekuensi relatif dan peluang teoretis.
6.
Aku dapat menduga ruang sampel suatu
kejadian setelah melakukan percobaan.
Frekuensi Harapan
7.
Aku dapat menentukan frekuensi harapan
suatu kejadian.
Pemilihan Sampel
8.
Aku dapat menentukan populasi dan sam-
pel dari suatu masalah.
9.
Aku dapat mengidentikasi sampel yang
representatif dari suatu populasi.
10.
Aku dapat melakukan pemilihan sampel
secara acak dari suatu populasi.
perpuskita/8/2024
283
Glosarium
Balok Balok adalah bangun ruang yang memiliki enam sisi yang
berbentuk persegi panjang dan semua sudutnya merupakan sudut
siku-siku.
Bilangan asli Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk
membilang dan mengurutkan satu atau beberapa objek. Bilangan
asli dimulai dari 1 kemudian dilanjutkan dengan satu lebihnya
bilangan sebelumnya.
Bilangan bulat Bilangan bulat adalah bilangan nol, bilangan asli, atau
negatif dari bilangan asli.
Bilangan cacah Bilangan cacah adalah bilangan 0 atau bilangan asli.
Bilangan real Bilangan real adalah bilangan yang dapat ditempatkan
pada garis bilangan, misalnya –2, 0,
4
3
,
3
, dan π.
Bola Bola adalah kumpulan semua titik dalam ruang yang berjarak
sama terhadap titik tertentu.
Dilatasi Dilatasi adalah transformasi yang memindahkan semua titik
dalam sebuah objek di sepanjang garis dan jaraknya berubah (atau
tetap) terhadap titik tertentu.
Dua garis berimpit Dua garis dikatakan berimpit jika dua garis tersebut
memiliki paling sedikit dua titik potong.
Dua garis berpotongan Dua garis dikatakan berpotongan jika kedua
garis tersebut melalui tepat satu titik yang sama. Titik tersebut
selanjutnya disebut dengan titik potong.
Dua garis sejajar Dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis tersebut
tidak pernah berpotongan.
Frekuensi harapan Frekuensi harapan suatu kejadian adalah harapan
berapa kali terjadinya kejadian tersebut dalam beberapa kali
percobaan.
Frekuensi relatif Frekuensi relatif suatu kejadian adalah proporsi
banyaknya hasil yang memenuhi kejadian tersebut terhadap total
banyaknya percobaan.
Gradien Gradien suatu garis menyatakan kemiringan garis tersebut.
Jika garis tersebut melalui titik (x
1
, y
1
) dan (x
2
, y
2
), gradien garis
tersebut dapat ditentukan dengan membagi y
2
– y
1
dengan x
2
– x
1
.
perpuskita/8/2024
284
Hasil percobaan Hasil percobaan adalah luaran yang dapat terjadi di
dalam suatu percobaan.
Jaring-jaringJaring-jaring suatu bangun ruang adalah bentuk dua
dimensi yang dapat dirangkai dan dibentuk sedemikian rupa
sehingga menjadi bangun ruang tersebut.
Kejadian Kejadian adalah himpunan yang memuat hasil dengan
kriteria tertentu.
Kerucut Kerucut adalahbangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi
lengkung dan sebuah sisi alas berbentuk lingkaran
KoesienKoesien suatu suku bentuk aljabar adalah faktor yang
berupa bilangan dari suku tersebut.
Kongruen Bangun pertama dikatakan kongruen dengan bangun
kedua jika terdapat rangkaian translasi, reeksi, dan rotasi yang
memindahkan bangun pertama sehingga bayangannya tepat
berimpit dengan bangun kedua.
Konstanta Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang
berupa bilangan dan tidak memuat variabel.
Kubus Kubus adalah bangun ruang yang memiliki enam sisi berbentuk
persegi.
Kubus satuan Kubus satuan adalah kubus yang rusuk-rusuknya
memiliki panjang satu satuan.
Limas Limas adalah bangun ruang yang dibentuk oleh segi banyak dan
segitiga-segitiga yang menghubungkan sisi-sisi segi banyak tersebut
dengan satu titik yang tidak sebidang dengan segi banyak tersebut.
Lingkaran Lingkaran adalahkumpulan semua titik pada bidang yang
memiliki jarak sama terhadap titik tertentu. Titik tertentu ini
selanjutnya disebut dengan pusat lingkaran.
Luas permukaan Luas permukaan suatu bangun datar adalah luas
total dari semua sisi bangun ruang tersebut.
Metode campuran Dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua
variabel, metode campuran adalah metode yang menggabungkan
metode eliminasi dan metode substitusi.
Metode eliminasi Dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua
variabel, metode eliminasi adalah metode yang menghilangkan
(mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut
untuk menentukan nilai variabel lain.
perpuskita/8/2024
285
Metode substitusi Dalam menyelesaikan sistem persamaan linear
dua variabel, metode substitusi adalah metode yang mensubstitusi
nilai salah satu variabel dari salah satu persamaan ke persamaan
lainnya.
Peluang Peluang suatu kejadian adalah bilangan yang menunjukkan
seberapa mungkin kejadian tersebut terjadi. Peluang dapat
ditentukan dengan membagi banyak anggota kejadian tersebut
dengan banyak anggota ruang sampelnya.
Percobaan Percobaan adalahkegiatan yang hasilnya tidak diketahui.
Persamaan linear dua variabel Persamaan linear dua variabel adalah
persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ax+by=c,
dengan x, yadalah variabel dana,b,c!R, (a
!
0, b
!
0).
Populasi Populasi adalah kumpulan semua orang atau objek yang
dipelajari atau diteliti.
Prisma Prisma adalah bangun ruang yang dibentuk oleh dua segi banyak
(yang identik, terletak pada bidang-bidang yang sejajar, dan sisi-sisi
bersesuaiannya sejajar) dan jajar genjang yang menghubungkan
setiap sisi yang bersesuaian kedua segi banyak tersebut.
Reeksi Reeksi (atau pencerminan) terhadap suatu garis adalah
transformasi geometri yang memetakan setiap titik dalam suatu
objek ke titik-titik dalam bayangannya sedemikian sehingga ruas
garis yang menghubungkan titik-titik yang bersesuaian di objek asli
dan bayangannya tegak lurus terhadap garis tersebut dan dibagi
menjadi dua bagian yang sama panjang oleh garis itu.
Rotasi Rotasi (atau perputaran) adalah transformasi geometri yang
memutar suatu objek terhadap titik yang tetap dengan ukuran
sudut dan arah tertentu.
Ruang sampel Ruang sampel adalah himpunan yang memuat semua
kemungkinan hasil dari suatu pecobaan. Anggota ruang sampel
dinamakan titik sampel.
Sampel himpunan bagian dari suatu populasi.
Sampel acak Suatu sampel dipilih secara acak jika terpilihnya sampel
tersebut memiliki peluang yang sama dengan semua kemungkinan
sampel lain yang berukuran sama.
perpuskita/8/2024
286
Sampel representatif Suatu sampel dikatakan representatif terhadap
populasinya jika distribusi sampel tersebut menyerupai distribusi
populasinya dalam hal bentuk, pusat, dan sebarannya.
Sistem persamaan linear dua variabel Apabila terdapat dua buah
persamaan linear dua variabel yang berbentuk
ax by c
+=
dan
dx ey f
+=
, dengan persamaan satu dan lainnya saling berkaitan
maka
persamaan-persamaan tersebut dinamakan sistem
persamaan linear dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan
linear dua variabel adalah
ax by c
dx ey f
+=
+=
)
, x,y adalah variabel dengan
,,,,,abcdef R!
Sumbu koordinat Sumbu koordinat adalah garis bilangan yang terletak
pada bidang k
oordinat.
Sumbu x Sumbu x adalah sumbu koordinat yang digunakan untuk
mengidentikasi koordinat x atau absis dari sembarang titik pada
bidang koordinat.
Sumbu y Sumbu y adalah sumbu koordinat yang digunakan untuk
mengidentikasi koordinat y atau ordinat dari sembarang titik
pada bidang koordinat.
Tabung Tabung adalah bangun ruang yang dibentuk oleh dua lingkaran
identik yang sejajar dan sisi lengkung yang menghubungkan kedua
lingkaran tersebut.
Transformasi geometri Transformasi geometri adalah proses
perubahan posisi, ukuran, dan bentuk suatu objek geometris
dengan aturan tertentu.
Translasi Translasi (atau sering disebut dengan pergeseran) adalah
transformasi geometri yang memindahkan suatu objek dengan
jarak dan arah tertentu.
Ukuran suatu populasi atau sampel Ukuran suatu populasi atau
sampel adalah banyaknya anggota yang dimuat oleh populasi atau
sampel tersebut.
VariabelVariabel adalah lambang pengganti bilangan yang belum
diketahui nilainya.
Volume Volume suatu bangun ruang adalah ukuran yang menyatakan
seberapa banyak ruang yang ditempati oleh bangun ruang tersebut.
Satuan volume adalah kubus satuan atau kubik.
perpuskita/8/2024
287
Daftar Pustaka
Adinawan, M.C. Matematika Kelas VIII Semester 2 SMP Jilid 3A. Jakarta:
Erlangga, 2018.
Adinawan, M.C. Matematika Kelas VIII Semester 2 SMP Jilid 3B. Jakarta:
Erlangga, 2018.
Anton, H., & Rorres, C.Elementary Linear Algebra(11
th
ed.). Canada:
Anton Textbooks, Inc., 2014.
As’ari, Abdur Rahman, Mohammad Tohir, Erik Valentino, Zainul Imron,
and Ibnu Tauq. Matematika Kelas VIII Semester 1. SIBI - Sistem
Informasi Perbukuan Indonesia. Jakarta: Pusat Kurikulum dan
Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud, 2017. https://buku.kemdikbud.
go.id/book/detail/Matematika-Kelas-VIII-Semester-1.
Bakker, Arthur, Monica Wijers, and Gail Burrill. “Second Chance.” Essay.
In Mathematics in Context, edited by Wisconsin Center for Education
Research & Freudenthal Institute. Chicago, IL: Encyclopædia
Britannica, Inc., 2006.
Bertsekas, Dimitri P., and John N. Tsitsiklis. Introduction to Probability.
2nd ed. Belmont, MA: Athena Scientic, 2008.
Black, Keith, Ryan, Alison, Haese, Michael, Haese Robert, Haese, Sandra,
Humphries, Mark. IGCSE Cambridge International Mathematics.
Adelaide: Haese & Haris Publication, 2009.
BPS. Statistik Indonesia 2022. Jakarta: Badan Pusat Staistik, 2022.
Cutnell, John D., and Kenneth W. Johnson. Physics. 9th ed. Hoboken, NJ:
John Wiley & Sons, 2012.
Greenwood, David, Sara Wooley, Jenny Vaughan, Franca Frank, and
Jenny Goodman. Essential mathematics for the Australian Curriculum
year 10. Cambridge University Press, 2011.
Desmos. “Rigid Transformations and Congruence.” Desmos
Classroom Activities, 2020. https://teacher.desmos.com/
collection/5f8a441e06b0d9a8bd84c3d1.
Ditjen Dukcapil. “Dirjen Dukcapil: Indonesia Miliki Bank Data 37,9 Juta
Golongan Darah.” Ditjen Dukcapil Kemendagri, April 15, 2021. https://
dukcapil.kemendagri.go.id/berita/baca/725/dirjen-dukcapil-indonesia-miliki-
bank-data-379-juta-golongan-darah.
perpuskita/8/2024
288
English, Lyn D., Peter Hudson, and Les Dawes. “Engineering-Based
Problem Solving in the Middle School: Design and Construction with
Simple Machines.” Journal of Pre-College Engineering Education
Research (J-PEER) 3, no. 2 (2013): Article 5. https://doi.org/10.7771/2157-
9288.1081.
Gill, Richard David. “Monty Hall Problem.”StatProb: The Encyclopedia
Sponsored by Statistics and Probability Societies, 2011. https://
web.archive.org/web/20160121155336/http://statprob.com/encyclopedia/
MontyHallProblem2.html.
Harel, Guershon. “Common Core State Standards for Geometry: An
Alternative Approach.” Notices of the American Mathematical Society
61, no. 1 (2014): 24–35. https://doi.org/10.1090/noti1070.
Illustrative Mathematics. “5.1 Finding Volume.” Illustrative Mathematics,
2019. https://curriculum.illustrativemathematics.org/k5/teachers/
grade-5/unit-1/lessons.html
Illustrative Mathematics. “6.1 Are and Surface Area.”Illustrative
Mathematics, 2019. https://curriculum.illustrativemathematics.org/MS/
teachers/1/1/index.html
Illustrative Mathematics. “8.1 Rigid Transformations and Congruence.”
Illustrative Mathematics, 2019. https://curriculum.illustrativemathematics.
org/MS/teachers/3/1/index.html.
Illustrative Mathematics. “8.2 Dilations, Similarity, and Introducing Slope.”
Illustrative Mathematics, 2019. https://curriculum.illustrativemathematics.
org/MS/teachers/3/2/index.html.
Illustrative Mathematics. “8.4 Linear Equations and Linear Systems.”
Illustrative Mathematics, 2019. https://curriculum.illustrativemathematics.
org/MS/teachers/3/4/index.html.
Illustrative Mathematics. “8.5 Function and Volume.” Illustrative
Mathematics, 2019. https://curriculum.illustrativemathematics.org/MS/
teachers/3/5/index.html
Illustrative Mathematics. “Geo.5 Solid Geometry.” Illustrative
Mathematics, 2019. https://curriculum.illustrativemathematics.org/
HS/teachers/2/5/index.html
Kindt, Martin, Abels, M., Spence, Mary S., Brinker, Laura J., and Burrill,
Gail.Packages and polygons. In Wisconsin Center for Education
perpuskita/8/2024
289
Research & Freudenthal Institute (Eds.), Mathematics in context.
Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc., 2006.
Kristanto, Yosep Dwi, and Russasmita Sri Padmi. Super Modul Matematika
SMP/MTs Kelas VII, VIII, IX. Jakarta: Gramedia Widiasarana
Indonesia, 2018.
Kristanto, Yosep Dwi. Metode Statistik: Jilid 1. Yogyakarta: PT Kanisius,
2021.
Morrison, Karen, and Nick Hamshaw. Cambridge IGCSE Mathematics
Core and Extended Coursebook. 2nd ed. Cambridge: Cambridge
University Press, 2018.
Nugroho H, dkk. Matematika untuk SMP Kelas VIII. Jakarta: Pusat
Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional, 2009.
Open Up Resources. “Grade 7 Mathematics, Unit 3.8.”Open Up Resources,
2019. https://access.openupresources.org/curricula/our6-8math/en/grade-7/
unit-3/lesson-8/index.html.
Open Up Resources. “Grade 7 Mathematics, Unit 8.1.”Open Up Resources,
2019. https://access.openupresources.org/curricula/our6-8math/en/grade-7/
unit-8/lesson-1/index.html.
Open Up Resources. “Grade 8 Mathematics, Unit 4.10.” Open Up
Resources, 2019. https://access.openupresources.org/curricula/our6-8math/
en/grade-8/unit-4/lesson-10/index.html.
Pishro-Nik, Hossein. Introduction to Probability, Statistics, and Random
Processes. Blue Bell, PA: Kappa Research, 2014.
Quinn, Robert J., and Stephen Tomlinson. “Random Variables:
Simulations and Surprising Connections.” The Mathematics Teacher
92, no. 1 (1999): 4–9. https://doi.org/10.5951/mt.92.1.0004.
Rukmana, Indra, and Wahid Rasyid Saputra. “Transformasi Geometri.”
GeoGebra, September 4, 2022. https://www.geogebra.org/m/u2euqwsp.
Serra, M. Discovery Geometry An Investigative Approach. Emeryville,
CA: Key Curriculum Press, 2008.
Setiawan & Widdiharto R. Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar Kelas
VIII SMP. Yogyakarta: PPPPTK, 2009.
SMILE. “Probability.” STEM Learning. SMILE, 2009. https://www.stem.org.
uk/resources/elibrary/resource/32186/probability.
Soebagyo J. Matematika Teknik Aljabar Linear dan Matriks. Bandung:
Manggu Makmur Tanjung Lestari, 2020.
perpuskita/8/2024
290
Spence L, Insel A, Friedberg S. Elementary Linear Algebra a Matrix
Approach. England: Pearson Education Limited, 2014.
Subchan, Winarni, M. Setirjo Winarko, Lukman Hana, Muhammad
Syifa`ul Mud, Kistosil Fahim, and Wawan Had Syaifudin.
Matematika Kelas IX. SIBI - Sistem Informasi Perbukuan Indonesia.
Jakarta: Pusat Kurikulumdan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.
Accessed November 19, 2022. https://buku.kemdikbud.go.id/book/detail/
Buku-Matematika-Kelas-IX.
Sullivan, Patrick. “Is the Last Banana Game Fair?” Mathematics Teacher:
Learning and Teaching PK-12 113, no. 1 (2020): 33–38. https://doi.
org/10.5951/mtlt.2019.0131.
Suprihatin, Tatin. “Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.” Sumber
Belajar Kemdikbud, October 9, 2021. https://sumber.belajar.kemdikbud.
go.id/#!/Content/Home/Details/d52fa05d6a894104aabca282ef6a4730.
Surles, William, Jake Crosby, Jonathan McNeil, Malinda Schaefer
Zarske, and Carleigh Samson. “Launch into Learning: Catapults!”
TeachEngineering. Regents of the University of Colorado, 2011.
https://www.teachengineering.org/lessons/view/cub_catapult_lesson01.
Swokowski E. W, Cole J. A. Algebra and Trigonometry with Analytic
Geometry, Classic Twelfth Edition, 2010.
United Nations. “Documentation and Downloads.”Human Development
Reports, 2022. https://hdr.undp.org/data-center/documentation-and-
downloads.
Watson, Jane, Noleine Fitzallen, Suzie Wright, and Ben Kelly.
“Characterizing Student Experience of Variation Within a STEM
Context: Improving Catapults.” Statistics Education Research Journal
21, no. 1 (2022): Article 9. https://doi.org/10.52041/serj.v21i1.7.
perpuskita/8/2024
291
Index
A
aljabar2, 284
B
Balokvii, viii, xi, xii, 44, 45, 49, 51,
52, 53, 64, 65, 66, 67, 111, 283
bangun ruang41, 42, 43, 44, 46,
47, 48, 49, 50, 51, 52, 57, 58, 59,
60, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 70, 71,
77, 78, 97, 107, 111, 122, 125,
133, 283, 284, 285, 286
Berpikir kritis283
Bilangan283, 298
Bilangan asli283
Bilangan bulat283
Bilangan cacah283
Bilangan real283
Bolaviii, x, xii, xv, xvi, 44, 45, 49,
105, 106, 117, 118, 119, 127,
130, 131, 283
D
Dilatasi192, 193, 194, 195, 196,
197, 198, 199, 200, 201, 203,
205, 210, 214, 283
F
Frekuensi harapan249, 252, 268,
283
Frekuensi relatif234, 235, 237,
240, 244, 268, 283
G
Geogebra297
Geometri135, 212, 289, 298
gradien20, 283
Gradien283
Grak x, 4, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 17,
18, 19, 246
H
Hasil percobaan221, 267, 284
Hukum Hooke10, 11
J
Jaring-jaring46, 47, 48, 125, 284
K
Kejadian221, 224, 225, 227, 228,
229, 230, 231, 239, 240, 243,
245, 267, 268, 269, 270, 284
Kerucutxii, 44, 45, 49, 100, 101,
102, 114, 115, 116, 129, 130,
245, 284
Koesien284
Kongruen181, 183, 189, 284
Konstanta83, 126, 284
Kubusxi, 44, 47, 51, 52, 53, 62, 64,
67, 68, 77, 127, 284
L
Limasxi, 44, 45, 47, 49, 55, 56, 57,
71, 72, 73, 74, 284
Lingkaranxi, 80, 81, 83, 84, 85, 86,
87, 88, 89, 91, 93, 94, 95, 102,
134, 243, 284
Luas permukaan52, 53, 57, 58, 59,
99, 108, 125, 126, 284
M
Metode campuran284
Metode eliminasi284
Metode substitusi285
perpuskita/8/2024
292
P
Peluang215, 216, 219, 223, 224,
225, 226, 227, 231, 232, 233,
236, 239, 244, 267, 269, 270,
281, 285
Percobaan221, 225, 238, 239, 240,
241, 245, 246, 248, 252, 267,
270, 285
persamaan linear1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17,
18, 19, 20, 21, 23, 25, 26, 27, 29,
30, 31, 32, 33, 34, 37, 38, 39, 40,
284, 285, 286
Persamaan linear4, 5, 22, 32, 285
Populasi255, 256, 258, 266, 268,
272, 285
Prismaxi, 44, 45, 47, 49, 51, 52, 64,
66, 70, 72, 79, 112, 115, 285
R
Reeksi 39, 133, 146, 148, 149, 150,
151, 152, 154, 155, 156, 157,
158, 159, 160, 161, 162, 164,
165, 169, 172, 175, 202, 205,
210, 212, 213, 281, 285
Rotasi165, 166, 167, 168, 169, 170,
172, 175, 179, 184, 202, 203,
206, 210, 213, 285
Ruang sampel221, 267, 285
S
Sampel215, 221, 222, 223, 242,
253, 255, 256, 257, 258, 259,
260, 261, 262, 263, 264, 265,
266, 268, 269, 271, 272, 273,
277, 282, 285, 286
Sampel acak285
Sampel representatif286
Sumbu146, 151, 152, 154, 164, 286
Sumbu koordinat286
Sumbu x151, 152, 164, 286
Sumbu y151, 152, 154, 164, 286
T
Tabung44, 45, 49, 97, 98, 99, 108,
111, 112, 114, 245, 286
Translasixii, xiii, 136, 137, 138,
139, 140, 141, 143, 144, 172,
175, 184, 202, 206, 210, 213, 286
V
Variabel1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13,
15, 16, 29, 39, 40, 286, 290
Volume59, 60, 61, 63, 64, 66, 67,
68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 77, 78,
99, 100, 111, 112, 113, 114, 115,
116, 117, 119, 120, 123, 125,
126, 129, 134, 286, 288
perpuskita/8/2024
293
Prol Pelaku Perbukuan
Profil Penulis 1
Nama Lengkap :Yosep Dwi Kristanto, M.Pd.
Email : [email protected]
Instansi : Universitas Sanata Dharma
Alamat Instansi : Jl. Affandi, Mrican, Caturtunggal,
Depok, Sleman, DIY
Bidang Keahlian : Pendidikan Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi
Dosen Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Sanata Dharma,
Yogyakarta (2016 – sekarang)
Riwayat Pendidikan dan Tahun Belajar
1. S2: Program Pascasarjana/Pendidikan Matematika/Universitas Negeri
Surabaya (2013 – 2015)
2. S1: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam/Pendidikan
Matematika/Universitas Negeri Malang (2008 – 2012)
Judul Buku dan Tahun Terbit
1. Buku Siswa Matematika Tingkat Lanjut untuk SMA kelas XI. Penerbit
Pusat Perbukuan Badan Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan
Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi, tahun 2021
2. Buku Guru Matematika Tingkat Lanjut untuk SMA kelas XI. Penerbit
Pusat Perbukuan Badan Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan
Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi, tahun 2021
3. Metode Statistik: Jilid 1 (2021)
4. Metode Statistik: Jilid 2 (2021)
5. Super Modul Matematika SMP/MTs Kelas VII, VIII, IX (2018)
6. Aljabar dan Trigonometri (2017)
7. Matematika Langkah Demi Langkah untuk SMA/MA Kelas X (2016)
Judul Penelitian dan Tahun Terbit
1. Towards a mathematics textbook for supporting 21st century learning: The
student perspective (2020)
2. Using network analysis for rapid, transparent, and rigorous thematic
analysis: A case study of online distance learning (2020)
3. Listening to the student voice on emergency remote teaching during the
pandemic crisis (2020)
4. Development and validation of a test instrument to measure pre-service
mathematics teachers’ content knowledge and pedagogical content
knowledge
5. Technology-enhanced pre-instructional peer assessment: Exploring
students’ perceptions in a Statistical Methods course (2018)
Portofolio selengkapnya dapat dilihat di laman http://people.usd.
ac.id/~ydkristanto/.
perpuskita/8/2024
294
Profil Penulis 2
Nama Lengkap : Muhammad Taqiyuddin
Email : [email protected]
Instansi : University of Auckland
Alamat Instansi : Selandia Baru
Bidang Keahlian : Pendidikan Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir)
1. Curruculum Specialist, Sekolah.mu, 2022
2. Asisten Dosen, 2020-2021
3. Guru Matematika Sekolah Menengah, 2016-2019
Riwayat Pendidikan dan Tahun Belajar
1. S3, 2021-Sekarang, Pendidikan Matematika, University of Auckland,
Selandia Baru
2. S2, 2019-2021, Pendidikan Matematika, University of Georgia, Amerika
Serikat
3. S1, 2012-2016, Pendidikan Matematika, Universitas Pendidikan Indonesia,
Bandung
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)
1. Buku Siswa Matematika Tingkat Lanjut untuk SMA kelas XI. Penerbit
Pusat Perbukuan, Badan Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan
Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi, tahun 2021
2. Buku Guru Matematika Tingkat Lanjut untuk SMA kelas XI. Penerbit
Pusat Perbukuan, Badan Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan
Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi, tahun 2021
Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)
[Google Scholar ID: 6drbwHQAAAAJ]
1.Pre-serviceteachers’operativeandgurativeactions:Thecaseofone-
variable inequality (2021)
2. Analisis buku matematika kurikulum 1975 dan kurikulum 2013 (2020)
3.A Note on Inclusion Properties of Weighted Orlicz Spaces (2020)
4. Analisis Buku Matematika Sekolah Menengah Atas Pada Topik Turunan
(2019)
5. Telaah buku matematika Indonesia pada topik pertidaksamaan matematika
(2018)
6. Inclusion properties of Orlicz spaces and weak Orlicz spaces generated by
concave functions (2018)
7. Analysis of junior high school students’ attempt to solve a linear inequality
problem (2017)
8. Miskonsepsi siswa sekolah menengah per
tama pada topik pertidaksamaan
linear satu variabel (2017)
perpuskita/8/2024
295
Profil Penulis 3
Nama Lengkap :Elyda Yulana, S.Pd.
Email : elydayul[email protected]
Instansi : SMA Negeri 7 Yogyakarta
Alamat Instansi : Jl. MT. Haryono No.47,
Suryodiningratan, Kec. Mantrijeron,
KotaYogyakarta, Daerah Istimewa
Yogyakarta
Bidang Keahlian : Guru Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir):
1. Guru matematika di SMP Negeri 2 Jetis Bantul (2016)
2. Guru matematika di SMA Negeri 7 Yogyakarta (2018 – sekarang)
Riwayat Pendidikan dan Tahun Belajar:
1. Pendidikan Profesi Guru/ Universitas Sanata Dharma Yogyakarta (2018)
2. S1: Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan/ Pendidikan Matematika/
Universitas Sarjanawiyata Tamansiswa Yogyakarta (2012 - 2016)
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
1. Buku Siswa Matematika Tingkat Lanjut untuk SMA kelas XI. Penerbit
Pusat Perbukuan, Badan Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan
Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi, tahun 2021
2. Buku Guru Matematika Tingkat Lanjut untuk SMA kelas XI. Penerbit
Pusat Perbukuan, Badan Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan
Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi, tahun 2021
3. Yulana,E. (2018). Jalan MenujuGuru yang Mencintai Anak Didik dan
Murah Hati. In Eko Budi Santoso (Ed.), Jalan Menuju Guru Matematika
yang Mencintai Anak Didik dan Profesinya (pp. 77-86). Yogyakarta: Sanata
Dharma University Press.
perpuskita/8/2024
296
Profil Penulis 4
Nama Lengkap :Indra Rukmana, M.Si.
Email : indra.math@raudhatuljannah.or.id
Instansi : SMAIT Raudhatul Jannah Cilegon
Alamat Instansi : Grand Cilegon Residence, Kel.
Cibeber Barat, Kec. Cibeber, Kota
Cilegon, Banten, 42423
Bidang Keahlian : Guru Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir):
1. Guru matematika di SMPIT Raudhatul Jannah Cilegon (2017 – 2019)
2. Guru matematika di SMAIT Raudhatul Jannah Cilegon (2022 – sekarang
)
Riwayat Pendidikan dan Tahun Belajar:
1. S1 : Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam /
Matematika Analisis / Universitas Pendidikan Indonesia (2009 – 2013)
2. S2 : Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam / Matematika Analisis
/ Institut Teknologi Bandung (2014 – 2016)
Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
Fatimah, S., Masta, A.A., Al Hazmy, S., Kustiawan, C., Rukmana, I. (2021).
Discrete Orlicz-Morrey spaces and their inclusion properties. Journal of
Engineering Science and Tecnology, 16(3), pp. 2018-2027
perpuskita/8/2024
297
Profil Penelaah 1
Nama : Sugiman
Email : sugiman@uny.ac.id
Instansi : Universitas Negeri Yogyakarta
Alamat Instansi : Jl. Colombo No. 1 Yogyakarta
Bidang Keahlian : Pendidikan Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir):
Dosen Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri
Yogyakarta (1991-sekarang)
Riwayat Pendidikan dan Tahun Belajar:
1. S1: Pendidikan Matematika di IKIP Yogyakarta (1984-1989)
2. S2: Matematika di ITB (1995-1997)
3. S3: Pendidikan Matemaatika (2007-2010)
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
1. Matematika untuk SMP Kelas VII. Pusat Kurikulum dan Perbukuan. ISBN
978-602-244-514-2. (Penyadur dari Buku Tim Gakko Tosho tahun 2021)
2. Desain Pembelajaran Matematika untuk Melatihkan Higher Order Thinking
Skills. UNY Press. ISBN:978-602-6338-22-8 (Penyusun Buku)
3. Kalkulus Lanjut Berbantuan Geogebra. UNY Press. ISBN:978-602-498-001-6
(Penyusun Buku)
Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
Artikel ilmiah yang telah terbit dapat dibuka https://sinta.kemdikbud.
go.id/authors/prole/6004246
perpuskita/8/2024
298
Profil Penelaah 2
Nama : Dr. Drs. Sugi Guritman
Email : [email protected]
Instansi : Dept. Matematika FMIPA – IPB.
Alamat Instansi : Jln. Meranti, Kampus IPB Dramaga,
Bogor.
Bidang Keahlian : Teori Koding, Kriptogra, dan
Komputasi Aljabar.
Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir):
Dosen
Riwayat Pendidikan dan Tahun Belajar:
1. Sarjana Matematika, UGM Yogyakarta, 1990.
2. Doktor Computational Methods, Delft University of Techno-logy, Belanda,
2000.
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
1. Matematika Diskret (Diktat Kuliah, Rev. 2020).
2. Geometri Analitik(Diktat Kuliah, Rev. 2020).
3. Pengantar Kriptogra (Diktat Kuliah, Rev. 2014).
4. Aljabar Linaer S2 (Lecture Notes, Rev. 2018).
5. Aljabar Bilangan dan Aplikasinya (Draf Buku Pengayaan, Topik: Struktur
Aljabar dan Teori Bilangan).
Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
Mengacu ke Google Scholar:
https://scholar.google.com/citations?view_op=new_
articles&hl=id&imq=Sugi+Guritman#.
perpuskita/8/2024
299
Profil Ilustrator
Nama : Ali Shandy Ramadhan
Email : [email protected]
Instansi : -
Alamat Instansi : -
Bidang Keahlian : Ilustrasi.
Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir):
Freelance
Riwayat Pendidikan dan Tahun Belajar:
DKV ITS 2006
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
-
Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
-
Profil Penyunting
Nama : Wahyu Setyaningrum
Email : wahyu_setyaningrum@uny.ac.id
Instansi : Universitas Negeri Yogyakarta
Alamat Instansi : Jl. Colombo No 1 Karangmalang
Yogyakarta
Bidang Keahlian : Pendidikan Matematika.
Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir):
1. Dosen Pendidikan Matematika, UNY (2003 – Sekarang)
2. Reviewer Buku (2016 – Sekarang
)
Riwayat Pendidikan dan Tahun Belajar:
1. S1 Pendidikan Matematika, UNY (1999 – 2003)
2. S2 Mathematics and Science Education, Monash University - Australia
(2006 – 2009)
3. S3 Doctor of Philosophy, University of Dundee – UK (2011 – 2016)
perpuskita/8/2024
300
Profil Desainer
Nama : Suhardiman
Email : [email protected]
Bidang Keahlian : Layouter
Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir):
D3 Teknik Komputer, IAI-LPKIA Bandung (1992―1995).
Riwayat Pendidikan dan Tahun Belajar:
1. Image Setter, PT. Mustika Rajawali Bandung (2004―2008).
2. Setter, Ragam Offset (2009―2010).
3. Freelancer (2010―sekarang).
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
Media Pembelajaran Matematika (2013)
Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
Mengacu ke Google scholar:
https://scholar.google.co.id/citations?user=q-xFVuUAAAAJ&hl=en
perpuskita/8/2024
perpuskita/8/2024
.
A33209.003
perpuskita/8/2024
